反比例函数中考压轴题.doc

反比例函数中考压轴题

1（2011江苏南京）设函数与的图象的交点坐标为（a，b），则的值为__________．
解、设函数与的图象的交点坐标为（a，b），把（a，b）代入与中，得到 b=，b= a－1， 将两式变形得到a b=2，b－a=－1，
===。
2（2012福州）如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、
A
B
C
O
x
y
第10题图
B两点，若反比例函数y＝(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8
C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
解：∵ 点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，
∴ 当x＝1时，y＝－1＋6＝5，
当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4，∴ 点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大，则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∵ 1≤x≤4，∴ 当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)，
因此，k的取值范围是2≤k≤9．故选A．
3. （2011年怀化10分）
在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图像与AC边交于点E.
（1） 求证：AE×AO=BF×BO；
（2） 若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（3） 是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF长；若不存在，请说明理由.
(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图像上，且在第一象限，所以AE×AO=k，BF×BO=k，从而AE×AO=BF×BO.
(2)将点E的坐标为（2，4）代入反比例函数得k=8，
所以反比例函数的解析式为.
∵OB=6，∴当x=6时，y=，点F的坐标为（6，）.
设过点O、E、F三点的二次函数表达式为，将点O（0，0），E（2、4），F（6，）三点的坐标代入表达式得：
解得
∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为：.
(3) 如图11，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边于点C′.过点E作EH⊥OB于点H.
设CE=n，CF=m，则AE=6-n，BF=4-m
由（1）得AE×AO=BF×BO ∴(6-n)×4=(4-m)×6 ,解得n=1.5m.
由折叠可知，CF=C′F=m，CE=C′E=1.5m，∠EC′F=∠C=90°
在Rt△EHC′中，∠EC′H+∠C′EH=90°，
又∵∠EC′H+∠EC′F+FC′B=180°，∠EC′F=90°
∴∠C′EH=FC′B
∵∠EHC′=C′BF=90°
∴△EC′H∽△C′FB，∴
∴，
∵由四边形AEHO为矩形可得EH=AO=4 ∴C′B=.
在Rt△BC′F中，由勾股定理得，C′F2=BF2+C′B2，即m2=(4-m)2+
解得：m= BF=4-=,
在Rt△BOF中，由勾股定理得，OF2=BF2+OB2，即OF2=62+=.
∴OF=∴存在这样的点F，OF=,使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上.

4（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中．过点A作轴垂线，垂足为C，过点B作轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC//AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

解：（1）∵点A（1，4）在函数y＝的图像上，
∴4＝，得m＝4.……………………………2分
（2）∵点B（a，b）在函数y＝的图像上，∴ab＝4.
又∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D交AC于M，∴AC⊥BD于M
∴M（1，b），D（0，b），C（1，0）
∴tan∠BAC＝＝＝＝，tan∠DCM＝＝……………4分
∴tan∠BAC ＝tan∠DCM，
所以锐角∠BAC＝∠DCM，DC∥AB………………………………………………6分
（3）设直线AB的解析式为y＝kx＋b
∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形.
① 四边形ABCD是平行四边形时，AC与BD互相平分，
又∵AC⊥BD，∴B（2，2）
∴，解得
∴直线AB的解析式为：y＝－2x＋6.………………8分
②当四边形ABCD是等腰梯形时，
BD与AC相等且垂直，∵AC＝BD＝4，
∴B（4，1）
∴同理可求直线AB的解析式为y＝－x＋5.…………………10
5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
解：（1）设反比例函数的解析式，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴，即。∴反比例函数的解析式。
（2）∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。
∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D（4,3）。
∵点D在直线上，∴，解得。 ∴直线DF为。
将代入，得，解得。∴点F的坐标为（2，4）。
（3）∠AOF＝∠EOC。证明如下：
在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交ｘ轴于点H。
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS）。∴∠AOF=∠COG。
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（AAS）。∴EG=HG。
设直线EG：，
∵E（3，4），G（4，2），∴，解得，。
∴直线EG：。
令，得。∴H（5，0），OH=5。在Rｔ△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得OE=5。∴OH=OE。
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线。∴OG是等腰三角形顶角的平分线。
∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF＝∠EOC。

6(本题满分14分)如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴正半轴上，点B坐标为(3，3)，抛物线y=-x2+bx+c过点A、C,交x轴负半轴于点D,与BC边的另一个交点为E，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
(1) 求抛物线的函数关系式；
(2) 点P在直线MN上，求当PE + PA的值最小时点P的坐标；
(3) 如图2，探索在x轴是否存在一点F，使∠CFO =∠CDO-∠CAO．若存在，求点F的坐标；不存在，说明理由；
(4) 将抛物线沿y轴方向平移m个单位后，顶点为Q，若QO平分∠CQN,求点Q的坐标．

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