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函数及其表示方法
【基础知识】
1．函数的基本概念
(1)函数定义
设A，B是两个非空的___数集_____，如果按某种对应法则f，对于集合A中的____每一个元素x ________，在集合B中___都有惟一的元素y和它对应___________，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的___定义域_______，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域______．
(2)函数的三要素
__定义域______、__值域______和___　对应法则_______．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：_解析法_______、__列表法______、_图象法_______.
(4)函数相等
如果两个函数的定义域和___对应法则_________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．
(5)分段函数：在函数的__定义域______内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的_对应法则_________，这样的函数通常叫做分段函数．
分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的__并集____，值域是各段值域的__并集____．
2．映射的概念
(1)映射的定义
设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中_都有惟一_________确定的元素与之对应，那么这样的单值对应f：A→B叫集合A到集合B的___映射
_____．
(2)由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是非空数集．

【热身训练】
1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有________(填序号)．

答案：1．③
解析　对于题图①：M中属于(1,2]的元素，在N中没有象，不符合定义；
对于题图②：M中属于(，2]的元素的象，不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于题图③：符合M到N的函数关系；对于题图④：其象不唯一，因此也不表示M到N的函数关系．
2. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是________．
答案：0或1
解析　有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x＝1仅有一个函数值．
3. 设为从集合A到B的映射，若，则_____。
答案： 解析：由得，，解得。。
4. 下列四个命题：(1)f(x)＝＋有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；(4)函数y＝的图象是抛物线．其中正确的命题个数为________．
答案：1
解析　(1)x≥2且x≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．
5. 已知f(x)＝若f(x)＝3，则x的值为________．
答案：
解析　该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x2＝3，x＝±，而－1<x<2，∴x＝.

6. 设f(x)＝，g(x)＝，则f[g(3)]＝________，g[f(－)]＝________.
答案：7　
【典型例题】
例1试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，
∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。
例2　(1)已知f(＋1)＝lg x，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)．
解　(1)令＋1＝t，则x＝，
∴f(t)＝lg，
∴f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax＋b，(a≠0)
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴
∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(3)2f(x)＋f()＝3x，①
把①中的x换成，得
2f()＋f(x)＝，②
①×2－②，得3f(x)＝6x－，
∴f(x)＝2x－(x≠0)．

变式　给出下列两个条件：(1)f(＋1)＝x＋2；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．
变式　解　(1)令t＝＋1，
∴t≥1，x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴　∴
又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3.
例3　设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．
变式　(2010·江苏)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围为______________．

解析　方法一　若x≤0，则f(x)＝x2＋bx＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
解得∴f(x)＝
当x≤0，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
解得x＝－2，或x＝－1；
当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.
∴方程f(x)＝x有3个解．
方法二　由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解．

变式　(－1，－1)
解析　函数f(x)＝的图象如图所示：

f(1－x2)>f(2x)⇔，
解得－1<x<－1.

例4　下列对应法则是集合P上的函数的是________(填序号)．
(1)P＝Z，Q＝N*，对应法则f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
(2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应法则：f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；
(3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应法则f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．
变式迁移1　已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是________．
答案　(2)
解析　由于(1)中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且(3)中集合P不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P上的函数．由题意知，(2)正确．
变式迁移1　(1，＋∞)
解析　由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k)<0，∴k>1时满足题意．

【课堂反馈】
1. 集合，有以下四个对应法则：① ；②；③；④，其中不能构成从到的函数的是
答案：④
解析：由④可知，对于中的元素对应的像，所以不能构成从到的函数；其余均符合函数的定义。
2. 下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．
①y1＝，y2＝x－5；
②y1＝，y2＝；
③f(x)＝x，g(x)＝；
④f(x)＝，F(x)＝x；
⑤f1(x)＝()2，f2(x)＝2x－5.
答案：④
解析　①定义域不同；②定义域不同；③对应法则不同；④定义域相同，且对应法则相同；⑤定义域不同．
3.设f：x→x2是从集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B为____________．
答案：∅或{1}
解析　由已知x2＝1或x2＝2，解之得，x＝±1或x＝±，若1∈A，则A∩B＝{1}，若1∉A，则A∩B＝∅，
故A∩B＝∅或{1}．
4. 已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝______.
答案：2
5. (1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表达式；
(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)的表达式；
(3)若函数f(x)＝，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的表达式．
解　(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，∴f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)∵2f(x)－f(－x)＝x＋1，用－x去替换式子中的x，得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，即有，
解方程组消去f(－x)，得f(x)＝＋1.
(3)由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；
由f(x)＝x得＝x，变形得x(－1)＝0，解此方程得x＝0或x＝，
又∵方程有唯一解，
∴＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，
∴f(x)＝.

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