1、函数及其表示方法【基础知识】1函数的基本概念(1)函数定义设A，B是两个非空的_数集_，如果按某种对应法则f，对于集合A中的_每一个元素x _，在集合B中_都有惟一的元素y和它对应_，称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的_定义域_，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的_值域_(2)函数的三要素_定义域_、_值域_和_对应法则_(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：_解析法_、_列表法_、_图象法_.(4)函数相等如果两个函数的定义域和_对应法则_完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据(5)分段函数：在函数的_定义域_内，对于自变量x的不同取值区间，有
2、着不同的_对应法则_，这样的函数通常叫做分段函数分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的_并集_，值域是各段值域的_并集_2映射的概念(1)映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中_都有惟一_确定的元素与之对应，那么这样的单值对应f：AB叫集合A到集合B的_映射_(2)由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是非空数集【热身训练】1设集合Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有_(填序号)答案：1解析对于题图：M中属于(1,2的元素，
3、在N中没有象，不符合定义；对于题图：M中属于(，2的元素的象，不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于题图：符合M到N的函数关系；对于题图：其象不唯一，因此也不表示M到N的函数关系2. 函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是_答案：0或1解析有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x1仅有一个函数值3. 设为从集合A到B的映射，若，则_。答案： 解析：由得，解得。4. 下列四个命题：(1)f(x)有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y2x(xN)的图象是一条直线；(4)函数y的图象是抛物线其中正确的命题个数为_答案：1解析(1)x2且x1，不存在；(2)函数是特殊
4、的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线故只有(2)正确5. 已知f(x)若f(x)3，则x的值为_答案：解析该分段函数的三段各自的值域为(，1，0,4)，4，)，而30,4)，f(x)x23，x，而1xf(2x)的x的范围为_解析方法一若x0，则f(x)x2bxc.f(4)f(0)，f(2)2，解得f(x)当x0，由f(x)x，得x24x2x，解得x2，或x1；当x0时，由f(x)x，得x2.方程f(x)x有3个解方法二由f(4)f(0)且f(2)2，可得f(x)x2bxc的对称轴是x2，且顶点为(2，2)，于是可得到f(x)的简图(如
5、图所示)方程f(x)x的解的个数就是函数图象yf(x)与yx的图象的交点的个数，所以有3个解变式(1，1)解析函数f(x)的图象如图所示：f(1x2)f(2x)，解得1x0，对应法则f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应变式迁移1已知映射f：AB.其中ABR，对应法则f：xyx22x，对于实数kB，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是_答案(2)解析由于(1)中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且(3)中集合P不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P上的函数由题意知，(2)正确变式迁移1(1，)解析由题意知，方程x22xk无实数根，即x22xk0无实数根4(1k)1时满足题意
6、【课堂反馈】1. 集合，有以下四个对应法则： ；，其中不能构成从到的函数的是答案：解析：由可知，对于中的元素对应的像，所以不能构成从到的函数；其余均符合函数的定义。2. 下列各组中的两个函数是同一函数的为_(填序号)y1，y2x5；y1，y2；f(x)x，g(x)；f(x)，F(x)x；f1(x)()2，f2(x)2x5.答案：解析定义域不同；定义域不同；对应法则不同；定义域相同，且对应法则相同；定义域不同3.设f：xx2是从集合A到集合B的映射，如果B1,2，则AB为_答案：或1解析由已知x21或x22，解之得，x1或x，若1A，则AB1，若1A，则AB，故AB或14. 已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a_.答案：25. (1)若f(x1)2x21，求f(x)的表达式；(2)若2f(x)f(x)x1，求f(x)的表达式；(3)若函数f(x)，f(2)1，又方程f(x)x有唯一解，求f(x)的表达式解(1)令tx1，则xt1，f(t)2(t1)212t24t3，f(x)2x24x3. (2)2f(x)f(x)x1，用x去替换式子中的x，得2f(x)f(x)x1，即有，解方程组消去f(x)，得f(x)1. (3)由f(2)1得1，即2ab2；由f(x)x得x，变形得x(1)0，解此方程得x0或x，又方程有唯一解，0，解得b1，代入2ab2得a，f(x).第5页 共5页
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