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函数概念与表示

一、知识要点：
1．函数的定义及“三要素”： 定义域、对应关系 、值域。
2.常用的函数表示法：（1）列表法：（2）图象法：（3）解析法（分段函数）：（4）复合函数：
（1）求函数定义域一般方法：
①给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
②实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
③复合函数、抽象函数定义域：
已知的定义域，其复合函数的定义域。由解出。
已知的定义域，求的定义域。是在上的值域
（2）求函数解析式的方法：
①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法；
③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法；
（3）求函数值域的类型与求法：
类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域。
求法：①直接法、②配方法、 ③离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥叛别式法、⑦数形结合。
二、课前热身：
1、下各组函数中表示同一函数的有
（1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=； （4）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
2、函数y=的定义域为 
3、已知函数定义域为(0，2)， 定义域 ；
4、函数，的值域是
5、设函数则 ．
三、例题精讲：
题型1：函数关系式
例1．（1）设函数

变式1：已知函数，分别由下表给出

1
2
3

2
1
1

1
2
3

3
2
1

则的值为 ；当时， ．
变式2：已知函数f(x)= （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f的值.

题型2：求函数解析式
例2.（1）f(+1)=x+2;求f(x)
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.
（3）已知满足，求。

变式1： ，求.

变式2：设二次函数y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f(2)=6,求f（x）的解析式

题型3：求函数定义域
例3.求下列函数的定义域.
（1）

（2） 若函数的定义域为[-1,1]，函数的定义域 。

(3)已知：f（x）定义域为 求：f（x2 -2x-3）的定义域。

（4）已知：f（x2 -2x-2）的定义域为 求：f（x）的定义域

变式：函数f (2x－1)的定义域是(0, 1)，则函数f (1－3x)的定义域是

题型4：求函数值域
例4.求下列函数的值域.
1. y=2+4 2. 3.y=
4. y= 5. 6.

题型5：综合应用
例5. 求定义域在［-1，1］上的函数的值域。

变式：已知函数 的值域是，求此函数的定义域。

例6.已知函数 的值域为［1，3］，求a、b的值。

变式：若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值.

例7. 已知二次函数满足条件，，且方程 有两个相等实根。问是否存在实数，m、n (m<n)使得的定义域为［m，n］时，值域为［3m，3n］。如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由。

例8．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)= x0。求函数f(x)的解析表达式。

函数概念与表示练习

1、已知一次函数满足，，则解析式是
2、函数y＝x2＋的值域是
3、如果函数f（x）的定义域为[－1，3]，那么函数f（x）－f（－x）的定义域为 。
4、如果函数f（x）=的定义域为[－，+，那么实数a的值是 。
5、函数的定义域为R，那么实数a的取值范围是 。
6、已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是 。
7、已知 (x¹0), 求=
8．求下列函数的值域：
（1）； （2） （3）
（4） （5） （6）

9、函数y＝的最大值是___ __.

10、（1）若函数的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的为 。
（2）设f(x)= g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是［0，+∞），则g(x）的值域是 
11、（1）已知，求；
（2）已知是一次函数，且满足，求；

12、如图是下水道的一种横截面,上部为半圆,下部为矩形,若矩形下底边长为2x,此横截面面积为y,周长为l(常量)求: (1)y与x之间的函数表达式y=f(x)及其定义域;(2)y=f(x)的最大值.

13、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.
（1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(;(4)y=f(x+a)+f(x-a).


14、已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).
（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.

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