上海市浦东新区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).pdf

1浦东新区 2018 学年度第一学期教学质量检测高三数学试卷 2018.121.已知全集，集合，则_.RU 12,AUA1 2,2.抛物线的焦点坐标为_.24yx1 0,3.不等式的解为_.2log1021x4(,)4.已知复数满足（为虚数单位），则的模为_.z(1 i)4iziz225.若函数的图像恒过点，则函数的图像一定经过定点()yf x0 1(,)13()yfx_.1 3,6.已知数列为等差数列，其前项和为.若，则_.12 nannS936S348aaa7.在中，内角的对边是.若，则ABC,A B C,a b c22)32(bacb _.A568.已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为 33339.已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为，则展开式中412nxx37的第五项为_.358x10.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_.()2|1f xx xaa(,2)11.已知数列满足：，且na211007(1)2018(1)nnnnanana*()nN若则_.1009121,2,aa1lim,nnnaAaA212.已知函数，若对任意的，都存在唯一的 2,24161,22x axxxf xx12,x，满足，则实数的取值范围为_.2,2 x 12f xf xa2,6 a解：当时，.12,x1211041616xx，当时，2,2 x（1）若，则在上是单调递增函数，所以2a 11=22x aa xf x,2.若满足题目要求，则，所以 2210,2af x21100,162a，.又，所以.24111,24,62162aaa 2a 2,6a（2）若，则，在上是单调递增2a 1,21=21,2.2a xx ax axaf xax f x,a函数，此时；在上是单调递减函数，此时.0,1f x f x,2a 21,12af x若满足题目要求，则，又，所以.211,2162aa 2a 2,2a 综上，.2,6a 二、选择题二、选择题(本大题共有本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分分)每每小小题题都都给给出出四四个个选选项项，其其中中有有且且只只有有一一个个选选项项是是正正确确的的，选选对对得得 5 分分，否否则则一一律律得得零零分分.13.“”是“一元二次方程有实数解”的（）A14a20 xxa（A）充分非必要条件 （B）充分必要条件（C）必要非充分条件 （D）非充分非必要条件 14.下列命题正确的是（）D（A）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 （B）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 3（D）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 15.将位志愿者分配到进博会的个不同场馆服务，每个场馆至少 人，不同的分配方案431有（）种.B（A）（B）（C）（D）7236648116.已知点，为曲线上任意一点，则的取值范1,2,2,0ABP2334yx AP AB围为（）A（A）（B）（C）（D）1,71,71,32 31,32 3三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须写出必要的步骤分）解答下列各题必须写出必要的步骤17（本小题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分已知直三棱柱中，.ABCCBA1119011BAC,AAACAB（1）求异面直线与所成角；BA111CB（2）求点到平面的距离1BBCA1解：（1）在直三棱柱中，ABCCBA111ABAA 1,ACAA 19011BAC,AAACAB所以，2 分211BCCABA因为，所以，为异面直线与所成的角或补角4 分11CB/BCBCA1BA111CB在中，因为，BCA1211BCCABA所以，异面直线与所成角为7 分BA111CB3（2）设点到平面的距离为，1BBCA1h由（1）得，9 分23322211sinSBCA，11 分21112111BBAS因为，12 分BBACBCABVV1111所以，解得，CAShSBBABCA111313133hA1CCB1B1A4所以，点到平面的距离为14 分1BBCA133或者用空间向量：（1）设异面直线与所成角为，如图建系，则，BA111CB1011,BA，4 分01111,CB因为，321221111111CBBACBBAcos所以，异面直线与所成角为7 分BA111CB3（2）设平面的法向量为，则BCA1w,v,un BAn,BCn1又，9 分011,BC1011,BA所以，由，得12 分00001wuvuBAnBCn111,n 所以，点到平面的距离14 分1BBCA1331nnBBd18（本小题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）已知函数.2()2 3sin cos2sinf xxxx（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；3 45 5(,)P()f（2）当时，求的单调递增区间和值域.,63 x()f x解：（1）角的终边与单位圆交于点，2 分3 45 5(,)P43sin=,cos=554 分2243424 332()2 3sincos2sin2 32()55525 f （2）2()2 3sin cos2sinf xxxxzyx010,C001,B000,A1001,A1011,B1101,C5 6 分3sin2cos21xx 8 分2sin(2)16x由得，222262kxk36kxk又，所以的单调递增区间是；10,63x()f x,66x 分，12 分,63x 52666x，的值域是.14 分1sin(2)126x()f x 2,119（本小题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：3 小时以内（含 3 小时）为健康时间健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：E）与游玩时间（小时）满足关系式：；expt22016Etta3 到 5 小时（含 5 小时）为疲劳时间疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为 0（即累积经验值不变）；超过 5 小时为不健康时间不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为.50（1）当时，写出累积经验值与游玩时间 的函数关系式，并求出游玩 61a Et()Ef t小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值与游玩时间 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；Et()H t若，且该游戏厂商希望在健康时间内在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于 24，求0a 实数的取值范围.a解：（1）22016,03()85,3533550,5tttEf tttt （写对一段得 1 分，共 3 分）时，6t(6)35E 6（6 分）（2）时，03t 16()=20aH ttt（8 分）16()244 aH ttt 04319,4 1684aaa （10 分）439(,)1616343aaa （12 分）综上，1,)4a （14 分）20（本小题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）已知双曲线:的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分22221(0,0)xyabab1F2F别是、，弦 和所在直线分别平行于轴与 轴，线段的延长线与线段1A2AABCDxyBA相交于点P（如图）CD（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；(2,3)d （2）若，试求双曲线的方程；1PA 5PB 2PC 4PD（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线124A A C1CA与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？2CA:1l x MNMN若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由7解：（1）双曲线的渐近线方程为：22221xyab即，所以，2 分0bxay32ba从而，3tan2222tan2tan4 31tan2所以.4 分arctan4 3（2）设，则由条件知：(,)PPP xy，11()()322PxPBPAPAPBPA，即6 分11()()122PyPCPDPCPDPC(3,1)P所以，.7 分(2,1)A(3,3)C代入双曲线方程知：9 分2751,2781199114222222bababa.10 分127527822yx（3）因为，所以，由（1）知，所以的方程为:124A A 2a 3b，22143xy令，所以，00(,)C xy2200143xy，令，所以，010:(2)2yCAyxx1x 003(1,)2yMx，令，所以，12 分020:(2)2yCAyxx1x 00(1,)2yNx故以为直径的圆的方程为：，MN200003(1)()()022yyxyyxx20 题图8即，222000200033(1)()0224yyyxyyxxx即，.14 分22000039(1)()0224yyxyyxx若以为直径的圆恒经过定点MN),(yx于是0231049)1(022yxyxy所以圆过轴上两个定点和16 分x5(,0)21(,0)221（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点（），并xOyx123,nA A AA*nN在第一象限内的抛物线上依次取点（），使得232yx123,nB B BB*nN1kkkAB A都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为.*()kN0An()f n（1）求，并猜想（不要求证明）；(1),(2)ff()f n（2）令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列9()8naf nmtna2(9,9)mm的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存 mtmmS2mS*mN在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列满足：数列满足：nb21122,11,22nnbbb nc求证：.211111,nnncccc1()2nnnbfc解：（1），(1)1f(2)2f（2 分）猜想()f nn（2 分）（2）98nan9（5 分）由21218899899999mmmmnn 112191,92,9mmmn（6 分）21199mmmt（7 分）352211(9 1)(99)(99)(99)mmmS352121(9999)(1 999)mm（9 分）22129(1 9)(1 9)910 911 91 980mmmm对任意恒成立2mS*mN（10 分）.min12()83mSS（3）记，则1sin,4b1sin,4nnb 12sin1 cossin22nnn*1()2nnnN（12 分）记，则1tan,4c1tan,4nnc 1sec1tantantan2nnnn*1()2nnnN（14 分）11sin,tan,22nnnnbc当时，可知：(0,)2xsintanxxx10 1111sin()tan,2222nnnnnnbfc（18 分）