资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列结论正确的是（ ）
A．垂直于弦的弦是直径 B．圆心角等于圆周角的2倍
C．平分弦的直径垂直该弦 D．圆内接四边形的对角互补
2．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点，，过第四象限内一动点作轴的垂线，垂足为，且，点、分别在线段和轴上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．关于二次函数y=2x2+4,下列说法错误的是( )
A．它的开口方向向上 B．当x=0时,y有最大值4
C．它的对称轴是y轴 D．顶点坐标为(0,4)
7．如图，将一副三角板如图放置，如果，那么点到的距离为( )
A． B． C． D．
8．下列二次函数，图像与轴只有一个交点的是 （ ）
A． B．
C． D．
9．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=1．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
11．四条线段成比例,其中＝3，，，则等于( )
A．2㎝ B．㎝ C． D．8㎝
12．如图，点M在某反比例函数的图象上，且点M的横坐标为，若点和在该反比例函数的图象上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC=_______________.
14．二次函数的图像经过原点，则a的值是______.
15．函数y=–1的自变量x的取值范围是 ．
16．古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是（0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，若某位女性身高为165cm，肚脐到头顶高度为65cm，则其应穿鞋跟为_____cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例．（精确到1cm）
17．二次函数图象的顶点坐标为________．
18．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 .
三、解答题（共78分）
19．（8分）先化简，再求值：（）÷，其中a是一元二次方程对a2+3a﹣2＝0的根．
20．（8分）为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下表：
（1）甲、乙的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙这5次比赛的成绩的方差分别是多少？
（3）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应该胜出？说明你的理由；
（4）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？
21．（8分）为了了解班级学生数学课前预习的具体情况，郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）C类女生有 名，D类男生有 名，将上面条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是 ；
（3）为了共同进步，郑老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率，
22．（10分）如图，已知抛物线．
（1）用配方法将化成的形式，并写出其顶点坐标；
（2）直接写出该抛物线与轴的交点坐标．
23．（10分）如图，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0），B（4，0），反比例函数的图象经过点C．求点C的坐标及反比例函数的解析式．
24．（10分）如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线CF于点H，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线CF下方的抛物线上，用含m的代数式表示线段PH的长，并求出线段PH的最大值及此时点P的坐标；
（3）当PF﹣PM＝1时，若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．
25．（12分）如图，折叠边长为的正方形，使点落在边上的点处（不与点，重合），点落在点处，折痕分别与边、交于点、，与边交于点.证明：
（1）；
（2）若为中点，则；
（3）的周长为.
26．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时1.5秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】分别根据垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质对各选项进行逐一分析即可.
【详解】解：A，垂直于弦的弦不一定是直径,故本选项错误;B，在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，故本选项错误;C，平分弦的直径垂直该弦(非直径),故本选项错误;D，符合圆内接四边形的性质故本选项正确.故选：D.
【点睛】
本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及圆内接四边形的基本性质.
2、B
【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
【详解】根据圆锥的侧面积公式：rl＝×2×6＝12，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
3、B
【分析】根据判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
4、C
【解析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，不合题意，故本选项错误；
B、是最简二次根式，不合题意，故本选项错误；
C、因为=2，所以不是最简二次根式，符合题意，故本选项正确；
D、是最简二次根式，不合题意，故本选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，根据定义，最简二次根式必须满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式．
5、B
【分析】先求出直线AB的解析式，再根据已知条件求出点C的运动轨迹，由一次函数的图像及性质可知：点C的运动轨迹和直线AB平行，过点C作CE⊥AB交x轴于P，交AB于E，过点M（0，-3）作MN⊥AB于N根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时CE即为的最小值，且MN=CE，然后利用锐角三角函数求MN即可求出CE.
【详解】解：设直线AB的解析式为y=ax＋b（a≠0）
将点，代入解析式，得
解得：
∴直线AB的解析式为
设C点坐标为（x，y）
∴CD=x，OD=-y
∵
∴
整理可得：，即点C的运动轨迹为直线的一部分
由一次函数的性质可知：直线和直线平行，
过点C作CE⊥AB交x轴于P，交AB于E，过点M（0，-3）作MN⊥AB于N根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时CE即为的最小值，且MN=CE，如图所示
在Rt△AOB中，AB=，sin∠BAO=
在Rt△AMN中，AM=6，sin∠MAN=
∴CE=MN=，即的最小值是.
故选：B.
【点睛】
此题考查的是一次函数的图像及性质、动点问题和解直角三角形，掌握用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图像及性质、垂线段最短和平行线之间的距离处处相等是解决此题的关键.
6、B
【分析】根据二次函数的图象及性质与各项系数的关系，逐一判断即可.
【详解】解：A. 因为2＞0，所以它的开口方向向上，故不选A；
B. 因为2＞0，二次函数有最小值，当x=0时,y有最小值4，故选B；
C. 该二次函数的对称轴是y轴，故不选C；
D. 由二次函数的解析式可知：它的顶点坐标为(0,4)，故不选D.
故选：B.
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键.
7、B
【分析】作EF⊥BC于F，设EF＝x，根据三角函数分别表示出BF,CF，根据BD∥EF得到△BCD∽△FCE，得到,代入即可求出x．
【详解】如图，作EF⊥BC于F，设EF＝x，
又∠ABC=45°，∠DCB=30°，
则BF=EF÷tan45°=x,FC=EF÷tan30°=x
∵BD∥EF
∴△BCD∽△FCE，
∴,即
解得x=，x=0舍去
故EF＝，选B．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定及解直角三角形的应用．
8、C
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个交点，可知b2-4ac=0，据此判断即可．
【详解】解：∵二次函数图象与x轴只有一个交点，∴b2-4ac=0，
A、b2-4ac=22-4×1×（-1）=8，故本选项错误；
B、b2-4ac=72-4×（-2）×（-7）=-7，故本选项错误；
C、b2-4ac=（-12）2-4×4×9=0，故本选项正确；
D、b2-4ac=（-4）2-4×1×16=-48，故本选项错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点，根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴只有一个交点时，得到b2-4ac=0是解题的关键．
9、D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．
【详解】解：A、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故C选项错误；
D、符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故D选项正确；
故答案选D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键．
10、A
【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
【详解】∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
如图所示，
将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A′的坐标为（﹣1，1），
再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（1，1），
故选A．
【点睛】
本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键．
11、A
【分析】四条线段a，b，c，d成比例，则 = ，代入即可求得b的值．
【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴ =，
∴b= = =2（cm）．
故选A．
【点睛】
本题考查成比例线段，解题关键是正确理解四条线段a，b，c，d成比例的定义．
12、A
【分析】反比例函数在第一象限的一支y随x的增大而减小，只需判断a与2a的大小便可得出答案．
【详解】∵a＜2a
又∵反比例函数在第一象限的一支y随x的增大而减小
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查比较大小，需要用到反比例函数y与x的增减变化，本题直接读图即可得出．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【详解】试题分析：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，∴AH平分∠BAC，且BH=BC=4.
又∵∠BPC=∠BAC，∴∠BAH=∠BPC.
∴tan∠BPC=tan∠BAH.
在Rt△ABH中，AB=5，BH=4，∴AH=1．
∴tan∠BAH=.
∴tan∠BPC=.
考点：1.等腰三角形的性质；2.锐角三角函数定义；1.转化思想的应用.
14、1
【分析】根据题意将（0，0）代入二次函数，即可得出a的值．
【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴=0，
∴a=±1，
∵a+1≠0，
∴a≠-1，
∴a的值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的特征，图象过原点，可得出x=0，y=0，从而分析求值．
15、x≥1
【解析】试题分析：根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于1，可知x≥1．
考点：二次根式有意义
16、1
【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．
【详解】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，
则 ≈0.618，
解得：x≈1，且符合题意．
故答案为1．
【点睛】
此题考查黄金分割的应用，解题关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
17、
【解析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的h，k所表示的意义．
18、9.6
【解析】试题分析：设树的高度为x米，根据在同一时刻物高与影长成比例，即可列出比例式求解.
设树的高度为x米，由题意得
解得
则树的高度为9.6米．
考点：本题考查的是比例式的应用
点评：解答本题的关键是读懂题意，准确理解在同一时刻物高与影长成比例，正确列出比例式.
三、解答题（共78分）
19、a1+3a，1
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a1+3a﹣1＝0可以得到a1+3a的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：（）÷
＝[]•a（a﹣1）
＝（）•a（a﹣1）
＝•a（a﹣1）
＝a（a+3）
＝a1+3a，
∵a1+3a﹣1＝0，
∴a1+3a＝1，
∴原式＝1．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，代数式求值．解决此题应注意运算顺序，能熟练掌握通分、因式分解、约分等知识点是解题关键．
20、（1）=8（环），=8（环）；（2），；（3）甲胜出，理由见解析；（4）见解析．
【分析】（1）根据平均数的计算公式先求出平均数，
（2）根据方差公式进行计算即可；
（3）根据方差的意义，方差越小越稳定，即可得出答案．
（4）叙述符合题意，有道理即可
【详解】（1）（环），
（环）
（2）
（3）甲胜出．因为＜，甲的成绩稳定，所以甲胜出．
（4）如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：如果平均成绩相同，则命中满环（10环）次数多者胜出．（答案不唯一）
【点睛】
本题考查一组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而方差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
21、（1）3，1；（2）36°；（3）
【分析】（1）根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数，利用总人数乘以对应的比例即可求得C类的人数，然后求得C类中女生人数，同理求得D类男生的人数；
（2）利用360°×课前预习不达标百分比，即可解答；
（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】（1）C类学生人数：20×25%＝5（名）
C类女生人数：5﹣2＝3（名），
D类学生占的百分比：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，
D类学生人数：20×10%＝2（名），
D类男生人数：2﹣1＝1（名），
故C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图，
故答案为3，1；
（2）360°×（1﹣50%﹣25%﹣15%）＝36°，
答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是36°；
故答案为36°；
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝．
【点睛】
此题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题关键在于读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22、（1），顶点坐标为；（2），，
【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，从而求出抛物线的顶点坐标；
（2）将y=0代入解析式中即可求出结论．
【详解】解：（1），
顶点坐标为；
（2）将y=0代入解析式中，得
解得：
∴抛物线与轴的交点坐标为，，
【点睛】
此题考查的是求抛物线的顶点坐标和求抛物线与x轴的交点坐标，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式和一元二次方程的解法是解决此题的关键．
23、点C坐标为（2，2），y＝
【分析】过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y＝，根据等边三角形的知识求出AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值．
【详解】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
设反比例函数的解析式为y＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠CAB＝60°，
∴AD＝3，CD＝sin60°×4＝×4＝2，
∴点C坐标为（2，2），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
【点睛】
考查了待定系数法确定反比例函数的解析式的知识，解题的关键是根据题意求得点C的坐标，难度不大．
24、（1）y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1；（2）m＝0时，PH的值最大最大值为2，P（0，2）；（3）△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，将点B的坐标代入求得a的值即可；
（2）求出直线CF的解析式，求出点P、H的坐标，构建二次函数即可解决问题；
（3）据三角形的面积公式求得点P到CF的距离，过点C作CG⊥CF，取CG＝．则点G的坐标为（﹣1，2）或（1，4），过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入求得直线GH的解析式，将直线GH的解析式与抛物线的解析式，联立可得到点P的坐标，当PC+PF最小时，△PCF的周长最小，由PF﹣PM＝1可得到PC+PF＝PC+PM+1，故此当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小，然后可求得此时点P的坐标；
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，
将点B的坐标代入得：4a＝1，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1．
（2）设CF的解析式为y＝kx+3，将点F的坐标F（2，1）代入得：2k+3＝1，解得k＝﹣1，
∴直线CF的解析式为y＝﹣x+3，
由题意P（m，m2﹣m+1），H（m，﹣m+3），
∴PH＝﹣m2+2，
∴m＝0时，PH的值最大最大值为2，此时P（0，2）．
（3）由两点间的距离公式可知：CF＝2．
设△PCF中，边CF的上的高线长为x．则×2x＝2，解得x＝．
过点C作CG⊥CF，取CG＝．则点G的坐标为（﹣1，2）．
过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入得：1+b＝2，解得b＝1，
∴直线GH的解析式为y＝﹣x+1，
与 y＝（x﹣2）2联立 解得：，
所以△PCF的一个巧点的坐标为（0，1）．
显然，直线GH在CF的另一侧时，直线GH与抛物线有两个交点．
∵FC为定点，
∴CF的长度不变，
∴当PC+PF最小时，△PCF的周长最小．
∵PF﹣PM＝1，
∴PC+PF＝PC+PM+1，
∴当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小．
∴此时P（0，1）．
综上所述，△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）根据折叠和正方形的性质结合相似三角形的判定定理即可得出答案；
（2）设BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性质证明即可得出答案；
（3）设BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】证明：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为折痕，
∴，
∴，
∴，
在与中
∵，，
∴；
（2）∵为中点，
∴，
设，则，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，，
由（1）知，，
∴，
∴，，
∴；
（3）设，则，，
在中，，
∴，即，
解得：，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的综合，涉及的知识点有折叠的性质、正方形的性质、勾股定理和相似三角形，难度系数较大.
26、 (1) ;(2)此校车在AB路段超速，理由见解析.
【分析】（1）结合三角函数的计算公式，列出等式，分别计算AD和BD的长度，计算结果，即可．（2）在第一问的基础上，结合时间关系，计算速度，判断，即可．
【详解】解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，tan30°＝＝，
解得AD＝24．
在 Rt△BDC 中，tan60°＝＝，
解得BD＝8
所以AB＝AD﹣BD＝24﹣8＝16（米）．
（2）汽车从A到B用时1.5秒，所以速度为16÷1.5≈18.1（米/秒），
因为18.1（米/秒）＝65.2千米/时＞45千米/时，
所以此校车在AB路段超速．
【点睛】
考查三角函数计算公式，考查速度计算方法，关键利用正切值计算方法，计算结果，难度中等．
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