资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．且 B． C． D．
3．方程的两根分别是，则等于 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
4．如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，则下列比例式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-3 B．k≥-3 C．k≥0 D．k≥1
8．二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再先向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再先向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再先向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再先向下平移1个单位
9．如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，将抛物线向上平移得到，过点作轴交抛物线于点，如果由抛物线、、直线及轴所围成的阴影部分的面积为，则抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知某函数的图象与函数的图象关于直线对称,则以下各点一定在图象上的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．反比例函数的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝____________．
12．若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为______．
13．方程组的解是_____．
14．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．
15．P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，将△ABP逆时针旋转，使得AB与AC重合，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角∠PCQ：∠QPC：∠PQC=________．
16．方程的根是__________．
17．顺次连接矩形各边中点所得四边形为_____．
18．如图，与中，，，，，AD的长为________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）在数学活动课上，同学们用一根长为1米的细绳围矩形．
(1)小明围出了一个面积为600cm2的矩形，请你算一算，她围成的矩形的长和宽各是多少？
(2)小颖想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形，请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围，并求出最大面积.
20．（6分）为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题:
（1）参加征文比赛的学生共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，表示等级的扇形的圆心角为__ 图中 ；
（4）学校决定从本次比赛获得等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．（6分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
22．（8分）某服装店因为换季更新，采购了一批新服装，有A、B两种款式共100件，花费了6600元，已知A种款式单价是80元/件，B种款式的单价是40元/件
（1）求两种款式的服装各采购了多少件？
（2）如果另一个服装店也想要采购这两种款式的服装共60件，且采购服装的费用不超过3300元，那么A种款式的服装最多能采购多少件？
23．（8分）（1）计算：|﹣2|+（π﹣3）1+2sin61°．
（2）解下列方程：x2﹣3x﹣1＝1．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设．
（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线经过点A．
（1）求曲线的表达式；
（2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线围成的封闭区域为图象G．
①当时，直接写出图象G上的整数点个数是 ；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G包含边界．）
②当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．
26．（10分）下面是一位同学做的一道作图题：
已知线段、、（如图所示），求作线段，使.
他的作法如下：
1.以下为端点画射线，.
2.在上依次截取，.
3.在上截取.
4.联结，过点作，交于点.
所以：线段______就是所求的线段.
（1）试将结论补完整：线段______就是所求的线段.
（2）这位同学作图的依据是______；
（3）如果，，，试用向量表示向量.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．
时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
2、A
【分析】根据题意可得k满足两个条件，一是此方程是一元二次方程，所以二次项系数k不等于0，二是方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac>0，根据这两点列式求解即可.
【详解】解：根据题意得，
k≠0,且(-6)2-36k>0,
解得，且.
故选：A.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义及利用一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围，根据需满足定义及根的情况列式求解是解答此题的重要思路.
3、B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案.
【详解】解：∵的两根分别是，
∴，
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.
4、D
【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可．
【详解】解：∵∠A=∠A
若，不是对应角，不能判定，故A选项不符合题意；
若，不是对应角，不能判定，故B选项不符合题意；
若，但∠A不是两组对应边的夹角，不能判定，故C选项不符合题意；
若，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得，故D选项符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键．
5、D
【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断.
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，，，.
∴选项A、B、C正确，D错误.
故选D.
点睛：本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键
6、C
【分析】根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，再根据平行于轴，之间距离不变，点的横坐标的最大值为，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点横坐标的最小值．
【详解】根据题意知，点的横坐标的最大值为，
此时对称轴过点，点的横坐标最大，此时的点坐标为，
当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，点的坐标为，
故点的横坐标的最小值为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质．解答本题的关键是理解二次函数在平行于轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
7、D
【解析】根据∆>0且k-1≥0列式求解即可.
【详解】由题意得
()2-4×1×(-1)>0且k-1≥0，
解之得
k≥1.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
8、B
【解析】试题分析：因为函数y=x2的图象沿y轴向下平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数y=x2﹣1；然后再沿x轴向左平移2个单位长度，可得新函数y=（x+2）2﹣1．
解：∵函数y=x2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度，
得，y=（x+2）2；
然后y轴向下平移1个单位长度，
得，y=（x+2）2﹣1；
故可以得到函数y=（x+2）2﹣1的图象．
故选B．
考点：二次函数图象与几何变换．
9、A
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与x轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形OABC的面积可求出AB的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出抛物线的函数表达式．
【详解】当y＝0时，有（x−2）2−2＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
∴OA＝1．
∵S阴影＝OA×AB＝16，
∴AB＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x−2）2−2＋1＝
故选A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形OABC的面积是解题的关键．
10、A
【分析】分别求出各选项点关于直线对称点的坐标，代入函数验证是否在其图象上，从而得出答案．
【详解】解：A． 点关于对称的点为点，
而在函数上，
点在图象上；
B． 点关于对称的点为点，
而不在函数上，
点不在图象上；
同理可C 、D不在图象上．
故选：．
【点睛】
本题考查反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线的对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数的图象上，即可得出k＝2n＝3(n﹣1)，解出即可．
【详解】∵点P的坐标为(2，n)，则点Q的坐标为(3，n﹣1)，
依题意得：k＝2n＝3(n﹣1)，
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
12、，
【分析】根据对称轴方程求得b，再代入解一元二次方程即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=1，
∴=1,即b=-2
∴
解得：，
故答案为，．
【点睛】
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，根据抛物线的对称轴确定b的值是解答本题的关键．
13、
【分析】根据二元一次方程组的解法解出即可．
【详解】解：，
①+②得：
3x＝9，
x＝3，
把x＝3代入①得：y＝2，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组,关键在于熟练掌握解法步骤．
14、（2，﹣3）
【分析】根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).
【详解】抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.
故答案为（2，﹣3）
【点睛】
本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.
15、3：4：2
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ ，可得△AQP是等边三角形，△QCP的三边长分别为PA,PB,PC ，由∠APB+∠BPC+∠CPA=360,∠APB: ∠BPC: ∠CPA=5:6:7，可得∠APB=100, ∠BPC=120, ∠CPA=140，可得答案.
【详解】解:如图,
将△APB绕A点逆时针旋转60得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ,
AQ=AP,∠QAP=60,
△AQP是等边三角形,
PQ=AP,
QC=PB,△QCP的三边长分别为PA,PB,PC,
∠APB+∠BPC+∠CPA=360,∠APB: ∠BPC: ∠CPA=5:6:7,
∠APB=100, ∠BPC=120, ∠CPA=140，
∠PQC=∠AQC-∠AQP=∠APB-∠AQP=100-60=40，
∠QPC=∠APC-∠APQ=140-60=80,
∠PCQ=180-(40+80)=60,
∠PCQ: ∠QPC: ∠PQC=3:4:2,
故答案为:3:4:2.
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等边三角形的性质，综合性大，注意运算的准确性.
16、，
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【详解】解：x2＝3x
x2﹣3x＝0
即x（x﹣3）＝0
∴，
故本题的答案是，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
17、菱形
【详解】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为菱形．
考点：三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的性质．
18、
【分析】先证明△ABC∽△ADB，然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可.
【详解】∵，，
∴△ABC∽△ADB，
∴,
∵，，
∴，
∴AD=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
三、解答题(共66分)
19、（1）20，30；（2）用这根细绳围成一个边长为25㎝的正方形时，其面积最大，最大面积是625
【分析】（1）已知细绳长是1米，则已知围成的矩形的周长是1米，设她围成的矩形的一边长为xcm，则相邻的边长是50-xcm．根据矩形的面积公式，即可列出方程，求解；
（2）设围成矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，根据矩形面积公式就可以表示成边长x的函数，根据函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设矩形的长为x㎝,则宽为=（50-x)㎝
根据题意，得x（50-x)=600
整理，得x2－50x＋600=0
解得x1=20，x2 =30
∴他围成的矩形的长为30㎝，宽为20㎝.
（2）设围成的矩形的一边长为m㎝时，矩形面积为y㎝2,则有
y=m（50-m)
=50m-m2
=-(m2-50m)
=-(m2-50m+252-252)
=-(m-25)2＋625
∴当m=25㎝时，y有最大值625㎝．
20、（1）30；（2）图见解析；（3）144°，30；（4） ．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据条形统计图得出A、C、D等级的人数，用总人数减A、C、D等级的人数即可；
（3）计算C等级的人数所占总人数的百分比，即可求出表示等级的扇形的圆心角和的值；
（4）利用列表法或树状图法得出所有等可能的情况数，找出一名男生和一名女生的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意得成绩为A等级的学生有3人，所占的百分比为10%，
则3÷10%=30，
即参加征文比赛的学生共有30人；
（2）由条形统计图可知A、C、D等级的人数分别为3人、12人、6人，
则30−3−12−6=9（人），即B等级的人数为9人
补全条形统计图如下图
（3），
，∴m=30
（4）依题意，列表如下:
男
女
女
男
(男，女)
(男，女)
女
(男，女)
(女，女)
女
(男，女)
(女，女)
由上表可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，
所以；
或树状图如下
由上图可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，
所以．
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键．
21、 (1)见解析；（2）=﹣．
【解析】（1）由 得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；
（2）根据已知可得 ， ，从而即可得.
【详解】（1）∵ ， ∴，
∵DE//BC，∴，
又∵DF//AC，∴ ；
（2）∵，∴，
∵，与方向相反 ， ∴ ，
同理： ，
又∵，∴.
22、（1）A种款式的服装采购了65件，B种款式的服装采购了1件；（2）A种款式的服装最多能采购2件．
【分析】（1）设A种款式的服装采购了x件，则B种款式的服装采购了（100﹣x）件，根据总价＝单价×数量结合花费了6600元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设A种款式的服装采购了m件，则B种款式的服装采购了（60﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过3300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设A种款式的服装采购了x件，则B种款式的服装采购了（100﹣x）件，
依题意，得：80x+40（100﹣x）＝6600，
解得：x＝65，
∴100﹣x＝1．
答：A种款式的服装采购了65件，B种款式的服装采购了1件．
（2）设A种款式的服装采购了m件，则B种款式的服装采购了（60﹣m）件，
依题意，得：80m+40（60﹣m）≤3300，
解得：m≤2．
∵m为正整数，
∴m的最大值为2．
答：A种款式的服装最多能采购2件．
【点睛】
本题考查的是一元一次方程以及不等式在实际生活中的应用，难度不高，认真审题，列出方程是解决本题的关键.
23、（1）3；（2）
【分析】（1）由题意先计算绝对值、零指数幂，代入三角函数值，再进一步计算可得；
（2）根据题意直接利用公式法进行求解即可．
【详解】解：（1）|﹣2|+（π﹣3）1+2sin61°
＝2﹣+1+2×
＝2﹣+1+
＝3；
（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞1，
则x＝，
即x1＝，x2＝．
【点睛】
本题主要考查含三角函数值的实数运算以及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）；（3）n=2或．
【分析】（1）因为GF⊥AF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；
（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可证明△ABE~△DAC ， 则，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；
（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答．
【详解】（1）证明：由对称得AE=FE，
∴∠EAF=∠EFA，
∵GF⊥AE，
∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，
∴∠FGA=∠EFG，
∴EG=EF，
∴AE=EG．
（2）解：设AE=a，则AD=na，当点F落在AC上时（如图1），由对称得BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，
∵∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
又∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DAC ，
∴
∵AB=DC，
∴AB2=AD·AE=na·a=na2，
∵AB>0，
∴AB=，
∴
∴.
（3）解：设AE=a，则AD=na，由AD=1AB，则AB=.
当点F落在线段BC上时（如图2），EF=AE=AB=a，此时，
∴n=1，
∴当点F落在矩形外部时，n>1．
∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，
∴∠FCG<∠BCD，
∴∠FCG<90°，若∠CFG=90°，则点F落在AC上，由（2）得=，
∴n=2．
若∠CGF=90°（如图3），则∠CGD+∠AGF=90°，
∵∠FAG+∠AGF=90°，
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE~△DGC，
∴，
∴AB·DC=DG·AE，即.
解得 n=或n=＜1（不合题意，舍去），
∴当n=2或时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．
考点：矩形的性质；解直角三角形的应用；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．
25、（1）y=；（2）①3；②-1≤a-
【分析】（1）由题意代入A点坐标，求出曲线的表达式即可；
（2）①当时，根据图像直接写出图象G上的整数点个数即可;
②当图象G内只有3个整数点时，根据图像直接写出a的取值范围．
【详解】解：（1）∵A（1,1），
∴k=1，
∴．
（2）①观察图形时，可知个数为3；
②观察图像得到．
【点睛】
本题考查反比例函数图像相关性质，熟练掌握反比例函数图像相关性质是解题关键.
26、（1）CD；（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）等；（3）
【分析】（1）根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；
（2）根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；
（3）先证△OAC∽△OBD得，即，从而知，又，与反向可得出结果.
【详解】解：（1）根据作图知，线段CD就是所求的线段x，
故答案为：CD；
（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）；或三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）.
（3），
∴△OAC∽△OBD，
.
，，
.得.
，，与反向，
.
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．
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