资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．的值是( )
A． B． C． D．
3．方程的根为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．已知两个相似三角形的相似比为4:9，则这两个三角形的对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
5．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（ ）
A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等
6．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10 次，若共有 x 人参加聚会，则根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
7．化简的结果是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
8．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．已知圆锥的底面半径为5，母线长为13，则这个圆锥的全面积是（ ）
A． B． C． D．
10．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和3个绿球，从袋子中随机摸出一个小球，记下颜色后，不放回再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在中，，是三角形的角平分线，如果，，那么点到直线的距离等于___________.
12．如图，在正方体的展开图形中，要将﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字互为相反数的概率是______．
13．如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠为，点落在边上，若，，则________．
14．小王存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年 的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为__________．
15．在△ABC中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB于点P，当△PQB为等腰三角形时，线段AP的长为_____．
16．如图，在中，，对角线，点E是线段BC上的动点，连接DE，过点D作DP⊥DE，在射线DP上取点F，使得，连接CF,则周长的最小值为___________.
17．如图，的顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，AB中点P恰好落在y轴上，则的面积为_____．
18．设、是关于的方程的两个根，则__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，Rt△FHG中，H=90°，FH∥x轴，，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），点D为二次函数图像的顶点.
（1）求二次函数y1的函数关系式；
（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图像上，求点G的坐标及△FHG的面积；
（3）设一次函数y=mx+m与函数y1、y2的图像对称轴右侧曲线分别交于点P、Q. 且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由.
20．（6分）如图，一次函数y1＝x+4的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求k．
（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若反比例函数y2＝与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，求k的取值．
21．（6分）我县从2017年底开始落实国家的脱贫攻坚任务，准备加大基础设施的投入力度，某乡镇从2017年底的100万到2019年底的196万元，用于基础建设以落实国家大政方针．设平均每年所投入的增长率相同．
（1）求2017年底至2019年底该乡镇的年平均基础设施投入增长率？
（2）按照这一投入力度，预计2020年该乡镇将投入多少万元？
22．（8分）如图，在中，，，．动点从点出发，沿线段向终点以/的速度运动，同时动点从点出发，沿折线以/的速度向终点运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，以、为邻边作设▱与重叠部分图形的面积为点运动的时间为．
（1）当点在边上时，求的长（用含的代数式表示）；
（2）当点落在线段上时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
23．（8分）在一个不透明的盒子中装有张卡片，张卡片的正面分别标有数字，，，，，这些卡片除数字外，其余都相同．
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有偶数的卡片的概率是多少？
（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的张卡片上标有的数字之和大于的概率（画树状图或列表求解）．
24．（8分）已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若DF∥AB，则BD与CD有怎样的数量关系？并证明你的结论．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．
（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，请在图中画出旋转后的图形△A′B′C，点B′的坐标为________；
（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路径的长（结果保留π）．
26．（10分）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘转盘A被平均分成3等份，分别标上三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则；自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则为乙获胜.你认为这样的游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】由已知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.
【详解】解：：①∵，∠A为公共角，∴；
②∵，∠A为公共角，∴；
③虽然，但∠A不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似；
④∵，∴，又∵∠A为公共角，∴．
综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
2、D
【解析】根据负整数指数幂的运算法则进行求解即可.
【详解】=，
故选D.
【点睛】
本题考查了负整数指数幂，熟练掌握(a≠0，p为正整数)是解题的关键.
3、D
【分析】用直接开平方法解方程即可.
【详解】
x-1=±1
x1=2，x2=0
故选：D
【点睛】
本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，关键是要掌握开平方的方法，解题时要注意符号.
4、B
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可得对应高的比为4:9，故答案选择B.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边、对应高、对应中线以及周长比都等于相似比.
5、D
【分析】根据矩形的判定进行分析即可；
【详解】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误；
选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误；
选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；
选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.
6、C
【分析】如果人参加了这次聚会，则每个人需握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此一共握手次.
【详解】设人参加了这次聚会，则每个人需握手次，
依题意，可列方程.
故选C.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用.
7、A
【解析】根据最简二次根式的定义进行化简即可.
【详解】
故选：A.
【点睛】
本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是关键.
8、D
【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长．
【详解】解：∵A（6，6），B（8，2），
∴AB＝＝2，
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴线段CD的长为：×2＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质．
9、B
【分析】先根据圆锥侧面积公式：求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案.
【详解】解：圆锥的侧面积=，所以这个圆锥的全面积=.
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.
10、A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的结果数为6，
所以两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率==．
故选A．
【点睛】
此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用勾股定理计算出BC=5，再根据角平分线的性质得DC=DE，然后利用面积法得到 ×5，从而可求出DE．
【详解】作DE⊥AB于E，如图，
在Rt△ABC中，BC= =5，
∵AD是三角形的角平分线，
∴DC=DE，
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，
∴×5，
∴DE=1，
即点D到直线AB的距离等于1．
故答案为1．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
12、
【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：将-1、-2、-3分别填入三个空，共有3×2×1=6种情况，其中三组相对的两个面中数字和均为零的情况只有一种，故其概率为.
故答案为.
【点睛】
本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率.
13、5
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折叠的性质可求BF=BC=10，EF=CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，
∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，
在Rt△ABF中，AF==6
∴DF=AD-AF=4
在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2=CE2，
∴16+（8-CE）2=CE2，
∴CE=5
故答案为：5
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
14、
【分析】设定期一年的利率是，则存入一年后的本息和是元，取3000元后余元，再存一年则有方程，解这个方程即可求解．
【详解】解：设定期一年的利率是，
根据题意得：一年时：，
取出3000后剩：，
同理两年后是，
即方程为，
解得：，（不符合题意，故舍去），即年利率是．
故答案为：10%．
【点睛】
此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和本金利率期数），难度一般．
15、或1．
【解析】当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P在线段AB上时，如图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；
②当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
【详解】解:在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
当点P在线段AB上时，如题图1所示：
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，
由(1)可知,△AQP∽△ABC，
∴ 即 解得：
∴
当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示：
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ.
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，点B为线段AP中点，
∴AP=2AB=2×3=1.
综上所述,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为或1.
故答案为或1.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16、
【分析】过D作DG⊥BC于点G，过F作FH⊥DG于点H，利用tan∠DBC=和BD=10可求出DG和BG的长，然后求出CD的长，可知△DCF周长最小，即CF+DF最小，利用“一线三垂直”得到△HDF∽△GED，然后根据对应边成比例推出FH=2GD，可知F在DG右侧距离2DG的直线上，作C点关于直线的对称点C'，连接DC'，DC'的长即为CF+DF的最小值，利用勾股定理求出DC'，则CD+DC'的长即为周长最小值.
【详解】如图，过D作DG⊥BC于点G，过F作FH⊥DG于点H，
∵tan∠DBC=，BD=10，设DG=x，BG=2x
∴，解得
∴DG=，BG=
∴GC=BC-BG=
∴CD=
△DCF周长最小，即CF+DF最小
∵∠FDE=90°
∴∠HDF+∠GDE=90°
∵∠GED+∠GDE=90°
∴∠HDF=∠GED
又∵∠DHF=∠EGD=90°
∴△HDF∽△GED
∴
∴FH=2GD=
即F在DG右侧距离的直线上运动，如图所示，
作C点关于直线的对称点C'，连接DC'，DC'的长即为CF+DF的最小值
∵DG⊥BC，FH⊥DG，FO⊥CC'
∴四边形HFOG为矩形，
∴OG=HF=
又∵GC=
∴OC=OC'=
∴GC'=
在Rt△DGC'中，DC'=
∴△DCF周长的最小值=CD+DC'=
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用正切值求边长，相似三角形的判定以及最短路径问题，解题的关键是作辅助线将三角形周长最小值转化为“将军饮马”模型.
17、1
【分析】过A作AE⊥y轴于E，过B作BD⊥y轴于D，得到∠AED=∠BDP=90°，根据全等三角形的性质得到S△BDP=S△AED，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△OBD=3，S△AOE=4，于是得到结论．
【详解】解：过A作AE⊥y轴于E，过B作BD⊥y轴于D，
∴∠AED=∠BDP=90°，
∵点P是AB的中点，
∴BP=AP，
∵∠BPD=∠APE，
∴△BPD≌△APE（AAS），
∴S△BDP=S△AED，
∵顶点A在双曲线，顶点B在双曲线上，
∴S△OBD=3，S△AOE=4，
∴△OAB的面积=S△OBD+S△AOE=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
18、1
【分析】根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=1
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠0),则有：，是解答本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）y=(x-1)2-4；（2）点G坐标为（3.6，2.76），S△FHG=6.348；（3）m=0.6，四边形CDPQ为平行四边形，理由见解析.
【分析】（1）利用顶点式求解即可,（2）将G点代入函数解析式求出坐标,利用坐标的特点即可求出面积,（3）作出图象,延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得证明△AQR∽△PHQ,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，即可证明四边形CDPQ为平行四边形.
【详解】（1）设二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由题可知该抛物线与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），
∴y=a(x-1)2-4,代入E（0，），解得a=1,
（）
（2）设G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式，
得，，
解得a1=3.6，a2=-1（舍去），
所以点G坐标为（3.6,2.76）.
S△FHG=6.348
（3）y=mx+m=m（x+1），
当x=-1时，y=0，
所以直线y=mx+m
延长QH，交x轴于点R，
由平行线的性质得，QR⊥x轴.
因为FH∥x轴，
所以∠QPH=∠QAR,
因为∠PHQ=∠ARQ=90°，
所以△AQR∽△PQH,
所以 =0.6,
设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，
mn+m=0.6（n+1），m（n+1）=0.6（n+1），
因为n+1≠0，
所以m=0.6..
因为y2=（x-1-m）2+0.6m-4,
所以点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，
过D作y轴的平行线,交x轴与K,再作CT⊥KD,交KD延长线与T,
所以=0.6,
所以tan∠KSD=tan∠QAR，
所以∠KSD=∠QAR，
所以AQ∥CS，即CD∥PQ.
因为AQ∥CS，由抛物线平移的性质可得，CT=PH,DT=QH,
所以PQ=CD，
所以四边形CDPQ为平行四边形.
【点睛】
本题考查了待定系数法求解二次函数解析式,二次函数的图象和性质,一次函数与二次函数的交点问题,相似三角形的判定和性质,综合性强,难度较大,掌握待定系数法是求解（1）的关键,求出G点坐标是求解（2）的关键,证明三角形的相似并理解题目中准黄金直角三角形的概念是求解（3）的关键.
20、（1）-3；（2）﹣3＜x＜﹣1；（3）k≥﹣4且k≠1．
【分析】（1）把点A坐标代入一次函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，再代入反比例函数关系式可求出k的值，
（2）一次函数与反比例函数联立，可求出交点B的坐标，再根据图象可得出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若反比例函数y2＝与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，就是x2+4x﹣k＝1有实数根，根据根的判别式求出k的取值范围．
【详解】（1）一次函数y1＝x+4的图象过A（﹣1，a），
∴a＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3）代入反比例函数y2＝得，
k＝﹣3；
（2）由（1）得反比例函数，由题意得，
，解得，，，
∴点B（﹣3，1）
当y1＞y2，即一次函数的图象位于反比例函数图象上方时，
自变量的取值范围为：﹣3＜x＜﹣1；
（3）若反比例函数y2＝与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，
即，方程＝x+4有实数根，也就是x2+4x﹣k＝1有实数根，
∴16+4k≥1，
解得，k≥﹣4，
∵k≠1，
∴k的取值范围为：k≥﹣4且k≠1．
【点睛】
此题考查待定系数法求函数解析式，函数图象与二元一次方程组的关系，一次函数与反比例函数交点的确定，正确理解题意是解题的关键.
21、（1）年平均增长率为40%；（2）预计2020年该乡镇将投入274.4万元．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（2）用2019年的196万元×（1+年增长率）即可得出答案．
【详解】（1）设年平均增长率为x，由题意得
解得：＝40%，（舍）
∴年平均增长率为40%；
（2）196(1+40%)=274.4（万元）
答：2017年底至2019年底该乡镇的年平均基础设施投入增长为40%，预计2020年该乡镇将投入274.4万元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．
22、（1）；（2）；（3）详见解析
【分析】（1）根据动点从点出发，沿折线以/的速度向终点运动，得出，即可表达出AE的表达式；
（2）由，可得，可得，列出方程即可求解；
（3））分当时，当时，当时，三种情况进行画图解答即可．
【详解】解：（1）当点在边上时,,
∴
∴．
（2）如图：当点落在线段上时，此时：
在中，，，
∴
∴
在▱中：，
，
，
，
解得．
（3）依题意得：
在中，，，
∴
∴
当时，此时E在CB边上，此时
如图：过D作DM⊥BC于M
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，E在AB边上，F在BC的下方，此时：
如图：过E作EP⊥AC于E, EF交BC于Q,连接CE
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
在▱中EQ//AC
∴
∴
∴
∴
∴
当时，E在AB边上，F在BC的上方，此时：
如图：过E作EP⊥AC于E,
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴综上所述：与之间的函数关系式是：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、二次函数的应用，掌握三角形的性质是解题的关键．
23、（1）；（2）0.6
【分析】（1）装有张卡片，其中有2张偶数，直接用公式求概率即可．
（2）根据抽取结果画树状图或列表都可以，再根据树状图来求符合条件的概率．
【详解】解：（1）在一个不透明的盒子中装有张卡片，张卡片的正面分别标有数字，，，，，5张卡片中偶数有2张，抽出偶数卡片的概率=
（2）画树状如图
概率为
【点睛】
本题考查了用概率的公式来求概率和树状统计图或列表统计图．
24、 (1)见解析；(2) BD＝2CD证明见解析
【分析】（1）连接OD．根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知：∠OAD＝∠ODA；再由切线的性质及平行线的判定与性质证明∠OAD＝∠CAD；
（2）连接OF，根据等腰三角形的性质以及圆周角定理证得∠BAC＝60°，根据平行线的性质得出BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，根据解直角三角形即可求得结论．
【详解】（1）证明：连接OD，
∴OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）连接OF，
∵DF∥AB，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠ADF＝∠OAF，
∵∠ADF＝∠AOF，
∴∠AOF＝∠OAF，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠ADF＝∠DAF，
∴DF＝AF，
∵DF∥AB，
∴BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，
∴＝2，
∴BD＝2CD．
【点睛】
本题考查了切线的性质，涉及知识点有：平行线的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理，数形结合做出辅助线是解本题的关键
25、（1）图见解析；B′的坐标为（﹣1，3）；（2）.
【分析】（1）过点C作B′C⊥BC，根据网格特征使B′C=BC，作A′C⊥AC，使A′C=AC，连接A′B′，△A′B′C即为所求，根据B′位置得出B′坐标即可；
（2）根据旋转的性质可得∠ACA′=90°，利用勾股定理可求出AC的长，利用弧长公式求出的长即可.
【详解】（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
B′的坐标为（﹣1，3）．
（2）∵A（3，3），C（0，﹣1）．
∴AC＝＝5，
∵∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为：＝.
【点睛】
本题考查旋转的性质及弧长公式，正确得出旋转后的对应边和旋转角是解题关键.
26、不公平，理由详见解析；规则改为：和是6或7，甲胜；否则乙胜．
【分析】根据题意可知游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：不公平，
游戏结果可能性列表如下：
和为，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∴甲、乙获胜的概率不相等，
∴游戏不公平．
规则改为：和是6或7，甲胜；否则乙胜．
（和为奇数，甲胜；和为偶数，乙胜；或和小于7，甲胜；和大于等于7，乙胜．答案不唯一)
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之．
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