资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，E,G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，若，则( )
A． B． C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球
B．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7
C．抛掷一枚一元硬币，正面朝上
D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块
3．把抛物线的图象绕着其顶点旋转，所得抛物线函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
7．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（ ）
A．◎代表 B．@代表同位角
C．▲代表 D．※代表
8．如图，在菱形中，已知，，以为直径的与菱形相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
10．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，内接于，若的半径为2，，则的长为_______．
12．如图，是锐角的外接圆，是的切线，切点为，，连结交于，的平分线交于，连结．下列结论：①平分；②连接，点为的外心；③；④若点，分别是和上的动点，则的最小值是．其中一定正确的是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．
13．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝6cm，则线段BC＝____cm．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线的图象上，边CD交y轴于点E，若，则k的值为______.
15．在实数范围内分解因式：-1+9a4=____________________。
16．如图，的半径为，的面积为，点为弦上一动点，当长为整数时，点有__________个．
17．若a，b是一元二次方程的两根,则________.
18．把二次函数变形为的形式，则__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
20．（6分）抛物线的顶点为，且过点，求它的函数解析式.
21．（6分）在△ABC中， AB=12，AC=9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC与相似，如果AE=6，那么线段AD的长是______．
22．（8分）新区一中为了了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“你最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查．用“"表示小说类书籍，“”表示文学类书籍，“”表示传记类书籍，“”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了如下两副
不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 名学生，请补全条形统计图；
（2）在接受问卷调查的学生中，喜欢“”的人中有2名是女生，喜欢“”的人中有2名是女生，现分别从喜欢这两类书籍的学生中各选1名进行读书心得交流，请用画树状图或列表法求出刚好选中2名是一男一女的概率．
23．（8分）小华为了测量楼房的高度，他从楼底的处沿着斜坡向上行走，到达坡顶处．已知斜坡的坡角为，小华的身高是，他站在坡顶看楼顶处的仰角为，求楼房的高度．（计算结果精确到）（参考数据：，，）
24．（8分）（1）如图1，在中，点在边上，且，，求的度数；
（2）如图2，在菱形中，，请设计三种不同的分法（只要有一条分割线段不同就视为不同分法），将菱形分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（不要求写画法，要求画出分割线段，标出所得三角形内角的度数）.
25．（10分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，蓝球1个．若从中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是．
（1）求口袋里红球的个数；
（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．
26．（10分）如图，在矩形中，，为边上一点，把沿直线折叠，顶点折叠到，连接与交于点，连接与交于点，若．
（1）求证：；
（2）当时，，求的长；
（3）连接，直接写出四边形的形状： ．当时，并求的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据两组对应角相等可判断△AEG∽△ACB，△AEF∽△ACD,再得出线段间的比例关系进行计算即可得出结果.
【详解】解：（1）∵∠AEG=∠C，∠EAG=∠BAC，
∴△AEG∽△ACB.
∴.
∵∠EAF=∠CAD，∠AEF=∠C，
∴△AEF∽△ACD．
∴
又，∴.
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解答本题，要找到两组对应角相等，再利用相似的性质求线段的比值.
2、B
【解析】根据事件发生的可能性大小即可判断.
【详解】A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球的概率为0，故错误；
B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7的概率为1，故为必然事件，正确；
C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上的概率为50%，为随机事件，故错误；
D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，为随机事件，故错误；
故选B.
【点睛】
此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是熟知概率的定义.
3、B
【分析】根据图象绕顶点旋转180°，可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案．
【详解】∵
，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，3），
∴在旋转之后的抛物线解析式为：
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移和旋转，解决本题的关键是理解绕抛物线的顶点旋转180°得到新函数的二次项的系数符号改变，顶点不变．
4、A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：=．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5、D
【分析】根据图象与x轴有两个交点可判定①；根据对称轴为可判定②；根据开口方向、对称轴和与y轴的交点可判定③；根据当时以及对称轴为可判定④；利用二次函数与一元二次方程的联系可判定⑤．
【详解】解：①根据图象与x轴有两个交点可得，此结论正确；
②对称轴为，即，整理可得，此结论正确；
③抛物线开口向下，故，所以，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，所以，故，此结论错误；
④当时，对称轴为，所以当时，即，此结论正确；
⑤当时，只对应一个x的值，即有两个相等的实数根，此结论正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6、B
【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；
“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2 ，
∵
∴马应该落在②的位置，
故选B
【点睛】
本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．
7、C
【解析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．
【详解】延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．
故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．
8、D
【分析】根据菱形与的圆的对称性到△AOE为等边三角形，故可利用扇形AOE的面积减去△AOE的面积得到需要割补的面积，再利用圆的面积减去4倍的需要割去的面积即可求解.
【详解】∵菱形中，已知，，连接AO,BO，
∴∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴∠BAO=60°，又AO=EO,
∴△AOE为等边三角形,故AE=EO=AB=2
∴r=2
∴S扇形AOE==
S△AOE===
∴图中阴影部分的面积=×22-4（-）=
故选D.
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
9、C
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选C．
10、B
【解析】先求出抛物线y=2（x﹣2）2﹣1关于x轴对称的顶点坐标，再根据关于x轴对称开口大小不变，开口方向相反求出a的值，即可求出答案.
【详解】抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+1．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的轴对称变换，此图形变换包括x轴对称和y轴对称两种方式.二次函数关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式. 二次函数关于y轴对称的图像，其形状不变，开口方向也不变，因此a值不变，但是顶点位置改变，只要根据关于y轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=90°，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接OB、OC，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=90°，
∴利用勾股定理得：BC=．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．
12、
【分析】如图１，连接，通过切线的性质证，进而由 ，即可由垂径定理得到Ｆ是的中点，根据圆周角定理可得，可得平分；由三角形的外角性质和同弧所对的圆周角相等可得，可得，可得点为得外心；如图，过点Ｃ作 交的延长线与点通过证明，可得；如图，作点关于的对称点 ，当点在线段上，且时，．
【详解】如图，连接，
∵是的切线，
∴ ，∵
∴，且为半径
∴垂直平分
∴
∴
∴平分，故正确
点的外心，故正确；
如图，过点Ｃ作 交的延长线与点
，故正确；
如图，作点关于的对称点 ，
点与点关于对称，
当点在线段上，且时，，
且
∴的最小值为；故正确．
故答案为：．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
13、18
【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出，即可求得答案.
【详解】如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为D、E，
可得：
，
∴，
即，
解得：，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出是解答本题的关键.
14、4
【分析】过D作DF⊥x轴并延长FD，过A作AG⊥DF于点G，利用正方形的性质易证△ADG≌△DCF，得到AG=DF，设D点横坐标为m，则OF=AG=DF=m，易得OE为△CDF的中位线，进而得到OF=OC，然后利用勾股定理建立方程求出，进而求出k.
【详解】如图，过D作DF⊥x轴并延长FD，过A作AG⊥DF于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AD，∠ADC=90°
∴∠ADG+∠CDF=90°
又∵∠DCF+∠CDF=90°
∴∠ADG=∠DCF
在△ADG和△DCF中，
∵∠AGD=∠DFC=90°，∠ADG=∠DCF，AD=CD
∴△ADG≌△DCF（AAS）
∴AG=DF
设D点横坐标为m，则OF=AG=DF=m，
∴D点坐标为(m,m)
∵OE∥DF，CE=ED
∴OE为△CDF的中位线，
∴OF=OC
∴CF=2m
在Rt△CDF中，
∴
解得
又∵D点坐标为(m,m)
∴
故答案为：4.
【点睛】
本题考查反比例函数与几何的综合问题，需要熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是作出辅助线，利用全等三角形推出点D的横纵坐标相等.
15、
【分析】连续利用2次平方差公式分解即可．
【详解】解：.
【点睛】
此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．
16、4
【分析】从的半径为，的面积为，可得∠AOB=90°，故OP的最小值为OP⊥AB时，为3 ，最大值为P与A或B点重合时，为6，故 , 当长为整数时，OP可以为5或6，根据圆的对称性，这样的P点共有4个.
【详解】∵的半径为，的面积为
∴∠AOB=90°
又OA=OB=6
∴AB=
当OP⊥AB时，OP有最小值，此时OP= AB=
当P与A或B点重合时，OP有最大值，为6，故
当OP长为整数时，OP可以为5或6，根据圆的对称性，这样的P点共有4个.
故答案为：4
【点睛】
本题考查的是圆的对称性及最大值、最小值问题，根据“垂线段最短”确定OP的取值范围是关键.
17、
【分析】将通分变形为，然后利用根与系数的关系即可求解.
【详解】∵a、b是一元二次方程的两根
∴，
∴
故答案为：.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握，是解题的关键.
18、
【分析】利用配方法将二次函数变成顶点式即可.
【详解】,
∴h=2,k=-9,即h+k=2-9=-7.
故答案为:-7.
【点睛】
本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于将一般式转换为顶点式.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2），见解析
【分析】（1）袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，摸到红球的概率即可求出；
（2）分别使用树状图法或列表法将抽取球的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次有2种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有6种，找出两次都是白球的的抽取结果，即可算出概率．
【详解】解：（1）∵袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，
∴；
（2）画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴；
用列表法，根据题意，列表结果如下：
一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．
20、
【分析】已知抛物线的顶点，故可设顶点式，由顶点可知，将点代入即可.
【详解】解：设
将点代入得
解得
所以
【点睛】
本题考查了抛物线的解析式，由题中所给点的特征选择合适的抛物线的解析式的设法是解题的关键.
21、8或；
【分析】分类讨论：当，根据相似的性质得；当，根据相似的性质得，然后分别利用比例性质求解即可．
【详解】解：，
当，则，即，解得；
当，则，即，解得，
综上所述，的长为8或．
故答案为：8或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键.
22、（1）20；补全图形见解析；（2）．
【分析】（1）根据D的人数除以占的百分比得到调查的总学生数，进而求出C的人数，补全条形统计图即可；；
（2）列表可得总的情况数，找出刚好选中一男一女的情况，即可求出所求的概率．
【详解】（1）20；补全条形统计图如下：
（2）在喜欢”的人中2名女生、1名男生分别记作、、，在喜欢“”的人中2名女生、2名男生分别记作，
列表如下：
由表知，共有12种等可能的结果，其中选中一男一女的结果有6种，(刚好选中2名是一男一女)．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，条形统计图，以及扇形统计图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、．
【分析】作DH⊥AB于H，根据余弦的定义求出BC，根据正弦的定义求出CD，结合题意计算即可．
【详解】作DH⊥AB于H，
∵∠DBC=15°，BD=20，
∴，，
由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形，
∴EF=BC=19.2，BH=CD=5，
∵∠AEF=45°，
∴AF=EF=19.2，
∴AB=AF+FH+HB=19.2+1.6+5=25.8≈26m，
答：楼房AB的高度约为26m．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24、（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）设，利用等边对等角，可得，，根据三角形外角的性质可得，再根据等边对等角和三角形的内角和公式即可求出x，从而求出∠B.
（2）根据等腰三角形的定义和判定定理画图即可.
【详解】证明：（1）设
∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
解出：
∴
（2）根据等腰三角形的定义和判定定理，画出如下图所示，（任选其三即可）.
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质及判定，掌握等边对等角、等角对等边和方程思想是解决此题的关键.
25、（1）1；（2）见解析，
【分析】（1）设红球有x个，根据题意得：;（2）列表，共有12种等可能性的结果，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种.
【详解】解：（1）设红球有x个，
根据题意得：，
解得：x=1，
经检验x=1是原方程的根．
则口袋中红球有1个
（2）列表如下：
红
黄
黄
蓝
红
---
（黄，红）
（黄，红）
（蓝，红）
黄
（红，黄）
---
（黄，黄）
（蓝，黄）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
---
（蓝，黄）
蓝
（红，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
---
由上表可知，共有12种等可能性的结果，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种，
则P=
【点睛】
考核知识点：用列举法求概率.列表是关键.
26、（1）见解析；（2）；（3）菱形，24
【分析】（1）由题意可得∠AEB+∠CED=90°，且∠ECD+∠CED=90°，可得∠AEB=∠ECD，且∠A=∠D=90°，则可证△ABE∽△DEC；
（2）设AE=x，则DE=13-x，由相似三角形的性质可得，即：，可求x的值，即可得DE=9，根据勾股定理可求CE的长；
（3）由折叠的性质可得CP=C'P，CQ=C'Q，∠C'PQ=∠CPQ，∠BC'P=∠BCP=90°，由平行线的性质可得∠C'PQ=∠CQP=∠CPQ，即可得CQ=CP=C'Q=C'P，则四边形C'QCP是菱形，通过证△C'EQ∽△EDC，可得，即可求CE•EQ的值．
【详解】证明：（1）∵CE⊥BE，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
又∵∠ECD+∠CED=90°，
∴∠AEB=∠ECD，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEC
（2）设AE=x，则DE=13-x，
由（1）知：△ABE∽△DEC，
∴，即：
∴x2-13x+36=0，
∴x1=4，x2=9，
又∵AE＜DE
∴AE=4，DE=9，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
（3）如图，
∵折叠，
∴CP=C'P，CQ=C'Q，∠C'PQ=∠CPQ，∠BC'P=∠BCP=90°，
∵CE⊥BC'，∠BC'P=90°，
∴CE∥C'P，
∴∠C'PQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP，
∴CQ=CP=C'Q=C'P，
∴四边形C'QCP是菱形，
故答案为：菱形
∵四边形C'QCP是菱形，
∴C'Q∥CP，C'Q=CP，∠EQC'=∠ECD
又∵∠C'EQ=∠D=90°
∴△C'EQ∽△EDC
∴
即：CE•EQ=DC•C'Q=6×4=24
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
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