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第六章 作业

一、单项选择题：
1、设矩阵,则A合同于( )
（A） (B) (C) (D)
2、设矩阵,则A合同于 ( )
（A） (B) (C) (D)
3、设A为实对称矩阵，则下列成立的是（ ）
（A）如A的主对角线元素都为正数，则A正定； （B）如行列式|A|>0，则A正定；
（C）如A-1存在且正定，则A正定； （D）以上都不对。
4、二次型为正定二次型，则l 的取值范围为 ( )
(A) (B) (C) (D)
5、实二次型f (x1,x2,x3)=x12+2x22+(1-k) x32+2 k x1x2是正定二次型,则k的取值范围为 ( )。
(A)0<k<1 (B)-<k< (C) k>2 (D)-<k<1
6、设n阶矩阵A满足，则对A的判断正确的是 ( )
(A)一定可以相似对角化 (B) 不一定能相似对角化
(C) 是正定矩阵 (D) 不是正定矩阵
二、判断题：
1、( )矩阵是正定的。
2、( )经可逆线性替换，原二次型矩阵与新二次型矩阵相似。
3、( ) 若正定，则也正定。
4、( ) 实对称矩阵即可以相似于对角矩阵，也可以合同于对角矩阵。
5、( )二次型是正定的。
三、填空题、
1、 二次型的矩阵为
2、二次型的正惯性指数是 。
3、已知实二次型经正交变换可化成标准型，则a= 。.
4、若3阶方阵A既是正定矩阵，又是正交矩阵，则A＝ 。
5、若实对称矩阵A与矩阵合同，则二次型的规范形为 。
6、二次型是正定的，则a满足 。
四、计算题
1、（12分）已知二次型，其中a>0，经正交替换化为标准形，求a及所用的正交替换。

2、求正交替换将二次型化为标准形，要求写出所用的正交替换及所得的标准形。

五、证明题
1、设A是m阶实对称矩阵且正定，B是m´ n阶实矩阵。
证明：矩阵BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)= n。

2、设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使，试求出一个这样的矩阵U。

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