资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知一扇形的圆心角为，半径为，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( )
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
3．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①； ②；③若点、为函数图象上的两点，则；④关于的方程一定有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB为（ ）
A．3∶2 B．3∶5 C．5∶2 D．5∶3
6．在一个不透明的袋子中共装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球，若随机摸出一个红球的概率为，则这个袋子中蓝球的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．12个
7．如果，那么＝（ ）
A． B． C． D．
8．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是( )
A．6 B．7 C． D．12
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，AB＝5，则BC的长为（ ）
A．5sin25° B．5tan65° C．5cos25° D．5tan25°
11．如图，将绕点旋转180°得到，设点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=_____．
14．已知线段厘米，厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于________厘米．
15．已知，则的值为___________.
16．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论中：①m＞AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．正确的结论序号是_____．﹙直角填写正确的结论的序号﹚．
17．如图，在轴的正半轴上依次截取……，过点、、、、……，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点、、、、……，得直角三角形、，，，……，并设其面积分别为、、、、……，则__．的整数）.
18．关于的方程=0的两根分别是和，且=__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知二次函数y1＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．
（1）求m，n的值，
（2）如图，一次函数y2＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，若点B与点M（﹣4，6）关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式．
（3）根据函数图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．
20．（8分）一名大学毕业生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为80元/件，经市场调查发现，该产品的日销售量(单位：件)与销售单价(单位：元/件)之间满足一次函数关系，如图所示．
（1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润(单位：元)与销售单价之间的函数关系式，并求出每件销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）这名大学生计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
21．（8分）如图，是⊙的直径，弦，垂足为，连接．过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）延长交的延长线于点，若，，求的长．
22．（10分）（阅读）
辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．
性质：如图①，若，则点在经过，，三点的圆上．
（问题解决）
运用上述材料中的信息解决以下问题：
（1）如图②，已知．求证：．
（2）如图③，点，位于直线两侧．用尺规在直线上作出点，使得．（要求：要有画图痕迹，不用写画法）
（3）如图④，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，．求证：是外接圆的切线．
23．（10分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）
24．（10分）如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上的一个动点(不与点B． C重合)，连结AE，并作EF⊥AE，交CD边于点F，连结AF.设BE=x，CF=y.
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）当x为何值时，y的值为2；
25．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： 或者 ．
（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．
26．解方程：
（1）2x2+3x﹣1＝0
（2）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】利用弧长公式计算出扇形的弧长，以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长即是扇形的弧长.
【详解】解：扇形的弧长＝，
以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了弧长的计算：.
2、A
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【详解】平均数，众数，中位数都是反映数字集中趋势的数量，方差是反映数据离散水平的数据，也就会说反映数据稳定程度的数据是方差
故选A
考点：方差
3、D
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A．由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；两者相矛盾，错误；
B．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＜0，两者相矛盾，错误；
C．由一次函数的图象可知a＜0，b＞0，由抛物线图象可知a＞0，两者相矛盾，错误；
D．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；正确．
故选D．
【点睛】
解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．
4、C
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴及与y轴交点情况可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据点离对称轴的远近可判断；④根据抛物线与直线交点个数可判断．
【详解】由图象可知：开口向下，故，
抛物线与y轴交点在x轴上方，故＞0，
∵对称轴，即同号，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴为，
∴，
∴，故②不正确；
∵抛物线是轴对称图形，对称轴为，
点关于对称轴为的对称点为
当时，
此时y随的增大而减少，
∵30，
∴，故③错误；
∵抛物线的顶点在第二象限，开口向下，与轴有两个交点，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上：①④正确，共2个；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．
5、D
【分析】根据比例的合比性质直接求解即可．
【详解】解：由题意AP∶PB=2∶3，
AB∶PB=（AP+PB）∶PB=（2+3）∶3=5∶3；
故选择：D.
【点睛】
本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的合比性质解答．
6、B
【分析】设蓝球有x个，根据摸出一个球是红球的概率是，得出方程即可求出x．
【详解】设蓝球有x个，依题意得
解得x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
故蓝球有4个，选B.
【点睛】
此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
7、D
【分析】直接利用已知进行变形进而得出结果．
【详解】解：∵，
∴3x+3y＝5x，
则3y＝2x，
那么＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确将已知变形是解题的关键．
8、A
【解析】∵圆心O到直线l的距离d=3，⊙O的半径R=4，则d＜R，
∴直线和圆相交．故选A．
9、A
【解析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=3，AF=AE=4
又∵∠C=90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO=DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO=x，
则EC=CD=x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2=AB2
故（x+2）2+（x+3）2=52，
解得：x=1，
∴BC=3，AC=4，
∴S△ABC=×3×4=6，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了三角形内切圆与内心，得出四边形OECF是正方形是解题关键．
10、C
【分析】在Rt△ABC中，由AB及∠B的值，可求出BC的长．
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，AB＝5，
∴BC＝AB•cos∠B＝5cos25°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形及其应用是解题的关键．
11、D
【分析】点与点关于点对称，为点与点的中点，根据中点公式可以求得.
【详解】解：设点坐标为
点与点关于点对称，
为点与点的中点,
即
解得
故选D
【点睛】
本题考查了坐标与图形变换,得出点、点与点之间的关系是关键.
12、D
【解析】将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.
【详解】原式=×=×（+1）=2+.
故选D.
【点睛】
本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
详解：连OA
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a，OM=
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON的弧长为：
则r1=a
同理：扇形DEF的弧长为：
则r2=
r1：r2=
故答案为
点睛：本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．
14、1
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【详解】∵线段c是线段a和线段b的比例中项，
∴，
解得（线段是正数，负值舍去），
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查比例线段、比例中项等知识，比例中项的平方等于两条线段的乘积，熟练掌握基本概念是解题关键.
15、
【分析】设，分别表示出a,b,c,即可求出的值.
【详解】设
∴
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用参数分别把a,b,c表示出来是解题的关键.
16、①③④
【分析】由当AB与光线BC垂直时，m最大即可判断①②，由最小值为AB与底面重合可判断③，点光源固定，当线段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化过程可判断④．
【详解】当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m最大，则m＞AC，①成立；
①成立，那么②不成立；
最小值为AB与底面重合，故n=AB，故③成立；
由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．
故答案为：①③④．
17、
【解析】根据反比例函数y=中k的几何意义再结合图象即可解答．
【详解】∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,S=|k|.
∴=1, =1，
∵O =，
∴==，
同理可得,=1 = = ==.
故答案是：.
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义.
18、2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答.
【详解】∵方程=0的两根分别是和，
∴， ，
∴=，
故答案为：2.
【点睛】
此题考查根与系数的关系，熟记两个关系式并运用解题是关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）1，；（1）y＝x+4；（3）x＜﹣3或x＞1.
【分析】（1）将点P（-3，1）代入二次函数解析式得出3m﹣n＝8，然后根据对称轴过点（-1，0）得出对称轴为x=-1，据此求出m的值，然后进一步求出n的值即可；
（1）根据一次函数经过点P（﹣3，1），得出1＝﹣3k+b，且点B与点M（﹣4，6）关于x＝﹣1对称，所以B（1，6），所以6＝1k+b，最后求出k与b的值即可；
（3）y1＞y1，则说明 y1的函数图像在y1函数图像上方，据此根据图像直接写出范围即可.
【详解】（1）由二次函数经过点P（﹣3，1），
∴1＝9﹣3m+n，
∴3m﹣n＝8，
又∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线，
∴对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴m＝1，
∴n＝﹣1；
（1）∵一次函数经过点P（﹣3，1），
∴1＝﹣3k+b，
∵点B与点M（﹣4，6）关于x＝﹣1对称，
∴B（1，6），
∴6＝1k+b，
∴k＝1，b＝4，
∴一次函数解析式为y＝x+4；
（3）由图象可知，x＜﹣3或x＞1时，y1＞y1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
20、（1）()；（2），每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润为2000元；（3）该产品的成本单价应不超过65元．
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx＋b，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据题意得到合适解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设产品的成本单价为b元，根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】（1）设关于的函数解析式为．
由图象，得解得
即关于的函数解析式是()．
（2）根据题意，得
，
∴当时，取得最大值，此时．
即每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润为2000元．
（3）设科技创新后成本为元．
当时，．
解得．
答：该产品的成本单价应不超过65元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数和一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
21、（1）见解析（2）
【分析】（1）连接，由，推，证，得，根据切线判定定理可得；（2）连接，设⊙的半径为，则，，在中，求得，在中，求得，由，证，得，即，可求OM.
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴是⊙的切线；
（2）解：连接，如图，
设⊙的半径为，则，，
在中，，解得，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】
考核知识点：切线判定，相似三角形判定和性质.理解切线判定和相似三角形判定是关键.
22、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】(1)作以为圆心，为半径的圆,根据圆周角性质可得;(2) 作以AB中点P为圆心，为半径的圆,根据圆周角定理可得；（3）取的中点，则是的外接圆．由，可得点在的外接圆上．根据切线判定定理求解.
【详解】（1）如图，由，可知:
点，，在以为圆心，为半径的圆上．
所以，．
（2）如图，点，就是所要求作的点．
（3）如图，取的中点，则是的外接圆．
由，可得点在的外接圆上．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
∴是外接圆的切线．
【点睛】
考核知识点：多边形外接圆.构造圆，利用圆周角等性质解决问题是关键.
23、（1）证明见解析（2）2
【解析】试题分析：（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；
（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．
试题解析：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=，
在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，
∴CF==2，
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=CF=2，
∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．
考点：1.矩形的性质；2.菱形的判定与性质3.三角函数.
24、（1）见解析；（2）x的值为2或1时，y的值为2
【分析】（1）①先判断出∠BAE＝∠CEF，即可得出结论；
（2）利用的相似三角形得出比例式即可建立x，y的关系式，代入即可；
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°＝∠B．
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，
∠FEC＋∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
又∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECF．
②∵△ABE∽△ECF．
∴，
∵AB＝1，BC＝8，BE＝x，CF＝y，EC＝8−x，
∴．
∴y＝−x2＋x．
∵y＝2，−x2＋x＝2，
解得 x1＝2，x2＝1．
∵0＜x＜8，
∴x的值为2或1．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
25、（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC；（2）EF是⊙O的切线
【分析】（1）若EF是切线，则AB⊥EF，添加的条件只要能使AB⊥EF即可；
（2）作直径AM，连接CM，理由圆周角定理以及直径所对的圆周角是直角即可．
【详解】（1）∠BAE＝90°；∠CAE＝∠B ；
（2）EF是⊙O的切线．
作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，
∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，
∵∠CAE＝∠B，
∴∠CAM＋∠CAE＝90°，
∴AE⊥AM，
∵AM为直径，
∴EF是⊙O的切线．
26、（1）x1＝，x2＝；（2）x＝
【分析】（1）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解；（2）最简公分母是（x+2）（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，需检验结果是否为原方程的解；
【详解】解：
（1）∵a=2，b=3，c=-1，
∴=b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝x+2，
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x＝是原方程的解；
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程-公式法，解分式方程，掌握解一元二次方程-公式法，解分式方程是解题的关键.
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