资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．30 B．30π C．60π D．48π
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC=60°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B．4π C．5π D．6π
3．一元二次方程x2﹣4x = 0的根是（ ）
A．x1 =0，x2 =4 B．x1 =0，x2 =﹣4 C．x1 =x2 =2 D．x1 =x2 =4
4．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．代数式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．若反比例函数y＝的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
7．二次函数的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线与轴有两个交点
8．在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =" 4" cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
10．已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为d，若关于x的方程x-2x+d=0有实数根,则点P ( )
A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O内部
11．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
12．如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a+c； ③4a+2b+c＜0；④2a+b+c＞0；⑤>0；⑥2a+b=0；其中正确的结论的有_______．
14．不等式组的整数解的和是__________．
15．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(2，4)，B(3，0)，在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A' 的坐标为__________．
16．如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________.
17．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____．
18．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=4，BC=3，则sinA的值是______________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；
（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．
①若m＝n，求a的值；
②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，求a的值．
20．（8分）如图，在淮河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为，求楼的高度.（结果保留整数）（参考数）
21．（8分）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为，记旋转角为．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，当点落在的延长线上时，求点的坐标；
(3)当点落在线段上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
22．（10分）先化简，再求值：(x－1)÷(x－),其中x =+1
23．（10分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
24．（10分）如图 ，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．
（1）求证：；
（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．
25．（12分）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径的圆，分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，过点的直线交轴负半轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）求证：直线是⊙的切线．
26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）结合图形，直接写出一次函数大于反比例函数时自变量x的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC==10（cm），
∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π（cm2）．故选C．
考点：圆锥的计算．
2、B
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【详解】连接OA、OC，
∵∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°，
则劣弧AC的长为： =4π．
故选B．
【点睛】
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式 ．
3、A
【分析】把一元二次方程化成x（x-4）=0，然后解得方程的根即可选出答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣4x=0，
∴x（x-4）=0，
∴x1=0，x2=4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟悉解一元二次方程的方法是解题的关键．
4、B
【分析】本题可先通过抛物线与y轴的交点排除C、D，然后根据一次函数y＝ax图象得到a的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误；
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查的是一次函数的图象及性质和二次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与系数关系和二次函数的图象及性质与系数关系是解决此题的关键．
5、B
【分析】根据二次根式和分式成立的条件得到关于x的不等式，求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得．
故选：B
【点睛】
本题考查了代数式有意义的条件，一般情况下，若代数式有意义，则分式的分母不等于1，二次根式被开方数大于等于1．
6、D
【分析】由反比例函数y=的图象经过点（3，1），可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解．
【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（3，1），
∴y＝，
把点一一代入，发现只有（﹣1，﹣3）符合．
故选D．
【点睛】
本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上．
7、D
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2-1=0解的情况对D进行判断．
【详解】A. a=2,则抛物线y=2x2−1的开口向上，所以A选项错误；
B. 当x=1时,y=2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B选项错误；
C. 抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D. 当y=0时,2x2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.
8、B
【解析】试题分析：根据中心对称图形的概念， A、C、D都不是中心对称图形，是中心对称图形的只有B．
故选B．
考点：中心对称图形
9、B
【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．
【详解】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B=30°，BC=4cm，
∴
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故选：B．
10、D
【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..
【详解】解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，
∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，
解得d≤1，
∵⊙O的半径为r=1,
∴d≤r
∴点P在圆内或在圆上.
故选：D.
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.
11、D
【解析】分析：根据一元二次方程根的判别式
进行计算即可.
详解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根，
解得：，
根据二次项系数 可得：
故选D.
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
12、C
【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用一角相等且夹边对应成比例两个三角形相似，根据各个选项条件筛选即可．
【详解】解：根据勾股定理，AC=，BC=，AB=
所以，,,,则+=
所以，利用勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形
所以,=
A.不存在直角，所以不与△ABC相似；
B.两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=≠2，所以不与△ABC相似；
C.选项中图形是直角三角形，且两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=2，故C中图形与所给图形的三角形相似．
D. 不存在直角，所以不与△ABC相似.
故选：C．
【点睛】
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，及判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、①④⑤⑥
【分析】①由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；
②令x＝－1，则y＝ a－b＋c，根据图像可得：a－b＋c＜1，进而可对②作判断；
③根据对称性可得：当x＝2时，y＞1，可对③对作判断；
④根据2a＋b＝1和c＞1可对④作判断；
⑤根据图像与x轴有两个交点可对⑤作判断；
⑥根据对称轴为：x＝1可得：a＝－b，进而可对⑥判作断．
【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，
∴a＜1．
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＞1；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞1，
∴abc＜1；
故①正确；
②∵令x＝－1，则y＝ a－b＋c＜1，
∴a＋c＜b，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞1，
即4a＋2b＋c＞1；
故③错误；
④∵对称轴方程x＝－＝1，
∴b＝－2a，
∴2a＋b＝1，
∵c＞1，
∴2a＋b＋c＞1，
故④正确；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ax2＋bx＋c＝1由两个不相等的实数根，
∴＞1，
故⑤正确．
⑥由④可知：2a＋b＝1，
故⑥正确．
综上所述，其中正确的结论的有：①④⑤⑥．
故答案为：①④⑤⑥．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数最值的熟练运用．
14、
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】
解①得：x<1；
解②得：x>−3；
∴原不等式组的解集为−3<x<1；
∴原不等式组的所有整数解为−2、−1、0
∴整数解的和是：-2-1+0=-3.
故答案为：-3.
【点睛】
此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握解不等式组.
15、 (1，2)
【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，结合题中是在第一象限内进行变换进一步求解即可.
【详解】由题意得：在第一象限内，以原点为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A' 的坐标为A(2×，4×)，即(1，2).
故答案为：(1，2).
【点睛】
本题主要考查了直角坐标系中位似图形的变换，熟练掌握相关方法是解题关键.
16、
【分析】连接BD交OC与E，得出，从而得出；再根据弦与弦长度相同得出，即可得出的度数.
【详解】
连接BD交OC与E
是的直径
弦与弦长度相同
故答案为.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，辅助线得出是解题的关键.
17、1
【分析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，
∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
18、
【分析】画出图形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可.
【详解】如图：
在Rt△ABC中：sinA=
∵AB=4，BC=3
∴sinA=
故本题答案为：.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，注意正弦，余弦，正切定义记清楚.
三、解答题（共78分）
19、（1）c＝﹣4，2a+b＝2；（2）﹣1≤a＜0或0＜a≤1；（3）①a＝；②a＝1
【分析】（1）直接将AB两点代入解析式可求c，以及a，b之间的关系式．
（2）根据抛物线的性质可知，当a＞0时，抛物线对称轴右边的y随x增大而增大，结合抛物线对称轴x=和A、B两点位置列出不等式即可求解；
（3）①根据抛物线的对称性得出，解得a=；
②根据M、N的坐标，易证得两点都在直线y=-2x-3上，即M、N是直线y=-2x-3与抛物线y=ax2+（2-2a）x-4的交点，然后根据根与系数的关系得出p+（-2-p）=，解得a=1．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，﹣4）和B（2，0）．
∴，
∴c＝﹣4，2a+b＝2．
（2）由（1）可得：y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4，
对称轴为：x＝＝，
∵抛物线在A、B两点间从左到右上升，即y随x的增大而增大；
①当a＞0时，开口向上，对称轴在A点左侧或经过A点，
即：≤0，
解得：a≤1
∴0＜a≤1；
②当a＜0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点，
即≥2，
解得：a≥﹣1；
∴﹣1≤a＜0，
综上，若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a≤1；
（3）①若m＝n，则点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于直线x＝对称，
∴，
∴a＝；
②∵m＝﹣2p﹣3，
∴M（p，m）在直线y＝﹣2x﹣3上，
∵n＝2p+1＝﹣2（﹣2﹣p+2）+1＝﹣2（﹣p﹣2）﹣3，
∴N（﹣2﹣p，n）在直线y＝﹣2x﹣3上，
即M、N是直线y＝﹣2x﹣3与抛物线y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4的交点，
∴p和﹣2﹣p是方程ax2+（2﹣2a）x﹣4＝﹣2x﹣3的两个根，
整理得ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，
∴p+（﹣2﹣p）＝，
∴a＝1．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和系数的关系，二函数图象上点的坐标特征，灵活利用抛物线对称轴的公式是解题的关键．
20、24米
【分析】由i==，DE2+EC2=CD2，解得DE=5m，EC=m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，证得AB=BC，设AB=BC=xm，则AG=（x-5）m，DG=（x+）m，在Rt△ADG中，=tan∠ADG，代入即可得出结果．
【详解】解：在Rt△DEC中，∵i==，，DE2+EC2=CD2，CD=10，
∴DE2+（DE）2=102，
解得：DE=5（m），
∴EC=m，
过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，如图所示：
则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，
∵∠ACB=45°，AB⊥BC，
∴AB=BC，
设AB=BC=xm，则AG=（x-5）m，DG=（x+）m，
在Rt△ADG中，∵=tan∠ADG，
，
解得：x=15+5≈24，
答：楼AB的高度为24米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
21、（1）点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为．
【分析】(1) 过点作轴于根据已知条件可得出AD=6，再直角三角形ADG中可求出DG，AG的长，即可确定点D的坐标.
(2) 过点作轴于于可得出，根据勾股定理得出AE的长为10，再利用面积公式求出DH，从而求出OG,DG的长，得出答案
(3) 连接，作轴于G，由旋转性质得到，从而可证，继而可得出结论.
【详解】解：(1)过点作轴于，如图①所示：
点，点．
，
以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
，
在中，，
，
点的坐标为；
(2)过点作轴于于，如图②所示：
则，
，
，
，
，
，，
点的坐标为；
(3)连接，作轴于G，如图③所示：
由旋转的性质得：，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
点的坐标为．
【点睛】
本题考查的知识点是坐标系内矩形的旋转问题，用到的知识点有勾股定理，全等三角形的判定与性质等，做此类题目时往往需要利用数形结合的方法来求解，根据每一个问题做出不同的辅助线是解题的关键.
22、1+
【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝（x−1）÷，
当x＝＋1时，
原式＝．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
23、（1）这个二次函数的表达式是y=x1﹣4x+3；（1）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，1．
【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（1）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式是y=x1-4x+3；
（1）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得
直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t1-4t+3）=-t1+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t1+3t）×3=-（t-）1+，
∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m1-4m+3）
MN=m1-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m1-3m=（m-3），解得m=，
②m1-3m=-（m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m1-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m1-4m+3）=-m+3，解得m=1或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，1．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（1）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
24、（1）证明见解析；（2）2cm
【分析】（1）根据梯形的性质，利用平行线的性质得到，然后由相似三角形的判定得到结论；
（2）根据点F是BC的中点，可得△CDF≌△BGF，进而根据全等三角形的性质得到CD=BG，然后由中位线的性质求解即可.
【详解】（1）证明：∵梯形，，
∴，
∴．
（2） 由（1），
又是的中点，
∴，
∴
又∵，，
∴，得．
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定及中位线的性质，比较复杂，关键是灵活利用平行线的性质解题.
25、（1）,；（2）详见解析．
【分析】（1）先根据圆的半径可求出CA的长，再结合点C坐标即可得出点A坐标；根据点C坐标可知OC的长，又根据圆的半径可求出CB的长，然后利用勾股定理可求出OB的长，即可得出点B坐标；
（2）先根据点坐标分别求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，然后根据圆的切线的判定定理即可得证．
【详解】（1）∵，圆的半径为3
∴，
∴
点A是x轴正半轴与圆的交点
∴
如图，连接CB，则
在中，
点B是y轴正半轴与圆的交点
∴；
（2）∵
∴
在中，
则在中，
是直角三角形，即
又∵BC是⊙C半径
∴直线BD是⊙C的切线．
【点睛】
本题是一道较简单的综合题，考查了圆的基本性质、勾股定理、圆的切线的判定定理等知识点，熟记各定理与性质是解题关键．
26、（1）；；（2）或；
【解析】（1）利用点A的坐标可求出反比例函数解析式，再把B（4，n）代入反比例函数解析式，即可求得n的值，于是得到一次函数的解析式；
（2）根据图象和A，B两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数时自变量x的取值范围．
【详解】（1） 过点，
，
反比例函数的解析式为；
点在 上，
，
，
一次函数过点，
，
解得：．
一次函数解析式为；
（2）由图可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数解析式和一次函数的解析式．
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