资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．随 的增大而增大
C．图象在第二，四象限内 D．若，则
2．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是( )
A． B． C． D．
3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，现有结论：①abc＞0 ②9a﹣3b+c＝0 ③b＝﹣2a④（﹣1）b+c＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）.
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面
B．某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票一定会中奖
C．天气预报说2020年元旦节紫云下雨的概率是50%，所以紫云2020年元旦节这天将有一半时间在下雨
D．某口袋中有红球3个，每次摸出一个球是红球的概率为100%
6．如图，为了测量路灯离地面的高度，身高的小明站在距离路灯的底部（点）的点处，测得自己的影子的长为，则路灯的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．4的平方根是（ ）
A．2 B．–2 C．±2 D．±
8．已知是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．2
9．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴的正半轴交于点C．现有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列说法正确的是（ ）
A．25人中至少有3人的出生月份相同
B．任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上
C．天气预报说明天降雨的概率为10%，则明天一定是晴天
D．任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是
11．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(4，1)在AB边上，把△CDB绕点C旋转90°，点D的对应点为点D′，则OD′的长为_________．
14．在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是________．
15．如图，⊙O经过A，B，C三点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝_____．
16．如图，将绕点逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为______．
17．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是__________．
18．______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，矩形ABCD的四个顶点在正三角形EFG的边上.已知△EFG的边长为2，设边长AB为x，矩形ABCD的面积为S.
求：(1)S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
(2)S的最大值及此时x的值.
20．（8分）如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．
（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；
（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（1）画出△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式2x+b＞的解集；
（3）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BM，当S△ABM＝2S△OMP时，求点P的坐标．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣5，2），C（﹣1，1）．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2，且A₁B₁C位于点C的异侧，并表示出点A1的坐标．
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
（3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AB与反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C、点D，其中点C的坐标为（1，8），点D的坐标为（4，n）．
（1）分别求m、n的值；
（2）连接OD，求△ADO的面积．
25．（12分）如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求m，n的值；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围．
26．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，1．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积＝k，可以判断出A的正误；根据反比例函数的性质：k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大可判断出B、C、D的正误．
【详解】A、反比例函数，所过的点的横纵坐标之积＝−6，此结论正确，故此选项不符合题意；
B、反比例函数，在每一象限内y随x的增大而增大，此结论不正确，故此选项符合题意；
C、反比例函数，图象在第二、四象限内，此结论正确，故此选项不合题意；
D、反比例函数，当x＞1时图象在第四象限，y随x的增大而增大，故x＞1时，−6＜y＜0；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是熟练掌握反比例函数的性质：
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
2、D
【解析】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；
B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此，所以B选项不成立；
C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；
D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.
故选D.
3、C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，顶点坐标，以及二次函数的增减性，逐个进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴是x＝1，与y轴的交点在负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，因此①正确；
∵对称轴是x＝1，即：＝1，也就是：b＝﹣2a，因此③正确；
由抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，可得与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，而b≠0，
因此②9a﹣3b+c＝0是不正确的；
∵（﹣1）b+c＝b﹣b+c，b＝﹣2a，
∴（﹣1）b+c＝2a+b+c，
把x＝代入y＝ax2+bx+c得，y＝2a+b+c，
由函数的图象可得此时y＜0，即：（﹣1）b+c＜0，因此④是正确的，
故正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键，将问题进行适当的转化，是解决此类问题的常用方法．
4、B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．
【详解】A、C、D主视图是矩形，故A、C、D不符合题意；
B、主视图是三角形，故B正确；
故选B．
【点睛】
本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．
5、D
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
【详解】解：A、一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面，是随机事件，错误；
B、某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票不一定会中奖，错误；
C、下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；
D、正确．
故选：D．
【点睛】
正确理解概率的含义是解决本题的关键．注意随机事件的条件不同，发生的可能性也不等．
6、B
【分析】根据平行得：△ABM∽△ODM，列比例式，代入可求得结论．
【详解】解：由题意得：AB∥OC，
∴△ABM∽△OCM，
∴
∵OA=12，AM=4，AB=1.6，
∴OM=OA+AM=12+4=16，
∴
∴OC=6.4，
则则路灯距离地面6.4米.
故选：B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是利用物高和影长成正比或相似三角形的对应边成比例性质解决此题．
7、C
【分析】根据正数的平方根的求解方法求解即可求得答案．
【详解】∵（±1）1=4，
∴4的平方根是±1．
故选：C．
8、B
【分析】把x＝代入方程得到关于c的方程，然后解方程即可．
【详解】解：把x＝代入方程x2﹣2x+c＝0，得
（）2﹣2×+c＝0，
所以c＝6﹣1＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的性质，解答关键是将方程的根代入原方程求出字母系数．
9、B
【分析】由抛物线的开口方向，判断a与0的关系；由对称轴与y轴的位置关系，判断ab与0的关系；由抛物线与y轴的交点，判断c与0的关系，进而判断abc与0的关系，据此可判断①．由x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，再结合图象x＝﹣2时，y＞0，即可得4a﹣2b+c与0的关系，据此可判断②．根据图象得对称轴为x＝﹣＞﹣1，即可得2a﹣b与0的关系，据此可判断③．由x＝1时，y＝a+b+c，再结合2a﹣b与0的关系，即可得3a+c与0的关系，据此可判断④．
【详解】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
③对称轴为x＝﹣＞﹣1，得2a＜b，即2a﹣b＜0，
故③错误；
④∵当x＝1时，y＝0，
∴0＝a+b+c，
又∵2a﹣b＜0，即b＞2a，
∴0＝a+b+c＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0，
故④错误．
综上所述，①②正确，即有2个结论正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象位置与系数的关系．熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点等性质，并充分运用数形结合是解题关键．
10、A
【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、25人中至少有3人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；
B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，可能反面朝上，原说法错误，故这个选项不符合题意；
C、天气预报说明天的降水概率为10%，则明天不一定是晴天，原说法错误，故这个选项不符合题意；
D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3有2种可能，故概率是，原说法错误，故这个选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
11、C
【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
12、B
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2−4ac＝0，建立关于k的等式，求出k．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝62−4×1×k＝36−4k＝0，
解得：k＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、3或
【分析】由题意，可分为逆时针旋转和顺时针旋转进行分析，分别求出点OD′的长，即可得到答案．
【详解】解：因为点D（4，1）在边AB上，
所以AB=BC=4，BD=4-1=3；
（1）若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′=BD=3，
所以D′（3，0）；
∴；
（2）若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为8，到y轴的距离为3，
所以D′（3，8），
∴；
故答案为：3或．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形变化——旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．
14、1
【解析】试题分析：根据折线统计图可知6名学生的体育成绩为；24，24，1，1，1，30，所以这组数据的中位数是1．
考点：折线统计图、中位数．
15、67°
【分析】根据切线的性质定理可得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再根据四边形的内角和求出∠AOB，然后根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°，
∴∠C＝∠AOB＝67°，
故答案为：67°．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和和圆周角定理，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题关键.
16、20°
【解析】先判断出∠BAD=140°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，
∴∠BAD=140°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为140°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B= (180°−∠BAD)=20°，
故答案为：20°
【点睛】
此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于判断出△BAD是等腰三角形
17、
【分析】根据根判别式可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】由于关于一元二次方程没有实数根，
∵，，，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程为常数)的根的判别式．当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根．
18、
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、 (1)；(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得到，CD=AB，CD∥AB，由平行可以得到△CDE也为正三角形，所以DE=CD=x，DF=2-x.根据等边三角形的性质得到∠F=60°，得 AD=，再根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB，CD∥AB，
又△EFG为正三角形，
∴△CDE也为正三角形.
∴DE=CD=x，∴DF=2-x.
又在正三角形EFG中，可得∠F=60°，
∴AD==，
∴S=AB·AD=x·=
（2）由，
∴当x=1时，S取得最大值，最大值为
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
20、（1）x＝；（1）当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a1．
【分析】（1）设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积；
（1）利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF，
在△AHE和△BEF中，，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x
∴EF1＝BE1+BF1＝（a﹣x）1+x1＝1x1﹣1ax+a1，
∴正方形EFGH的面积y＝EF1＝1x1﹣1ax+a1，
当a＝1，y＝3时，1x1﹣4x+4＝3，
解得：x＝；
（1）∵y＝1x1﹣1ax+a1＝1（x﹣a）1+a1，
即：当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．
21、（1）见解析，（1，3）；（1）见解析
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（1）分别作出点A、B绕C点顺时针旋转90°后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1的坐标为（1，3）；
（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图-旋转变换和轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
22、（1）反比例函数的解析式为y＝；（2）不﹣1＜x＜0或x＞3；（3）点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，）．
【分析】（1）将点A，点C坐标代入一次函数解析式y=2x+b，可得b=-4，m=-6，将点C坐标代入反比例函数解析式，可求k的值，即可得一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求得直线与反比例函数的交点坐标，然后根据图象求得即可；
（3）由S△ABM=2S△OMP=6，可求AM的值，由点A坐标可求点M坐标，即可得点P坐标．
【详解】解：（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0
∴b＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣4
将C（﹣1，m）代入直线y＝2x﹣4中，得2×（﹣1）﹣4＝m
∴m＝﹣6
∴C（﹣1，﹣6）
将C（﹣1，﹣6）代入y＝，得﹣6＝，
解得k＝6
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解得或，
∴直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，﹣6）和D（3，2）．如图，
由图象可知：不等式2x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3；
（3）∵S△ABM＝2S△OMP，
∴×AM×OB＝6，
∴×AM×4＝6
∴AM＝3，且点A坐标（2，0）
∴点M坐标（﹣1，0）或（5，0）
∴点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，）．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法把A、C两点坐标代入解析式求m，b，k的值是解题的关键．
23、（1）见解析，A1(3，﹣3)；（2）见解析；（3）
【分析】（1）延长BC到B1，使B1C=2BC，延长AC到A1，使A1C=2AC，再顺次连接即可得△A1B1C，再写出A1坐标即可；
（2）分别作出A，B绕C点顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，再顺次连接即可得△A2B2C．
（3）点B的运动路径为以C为圆心，圆心角为90°的弧长，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；
（3）CB=，
所以点B经过的路径长=π．
【点睛】
本题考查网格作图与弧长计算，熟练掌握位似与旋转作图，以及弧长公式是解题的关键．
24、（1）m＝8，n＝1．（1）10
【分析】（1）把代入解析式可求得m的值，再把点D（4，n）代入即可求得答案；
（1）用待定系数法求得直线AB的解析式，继而求得点A的坐标，再利用三角形面积公式即可求得答案.
【详解】（1）∵反比例函数（＞0）在第一象限的图象交于点，
∴，
∴，
∴函数解析式为，
将代入得，．
（1）设直线AB的解析式为，由题意得
，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为，
令，则，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了用待定法求函数解析式及三角形面积公式，熟练掌握待定法求函数解析式是解题的关键.
25、（1）m=-2，n=-2；（2）或．
【解析】（1）把A（-2，1）代入反比例函数y=，求出m的值即可；把B（1，n）代入反比例函数的解析式可求出n；
（2）观察函数图象得到当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值．
【详解】（1）解：∵点A（-2，1）在反比例函数的图象上，
∴．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）在反比例函数的图象上，
∴．
（2）观察函数图象可知，自变量取值范围是：或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力．
26、（1）结果见解析；（2）．
【解析】解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵两个数字的积为奇数的1种情况，
∴两个数字的积为奇数的概率为： ．
试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
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