资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，AD=AC，延长CD至B，使BD=CD，DE⊥BC交AB于点E，EC交AD于点F．下列四个结论：①EB=EC；②BC=2AD；③△ABC∽△FCD；④若AC=6，则DF=1．其中正确的个数有（）
A．1 B．2 C．1 D．4
2．下面的函数是反比例函数的是( )
A． B． C． D．
3．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（ ）粒．
A． B． C． D．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1；④当y＞0时，﹣3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大：⑥若点E（﹣4，y1），F（﹣2，y2），M（3，y3）是函数图象上的三点，则y1＞y2＞y3，其中正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
5．抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为
x
y
3
5
3
A．5 B． C． D．
7．如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、、、、分别交于点、、、、，设，，的面积依次为、、，若，则的值为( )
A．6 B．8 C．10 D．1
8．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
姓名
读
听
写
小莹
92
80
90
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ）
A．86 B．87 C．88 D．89
9．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( )
A．5 B．2 C．5或2 D．2或－1
10．方程x2+5x＝0的适当解法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法
C．因式分解法 D．公式法
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．等腰△ABC的腰长与底边长分别是方程x2﹣6x+8=0的两个根，则这个△ABC的周长是_____．
12．若，则=_____．
13．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.
15．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK= ．
16．如图，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC于点D，连接OA，OC，若AD2＝AB•DC，则OD＝__．
17．已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系是h＝+20t+1，若此礼炮在升空到最高处时引爆，到引爆需要的时间为_____s．
18．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环，其中甲的成绩的方差为 1.2，乙的成绩的方差为 3.9，由此可知_____的成绩更稳定．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．
20．（6分）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负．若小军事先选择的数是5，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率．
21．（6分）如图，在中，弦AB，CD相交于点E，＝，点D在上，连结CO，并延长CO交线段AB于点F，连接OA，OB，且OA＝2，∠OBA＝30°
（1）求证：∠OBA＝∠OCD；
（2）当AOF是直角三角形时，求EF的长；
（3）是否存在点F，使得，若存在，请求出EF的长，若不存在，请说明理由.
22．（8分）解方程
（1）（x+1）2﹣25＝0
（2）x2﹣4x﹣2＝0
23．（8分）如图，在中，，正方形的顶点分别在边、上，在边上.
（1）点到的距离为_________.
（2）求的长.
24．（8分）如图，抛物线经过点A（1,0），B（4,0）与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？
26．（10分）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据垂直平分线的性质可证①；②是错误的；推导出2组角相等可证△ABC∽△FCD，从而判断③；根据△ABC∽△FCD可推导出④．
【详解】∵BD=CD，DE⊥BC
∴ED是BC的垂直平分线
∴EB=EC，△EBC是等腰三角形，①正确
∴∠B=∠FCD
∵AD=AC
∴∠ACB=∠FDC
∴△ABC∽△FCD，③正确
∴
∵AC=6，∴DF=1，④正确
②是错误的
故选：C
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和相似的证明求解，解题关键是推导出三角形EBC是等腰三角形．
2、A
【解析】一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或y=kx-1（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，据此进行求解即可.
【详解】解：A、是反比例函数，正确；
B、是二次函数，错误；
C、是正比例函数，错误；
D、是一次函数，错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的识别，容易出现的错误是把当成反比例函数，要注意对反比例函数形式的认识．
3、B
【解析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可．
【详解】设瓶子中有豆子粒豆子，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：估计瓶子中豆子的数量约为粒．
故选：．
【点睛】
本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
4、C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，得出答案．
【详解】由抛物线的开口向上，可得a＞0，对称轴是x＝﹣1，可得a、b同号，即b＞0，抛物线与y轴交在y轴的负半轴，c＜0，因此abc＜0，故①不符合题意；
对称轴是x＝﹣1，即﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，因此②符合题意；
抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0），可知与x轴的另一个交点为（﹣3，0），因此一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，故③符合题意；
由图象可知y＞0时，相应的x的取值范围为x＜﹣3或x＞1，因此④不符合题意；
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，因此当x＞0时，y随x的增大而增大是正确的，因此⑤符合题意；
由抛物线的对称性，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣2，
∴y1＞y2，（3，y3）l离对称轴远
因此y3＞y1，因此y3＞y1＞y2，因此⑥不符合题意；
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a、b、c的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键．
5、B
【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．
6、D
【分析】由表可知，抛物线的对称轴为，顶点为，再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把代入即可求得y的值．
【详解】设二次函数的解析式为，
当或时，，由抛物线的对称性可知，，
，
把代入得，，
二次函数的解析式为，
当时，．
故选D．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为，顶点为，是本题的关键．
7、B
【分析】由已知条件可以得到△BPQ∽△DKM∽△CNH，然后得到△BPQ与△DKM的相似比为，△BPQ与△CNH的相似比为，由相似三角形的性质求出，从而求出.
【详解】解：∵矩形是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD、四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，
∴BE∥DF∥CG，
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∴△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴，，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到，，从而求出答案.
8、C
【分析】利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可.
【详解】根据题意得：
（分），
∴小莹的个人总分为88分；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键.
9、D
【解析】分AC为斜边和BC为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长.
【详解】第一情况：当AC为斜边时，
如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,
∴OD⊥AC, OE⊥BC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，
,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴r=2.
第二情况：当BC为斜边时，
如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,
∴OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，
,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴r= .
故选：D.
【点睛】
本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.
10、C
【分析】因为方程中可以提取公因式x，所以该方程适合用因式分解法.因式分解为x（x+5）=0，解得x=0或x=-5.用因式分解法解该方程会比较简单快速.
【详解】解：∵x2+5x＝0，
∴x（x+5）＝0，
则x＝0或x+5＝0，
解得：x＝0或x＝﹣5，
故选：C．
【点睛】
本题的考点是解一元二次方程.方法是熟记一元二次方程的几种解法，也可用选项的四种方法分别解题，选择最便捷的方法.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、11
【详解】∵，
∴（x－2）（x－4）=1．
∴x－2=1或x－4=1，即x1=2，x2=4.
∵等腰△ABC的腰长与底边长分别是方程的两个根，
∴当底边长和腰长分别为2和4时，满足三角形三边关系，此时△ABC的周长为：2+4+4=11；
当底边长和腰长分别为4和2时，由于2+2=4，不满足三角形三边关系，△ABC不存在.
∴△ABC的周长=11.
故答案是：11
12、
【解析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解.
【详解】∵ ,
∴4(a-b)=3b,
∴4a=7b,
∴,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了比例的性质,熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
13、
【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：把抛物线向下平移2个单位得，再向右平移1个单位，得．
考点：抛物线的平移．
14、
【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点轨迹为以中点为圆心，长为直径的圆，求得圆心到直线的距离，即可求得答案．
【详解】∵，
∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆，
∵，，
∴点M的坐标为：，半径为1，
过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：
此时取得最小值，
∵直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是正确解答本题的关键．
15、．
【详解】连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
∵BH=BH，AB=EB，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=AB•tan∠ABH==1，
∴EH=1，
∴FH=，
在Rt△FKH中，∠FKH=30°，
∴KH=2FH=，
∴AK=KH﹣AH==；
故答案为．
考点：旋转的性质．
16、．
【分析】
可证△AOB≌△AOC，推出∠ACO=∠ABD，OA=OC，∠OAC=∠ACO=∠ABD，∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；依据对应边成比例，设OD=x，表示出AB、AD，根据AD2=AB•DC，列方程求解即可．
【详解】
在△AOB和△AOC中，
∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ABO＝∠ACO，
∵OA＝OA，
∴∠ACO＝∠OAD，
∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
∴，
设OD＝x，则BD＝1+x，
∴，
∴OD，AB，
∵DC＝AC﹣AD＝AB﹣AD，AD2＝AB•DC，
（）2═（），
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x或x（舍去），
因此AD，
故答案为．
【点睛】
本题考查了圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法．
17、1
【分析】将关系式h=t2+20t+1转化为顶点式就可以直接求出结论．
【详解】解：∵h=t2+20t+1＝（t﹣1）2+11，
∴当t＝1时，h取得最大值，
即礼炮从升空到引爆需要的时间为1s，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质顶点式的运用，解答时将一般式化为顶点式是关键．
18、甲
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故答案为甲；
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
三、解答题(共66分)
19、
【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB长，根据勾股定理求出AC的长，再通过证△ADE∽△ACB，利用对应边成比例即可求.
【详解】解：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝=8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
【点睛】
本题考查三角函数和相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形和利用相似三角形对应边成比例均是求线段长度的常用方法.
20、．
【解析】试题分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字的和为5情况数，即可确定小军胜的概率．
试题解析：列表如下：
所有等可能的情况有16种，其中两指针所指数字的和为5的情况有4种，所以小军获胜的概率==．
考点：列表法与树状图法．
21、（1）详见解析；（2）或；（3）
【分析】（1）根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得；（2）分两种情况讨论，当时，解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，再解直角三角形EFC可得；当时，解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，根据三角函数求解；（3）由边边边定理可证，再证，根据对应边成比例求解.
【详解】解：（1）延长AO，CO分别交圆于点M，N
为直径
弧AC=弧BD
弧CD=弧AB
（2）①当时
②当时
，
，，
综上所述: 或
(3)连结,过点分别作于点，于点
弧AC=弧BD
弧CD=弧AB
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择对应知识点且具有综合能力是解答此题的关键.
22、（1）x1＝4，x2＝﹣6；（2）x1＝2+，x2＝2﹣
【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；
（2）先求出一元二次方程的判别式，再解出方程．
【详解】解：（1）（x+1）2﹣25＝0，
（x+1）2＝25，
x+1＝±5，
x＝±5﹣1，
x1＝4，x2＝﹣6；
（2）x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
∴x＝＝2±，
即x1＝2+，x2＝2﹣．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题关键．
23、（1）；（2）
【分析】（1）根据勾股定理即可得出BC=8，再运用等面积法，即可得出答案.
（2）根据正方形的性质，即可得出，再根据相似三角形的判定可得出，进而得出，设x得出方程进行求解即可.
【详解】解：（1）∵
∴BC=8
∴ = =24
∴
∴点C到AB的距离是.
（2）如图，过点作于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴.
设，则，
解得
∴的长为.
【点睛】
本题主要考察了勾股定理和相似三角形，正确找出三角形的线段关系和灵活运用等面积法是解题的关键.
24、（1）；（2）9；（3）存在点M的坐标为（）或（）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形
【分析】(1)根据抛物线经过A、B两点，带入解析式，即可求得a、b的值.
（2）根据PA=PB，要求四边形PAOC的周长最小，只要P、B、C三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.
（3）首先根据△BQM为直角三角形，便可分为两种情况QM⊥BC和QM⊥BO，再结合△QBM∽△CBO，根据相似比例便可求解.
【详解】解：（1）将点A（1,0），B（4,0）代入抛物线中，得：
解得：
所以抛物线的解析式为.
（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线.连接BC，交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.
(3) 当QM⊥BC时，易证△QBM∽△CBO 所以 ,
又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x, 则BM=5- x
所以 所以.所以QM=CM=，BM=5- x=,所以BM:CM=4:3.
过点M作NM⊥OB于N，则MN//OC, 所以 ,
即 ，所以,
所以点M的坐标为（）
当QM⊥BO时, 则MQ//OC, 所以 , 即
设QM=3t, 则BQ=4t, 又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t
又因为QM2+QB2=BM2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得
MQ=3t=,, 所以点M的坐标为（）.
综上所述，存在点M的坐标为（）或（）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形
【点睛】
本题是一道二次函数的综合型题目，难度系数较高，关键在于根据图形化简问题，这道题涉及到一种分类讨论的思想，这是这道题的难点所在，分类讨论思想的关键在于根据直角三角形的直角进行分类的.
25、红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元
【解析】设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，
由题意得：，
解得：；
答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．
26、（1）且；（2）8
【分析】（1）利用根的判别式求解即可；
（2）利用求根公式求解即可．
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且.
∴的取值范围是且.
（2）∵是方程的两个根，
∴，，
∴，
即.
解得（舍去），，
经检验，是原方程的解.
故的值是8.
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，熟记根的判别式以及求根公式是解此题的关键．
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