资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（ ）
A．（-3，-1） B．（-2，-6） C．（2，6）或（-2，-6） D．（-1，-3）
4．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为2，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
5．如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
6．如图等边△ABC的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发点，Q沿AC以1cm/s的速度向点C运动，点P沿A﹣B﹣C以2cm/s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若△APQ的面积为S（cm2），点Q的运动时间为t（s），则下列最能反映S与t之间大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列四个点中，在反比例函数y＝的图象上的是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
8．在平面直角坐标系中，二次函数的图像向右平移2个单位后的函数为( )
A． B．
C． D．
9．若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．反比例函数的图象分布的象限是（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为________.
12．一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，则袋中应再添加红球____个（以上球除颜色外其他都相同）．
13．若一个三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣17x+60＝0的一个根，则该三角形的第三边长是_____．
14．共享单车进入昆明市已两年，为市民的低碳出行带来了方便，据报道，昆明市共享单车投放量已达到240000辆，数字240000用科学记数法表示为_____．
15．若代数式有意义，则的取值范围是____________．
16．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为 ．
17．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________.
18．如图，是的中线，点在延长线上，交的延长线于点，若，则___________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．
20．（6分）如图，在正方形中，对角线、相交于点，为上动点（不与、重合），作，垂足为，分别交、于、，连接、．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，，求的面积．
21．（6分）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
22．（8分）用适当的方法解下列方程：．
23．（8分）在中，．
（1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：；
（2）在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点；③与边相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
24．（8分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，在上，在上，支杆，请根据以上信息，解决下列向题．
求的长度（结果保留根号）；
求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．
（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；
（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接FA、FC．求AF+CF的最小值；
（3）如图3，点M为线段OA上一点，以OM为边在第一象限内作正方形OMNG，当正方形OMNG的顶点N恰好落在线段AC上时，将正方形OMNG沿x轴向右平移，记平移中的正方形OMNG为正方形O′MNG，当点M与点A重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形O′MNG的边MN与AC交于点R，连接O′P、O′R、PR，是否存在t的值，使△O′PR为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
26．（10分）在平面直角坐标系中，对于点和实数，给出如下定义：当时，以点为圆心，为半径的圆，称为点的倍相关圆.
例如，在如图1中，点的1倍相关圆为以点为圆心，2为半径的圆.
（1）在点中，存在1倍相关圆的点是________，该点的1倍相关圆半径为________.
（2）如图2，若是轴正半轴上的动点，点在第一象限内，且满足，判断直线与点的倍相关圆的位置关系，并证明.
（3）如图3，已知点，反比例函数的图象经过点，直线与直线关于轴对称.
①若点在直线上，则点的3倍相关圆的半径为________.
②点在直线上，点的倍相关圆的半径为，若点在运动过程中，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出的最大值.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．
【详解】图1中阴影部分的面积为：，
图2中的面积为：，
则
故选：A.
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．
2、A
【详解】根据二次函数的解析式可得：二次函数图像经过坐标原点，则排除B和C，A选项中一次函数a>0，b<0，二次函数a>0，b<0，符合题意.
故选A.
【点睛】
本题考查了(1)、一次函数的图像；(2)、二次函数的图像
3、C
【解析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求出答案.
【详解】由位似变换中对应点坐标的变化规律得：点的对应点的坐标是或，即点的坐标是或
故选：C.
【点睛】
本题考查了位似变换中对应点坐标的变化规律，理解位似的概念，并熟记变化规律是解题关键.
4、D
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠1+∠2=90°，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠3=45°，然后根据扇形面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：由图可知，∠1+∠2=90°，∠3=45°，
∵正方形的边长均为2，
∴阴影部分的面积=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称，观察图形，根据正方形的性质与直角三角形的性质求出阴影部分的圆心角是解题的关键．
5、B
【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可．
【详解】
解得
∴k的最大整数值是-2
故选：B．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．
6、C
【分析】根据等边三角形的性质可得，然后根据点P的位置分类讨论，分别求出S与t的函数关系式即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠C=60°，AB=BC=AC=4
当点P在AB边运动时，
根据题意可得AP=2t，AQ=t
∴△APQ为直角三角形
S＝AQ×PQ＝AQ×（AP·sinA）＝×t×2t×＝t2，图象为开口向上的抛物线，
当点P在BC边运动时，如下图，
根据题意可得PC=2×4－2t=8－2t，AQ=t
S＝×AQ×PH＝×AQ×（PC·sinC）＝×t×（8﹣2t）×＝t（4﹣t）=-t2+，
图象为开口向下的抛物线；
故选：C．
【点睛】
此题考查的是根据动点判定函数的图象，掌握三角形面积的求法、二次函数的图象及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．
7、C
【分析】先分别计算四个点的横、纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵﹣3×（﹣2）＝6，3×2＝6，﹣2×3＝﹣6，﹣2×（﹣3）＝6，
∴点（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是判断在反比例函数图象上的点，掌握点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数即可判断该点在反比例函数图象上是解决此题的关键．
8、B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后的函数表达式即可；
【详解】解：根据“左加右减，上加下减”得，
二次函数的图像向右平移2个单位为：；
故选B.
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何变换，掌握二次函数与几何变换是解题的关键.
9、B
【分析】根据比例的性质,可用x表示y、z,根据分式的性质,可得答案.
【详解】设=k,
则x=2k,y=7k,z=5k代入原式
原式==
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了比例的性质,解题的关键是利用比例的性质,化简求值.
10、A
【解析】先根据反比例函数的解析式判断出k的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y=中，k=2＞0，
∴反比例函数y=的图象分布在一、三象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先证明△ABC为直角三角形，再根据正切的定义即可求解.
【详解】根据网格的性质设网格的边长为1，
则AB=,AC=,BC=
∵AB2+AC2=BC2,
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∴=
故填：.
【点睛】
此题主要考查正切的求解，解题的关键是证明三角形为直角三角形.
12、1
【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得：，
解得：x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13、1
【分析】根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,结合一元二次方程相关知识进行解题即可.
【详解】解：∵x2﹣17x+60＝0，
∴（x﹣1）（x﹣12）＝0，
解得：x1＝1，x2＝12，
∵三角形的两边长分别是4和6，
当x＝12时，6+4＜12，不能组成三角形．
∴这个三角形的第三边长是1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系和一元二次方程的求解,熟悉三角形三边关系是解题关键.
14、2.4×1
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将240000用科学记数法表示为：2.4×1．
故答案为2.4×1．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15、x≥1且x≠1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解．
【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-1≥0且x-1≠0，
解得：x≥1且x≠1．
故答案为：x≥1且x≠1．
【点睛】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，难度不大.
16、1．
【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：OA•AD=2，然后可求得OA•AB的值，从而可求得矩形OABC的面积．
【详解】∵反比例函数的图象经过点D，
∴OA•AD=2．
∵D是AB的中点，
∴AB=2AD．
∴矩形的面积=OA•AB=2AD•OA=2×2=1．
故答案为1．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
17、2
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【详解】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝1．
解得x＝2．
即此时该小车离水平面的垂直高度为2米．
故答案为：2.
【点睛】
考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．
18、5
【分析】过D点作DH∥AE交EF于H点，证△BDH∽△BCE，△FDH∽△FAE，根据对应边成比例即可求解.
【详解】过D点作DH∥AE交EF于H点，
∴∠BDH=∠BCE，∠BHD=∠BEC,
∴△BDH∽△BCE
同理可证：△FDH∽△FAE
∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC
∴
又
∴
∴
∴
故答案为：5
【点睛】
本题考查的是相似三角形，找到两队相似三角形之间的联系是关键.
三、解答题(共66分)
19、（1） ；（2）存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）Q的坐标或.
【解析】（1）将A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可；
（2）四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC＝1+3+5＝9；
（3）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BCA，②当△BQP∽△BCA．
【详解】解：（1）由已知得，
解得
所以，抛物线的解析式为；
（2）∵A、B关于对称轴对称，如下图，连接BC，与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3，BC＝5，
∴OC+OA+BC＝1+3+5＝9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；
（3）如上图，设对称轴与x轴交于点D．
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OB＝4，AB＝3，BC＝5，
直线BC：，
由二次函数可得，对称轴直线，
∴，
①当△BPQ∽△BCA，
，
，
，
，
②当△BQP∽△BCA，
，
，
，
，
，
综上，求得点Q的坐标或
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与相似三角形的性质是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）；（3）3
【分析】（1）结合正方形的性质利用ASA即可证明；
（2）由两组对应角相等可证，由相似三角形对应线段成比例再等量代换可得，由两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似可证，由相似三角形对应角相等可得的度数；
（3）结合相似三角形对应角相等及直角三角形的性质根据两组对应角相等的两个三角形相似可证，由其对应线段成比例的性质可得的值，由三角形面积公式计算即可.
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
，
，
，
（2），，
，
，
，
，
（3），，即
，
，
，即
，，
，
，
，
.
【点睛】
本题综合考查了正方形与三角形的综合，涉及了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，灵活的利用相似三角形的判定与性质是解题的关键.
21、（1）S=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，理由见解析；（3）当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
【解析】试题分析：（1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8﹣x，根据矩形的面积公式可得答案；
（2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．
试题解析：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S=x（8﹣x）=，其中0＜x＜8，即（0＜x＜8）；
（2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），即=12，解得：x=2或x=6，∴设计费能达到24000元．
（3）∵=，∴当x=4时，S最大值=16，∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；最值问题．
22、
【分析】将方程整理成一般式，再根据公式法求解可得．
【详解】方程可变形为：，
∵，
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
23、（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）连接，可证得，结合平行线的性质和圆的特性可求得，可得出结论；
（2）由（1）可知切点是的角平分线和的交点，圆心在的垂直平分线上，由此即可作出．
【详解】（1）证明：如图①，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）如图②所示为所求．①
①作平分线交于点，
②作的垂直平分线交于，以为半径作圆，
即为所求．
证明：∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与边相切．
【点睛】
本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，
24、（1）cm；（2）cm.
【解析】过作于,,根据求出再求出CD，根据求出DE,即可求出AC;
过作交的延长线于，根据，求出即可.
【详解】解：过作于,
过作交的延长线于，
答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
【点睛】
本题考查的是三角形的实际应用，熟练掌握三角形的性质是解题的关键.
25、（1）P（2，3），yAC＝﹣x+3；（2）；（3）存在，t的值为﹣3或，理由见解析
【分析】（1）由抛物线y＝x2+x+3可求出点C，P，A的坐标，再用待定系数法，可求出直线AC的解析式；
（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，求出AH的长度，证△HOF∽△FOC，推出HF＝CF，由AF+CF＝AF+HF≥AH，即可求解；
（3）先求出正方形的边长，通过△ARM∽△ACO将相关线段用含t的代数式表示出来，再分三种情况进行讨论：当∠O'RP＝90°时，当∠PO'R＝90°时，当∠O'PR＝90°时，分别构造相似三角形，即可求出t的值，其中第三种情况不存在，舍去．
【详解】（1）在抛物线y＝x2+x+3中，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝3时，x1＝0，x2＝2，
∴P（2，3），
当y＝0时，则x2+x+3=0，
解得：x1＝﹣4，x2＝6，
B（﹣4，0），A（6，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+3，
将A（6，0）代入，
得，k＝﹣，
∴y＝﹣x+3，
∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，
则OH＝，AH＝，
∵，，且∠HOF＝∠FOC，
∴△HOF∽△FOC，
∴，
∴HF＝CF，
∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，
∴AF+CF的最小值为；
（3）∵正方形OMNG的顶点N恰好落在线段AC上，
∴GN＝MN，
∴设N（a，a），
将点N代入直线AC解析式，
得，a＝﹣a+3，
∴a＝2，
∴正方形OMNG的边长是2，
∵平移的距离为t，
∴平移后OM的长为t+2，
∴AM＝6﹣（t+2）＝4﹣t，
∵RM∥OC，
∴△ARM∽△ACO，
∴，
即，
∴RM＝2﹣t，
如图3﹣1，当∠O'RP＝90°时，延长RN交CP的延长线于Q，
∵∠PRQ+∠O'RM＝90°，∠RO'M+∠O'RM＝90°，
∴∠PRQ＝∠RO'M，
又∵∠Q＝∠O'MR＝90°，
∴△PQR∽△RMO'，
∴，
∵PQ＝2+t-2=t，QR＝3﹣RM＝1+t，
∴，
解得，t1＝﹣3﹣（舍去），t2＝﹣3；
如图3﹣2，当∠PO'R＝90°时，
∵∠PO'E+∠RO'M＝90°，∠PO'E+∠EPO'＝90°，
∴∠RO'M＝∠EPO'，
又∵∠PEO'＝∠O'MR＝90°，
∴△PEO'∽△O'MR，
∴，
即，
解得，t＝；
如图3﹣3，当∠O'PR＝90°时，延长O’G交CP于K，延长MN交CP的延长线于点T，
∵∠KPO'+∠TPR＝90°，∠KO'P+∠KPO'＝90°，
∴∠KO'P＝∠TPR，
又∵∠O'KP＝∠T＝90°，
∴△KO'P∽△TPR，
∴，
即，
整理，得t2-t+3＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣＜0，
∴此方程无解，故不存在∠O'PR＝90°的情况；
综上所述，△O′PR为直角三角形时，t的值为﹣3或．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和相似三角形的综合，添加合适的辅助线，构造相似三角形，是解题的关键.
26、（1）解：，3（2）解：直线与点的倍相关圆的位置关系是相切. （3）①点的3倍相关圆的半径是3；②的最大值是.
【分析】（1）根据点的倍相关圆的定义即可判断出答案；
（2）设点的坐标为，求得点的倍相关圆半径为，再比较与点到直线直线的距离即可判断；
（3）①先求得直线的解析式，
【详解】（1）的1倍相关圆，半径为：，
的1倍相关圆，半径为：，不符合，
故答案为：，3；
（2）解：直线与点的倍相关圆的位置关系是相切，
证明：设点的坐标为，过点作于点，
∴点的倍相关圆半径为，
∴，
∵，
∴，
∴点的倍相关圆半径为，
∴直线与点的倍相关圆相切，
（3）①∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴点B的坐标为： ，
∵直线经过点和 ，
设直线的解析式为，
把代入得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线与直线关于轴对称，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
设点C的坐标为： ，
∴点的3倍相关圆的半径是：，
故点的3倍相关圆的半径是3；
②的最大值是.
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，还涉及到平面坐标系内，一次函数的性质，反比例函数的性质，两点间的距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，熟练掌握待定系数法，属于中考压轴题．
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