资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，中线BE、CF相交于点G，连接EF，下列结论：
①=； ②=； ③=； ④=．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B． C．3个 D．4个
3．若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将的三边扩大一倍得到（顶点均在格点上），如果它们是以点为位似中心的位似图形，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，现有结论：①abc＞0 ②9a﹣3b+c＝0 ③b＝﹣2a④（﹣1）b+c＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，是的直径，是的弦，若，则（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，二次函数()图象的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为和1．下列结论：
①；②；③；④当时，是等腰直角三角形．其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．1个 C．2个 D．1个
10．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．2018
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知，二次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是________．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE 的最小值为______________
13．（2016湖北省咸宁市）如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：
①；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为．
其中正确的是________（把你认为正确结论的序号都填上）．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____．
15．抛物线y=9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是_____．
16．已知两个相似三角形与的相似比为1．则与的面积之比为________．
17．点在抛物线上，则__________．（填“>”，“<”或“=”）.
18．已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）cos45°•tan45°+tan30°﹣2cos60°2sin45°
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2－2x+m=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条件下，方程的实数根是、，求代数式的值．
21．（6分）姐妹两人在50米的跑道上进行短路比赛，两人从出发点同时起跑，姐姐到达终点时，妹妹离终点还差3米，已知姐妹两人的平均速度分别为a米/秒、b米/秒．
（1）如果两人重新开始比赛，姐姐从起点向后退3米，姐妹同时起跑，两人能否同时到达终点?若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．
（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人的起跑位置?请你设计两种方案．
22．（8分）一元二次方程的一个根为，求的值及方程另一根．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是 ．
24．（8分）如图，为线段的中点，与交于点，，且交于，交于.
（1）证明：.
（2）连结，如果，，，求的长.
25．（10分）某班级组织了“我和我的祖国”演讲比赛，甲、乙两队各有10人参加本次比赛，成绩如下(10分制)
甲
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
乙
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
（1）甲队成绩的众数是 分，乙队成绩的中位数是 分．
（2）计算乙队成绩的平均数和方差．
（3）已知甲队成绩的方差是1分2，则成绩较为整齐的是 队．
26．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
【详解】∵Rt△OAB的顶点A(−2,4)在抛物线上，
∴4=4a，解得a=1，
∴抛物线为，
∵点A(−2,4)，
∴B(−2,0)，
∴OB=2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD=OB=2，
∴D(0,2)，
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
代入,得，
解得
∴P
故答案为:.
【点睛】
考查二次函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质是解题的关键.
2、C
【解析】根据三角形的中位线定理推出FE∥BC，利用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质和等底同高的三角形面积相等一一判断即可．
【详解】∵AF＝FB，AE＝EC，∴FE∥BC，FE：BC＝1：2，∴，故①③正确．
∵FE∥BC，FE：BC＝1：2，∴FG：GC=1：2，△FEG∽△CBG．设S△FGE＝S，则S△EGC＝2S，S△BGC＝4s，∴，故②错误．
∵S△FGE＝S，S△EGC＝2S，∴S△EFC＝3S．
∵AE=EC，∴S△AEF＝3S，∴ =，故④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3、B
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
【详解】解：∵ab＜0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
4、A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5、D
【分析】根据位似中心的定义作图即可求解.
【详解】如图，P点即为位似中心，则P
故选D.
【点睛】
此题主要考查位似中心，解题的关键是熟知位似的特点.
6、B
【解析】试题分析：A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心；
B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心；
C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心；
D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心；
故选B
考点：三角形外心
7、C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，顶点坐标，以及二次函数的增减性，逐个进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴是x＝1，与y轴的交点在负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，因此①正确；
∵对称轴是x＝1，即：＝1，也就是：b＝﹣2a，因此③正确；
由抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，可得与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，而b≠0，
因此②9a﹣3b+c＝0是不正确的；
∵（﹣1）b+c＝b﹣b+c，b＝﹣2a，
∴（﹣1）b+c＝2a+b+c，
把x＝代入y＝ax2+bx+c得，y＝2a+b+c，
由函数的图象可得此时y＜0，即：（﹣1）b+c＜0，因此④是正确的，
故正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键，将问题进行适当的转化，是解决此类问题的常用方法．
8、B
【分析】根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，再求出∠A的度数，由圆周角定理即可推出∠BCD的度数．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，
∵弧BD＝弧BD，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故选B ．
【点睛】
本题考查圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9、C
【分析】①x＝1＝−，即b＝−2a，即可求解；
②当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，即可求解；
③分别判断出a,b,c的取值，即可求解；
④时，函数的表达式为：y＝（x＋1）（x−1）=，则点A、B、D的坐标分别为：（−1，0）、（1，0）（1，−2），即可求解．
【详解】其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为−1和1，则函数的对称轴为：x＝1，
①x＝1＝−，即b＝−2a，故不符合题意；
②当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，符合题意；
③由图可得开口向上，a＞0，
对称轴x=1,
∴a,b异号，b＜0，
图像与y轴交于负半轴，c＜0
∴＞0，不符合题意；
④时，函数的表达式为：y＝（x＋1）（x−1）=，则点A、B、D的坐标分别为：（−1，0）、（1，0）（1，−2），AB2＝（-1-1）2+02=16，AD2＝（-1-1）2+（0-2）2＝8，BD2＝（1-1）2+（0-2）2＝8，故△ABD是等腰直角三角形符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10、A
【分析】由题意直接根据一元二次方程根的判别式，进行分析计算即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△==4+4m≥0，
∴m≥-1, 的值不可能是-2.
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式进行分析求解．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（1，0），
故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜1．
故答案为：-1＜x＜1．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．
12、
【详解】试题分析：∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴
∴点F关于AC的对称点在线段AD上，设为点G，连结EG与AC交于点P，则PF+PE的最小值为EG的长
∵AB=4，AF=2，∴AG=AF=2
∴EG=
考点：轴对称图形
13、①②．
【解析】解：①如图所示，∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE=∠COF．在△BOE与△COF中，∵OB=OC，∠BOE=∠COF，OE=OF，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF，∴，①正确；
②∵OC=OB，∠COH=∠BOG，∠OCH=∠OBG=15°，∴△BOG≌△COH，∴OG=OH．∵∠GOH=90°，∴△OGH是等腰直角三角形，②正确；
③如图所示，∵△HOM≌△GON，∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；
④∵△BOG≌△COH，∴BG=CH，∴BG+BH=BC=1．设BG=x，则BH=1﹣x，则GH====，∴其最小值为，∴△GBH周长的最小值=GB+BH+GH=1+，D错误．
故答案为①②．
14、110°.
【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°
【详解】∵∠BOD=140°
∴∠A=∠BOD=70°
∴∠C=180°-∠A=110°，
故答案为：110°.
【点睛】
此题考查圆周角定理，解题的关键在于利用圆内接四边形的性质求角度.
15、±1
【解析】试题解析：抛物线与x轴只有一个交点，则△=b2-4ac=0，
故：p2-4×9×4=0，
解得p=±1．
故答案为±1．
16、2
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为1，
∴这两个三角形的面积之比为2．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
17、>
【分析】把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值即得答案.
【详解】解：把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得：，，∴>.
故答案为：>.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于基本题型，掌握比较的方法是解答关键.
18、 (﹣3，1)
【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，
∴﹣b=1，
根据二次函数的顶点式方程y=a(x+3)2﹣b(a≠0)知，该函数的顶点坐标是：(﹣3，﹣b)，
∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)．
故答案为：(﹣3，1)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义．
三、解答题(共66分)
19、（1）x1＝3，x2＝﹣1；（2）1﹣
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
（2）原式＝×1+×﹣2××2×
＝+1﹣
＝1﹣
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程和特殊角的锐角三角函数值，掌握用因式分解法解一元二次方程和各个特殊角的锐角三角函数值是解决此题的关键．
20、（1）1；（2）1．
【分析】（1）根据一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；
（2）把m=1代入x2－2x+m=0，根据根与系数的关系可得出x1+x2，x1x2的值，由=（x1+x2）2－3x1x2，最后将x1+x2，x1x2的值代入即可得出结果．
【详解】解：（1）由题意，得＞0，即＞0，
解得m＜2，
∴m的最大整数值为1；
（2）把m=1代入x2－2x+m=0得，x2－2x+1=0，
根据根与系数的关系得，x1+x2 =2，x1x2=1，
∴=（x1+x2）2－3x1x2=（2）2－3×1=1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系．根的情况与判别式的关系如下：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）＜0⇔方程没有实数根．根与系数的关系如下：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=．
21、（1）姐姐用时秒，妹妹用时秒，所以不能同时到，姐姐先到；（2）姐姐后退米或妹妹前进3米
【分析】（1）先求出姐姐和妹妹的速度关系，然后求出再次比赛时两人用的时间，从而得出结论；
（2）2种方案，姐姐退后或者妹妹向前，要想同时到达终点，则比赛用时相等，根据这个关系列写等量关系式并求解．
【详解】（1）∵姐姐到达终点是，妹妹距终点还有3米
∴姐姐跑50米和妹妹跑47米的时间相同，设这个时间为：
即：
∴a=50k，b=47k
则再次比赛，姐姐的时间为：=秒
妹妹的时间为：秒
∵，
∴＜，即姐姐用时短，姐姐先到达终点
（2）情况一：姐姐退后x米，两人同时到达终点
则：=，解得：x=
情况二：妹妹向前y米，两人同时到达终点
则：=，解得：y=3
综上得：姐姐退后米或妹妹前进3米，两人同时到达终点
【点睛】
本题考查行程问题，解题关键是引入辅助元k，用于表示姐姐和妹妹的速度关系．
22、，
【分析】把x=1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．
【详解】解：由题意得：，解得，
当时，方程为，解得：，，
∴方程的另一根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
23、（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可证得结论；
（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．；
（2）解：连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，
∴BD＝＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，即，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径是1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由，可证∠AFM=∠BMG，从而可证；
（2）当时，可得且，再根据可求BG，从而可求CF，CG，进而可求答案.
【详解】（1）证明：∵
∴,
又∵
∴.
解：（2）∵，
∴且
∵为的中点，
∴
又∵,
∴
∴
∴,
∴
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握相似三角形的相关知识与勾股定理是解题的关键.
25、（1）10，9.5；（2）平均数=9，方差=1.4；（3）甲．
【分析】（1）根据众数、中位数的意义求出结果即可；
（2）根据平均数、方差的计算方法进行计算即可；
（3）根据甲队、乙队的方差比较得出结论．
【详解】（1）甲队成绩中出现次数最多的是10分，因此众数是10，乙队成绩从小到大排列后处在第5、6两个数的平均数为＝9.5，因此中位数为9.5，
故答案为：10，9.5；
（2）乙队的平均数为：，
＝[(7﹣9)2×2+(8﹣9)2+(10﹣9)2×5]＝1.4，
∵1＜1.4，
∴甲队比较整齐，
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查了统计的问题，掌握众数、中位数的意义、平均数、方差的计算方法是解题的关键．
26、（1）见解析；（2）2
【分析】(1)欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；
(2)想办法证明∠P=30°即可解决问题．
【详解】(1)∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠PCB=∠A，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)∵CP=CA，
∴∠P=∠A，
∴∠COB=2∠A=2∠P，
∵∠OCP=90°，
∴∠P=30°，
∵OC=OA=2，
∴OP=2OC=4，
∴PC==2．
【点睛】
本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
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