陕西省西安中学2021届高三数学下学期4月第六次模拟考试试题-理.doc

陕西省西安中学2021届高三数学下学期4月第六次模拟考试试题 理陕西省西安中学2021届高三数学下学期4月第六次模拟考试试题 理年级：姓名：13陕西省西安中学2021届高三数学下学期4月第六次模拟考试试题 理一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、设集合，则（ ）ABC D 2、已知为虚数单位，且复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A1或 -1B-1C1D03、已知向量则“的夹角为锐角”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4、铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（ ） ABCD5、已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）A. B. 80 C. D.6、已知数列的前项和，则数列的前10项和等于（ ）A35 B. 45 C55 D. 10237、已知，则的大小关系为（ ）A B CD. 8、在平面直角坐标系中，已知圆，圆，则两圆的公切线的条数是（ ） A条 B条 C条 D条9、清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（ ）ABCD10、数列中，.若数列是等差数列，则的最大值为（ ）AB. CD 11、已知曲线C上任意一点满足，则曲线C上到直线的距离最近的点的坐标是（ ）AB CD12、函数，当时，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、在中，已知,为边中点，点在直线上，且则边的长度为 .14、已知函数,的部分图像如右图，则 .15、已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则 . 16、已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点.则下列结论中正确的结论的序号为 .线段的长度为1；若点为线段上的动点，则无论点如何运动，直线与直线都是异面直线；的余弦值的取值范围是；周长的最小值为.三、解答题（本大题共7小题，第1721题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）的内角的的对边分别为.已知的面积为，.（1）若；（2）若为边的中点，求线段长的最小值.18.（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，,分别为的中点.（1）求证：；（2）.19.（本小题满分12分）如图所示，抛物线关于轴对称，它的顶点为坐标原点，点均在抛物线上求抛物线的方程及其准线方程；当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值20.（本小题满分12分）某机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出2种超过质保期后2年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6000元，在延保的2年内一共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1 500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的2年内一共可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元某工厂准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理100台这种机器超过质保期后2年内维修的次数，统计得下表：维修次数0123机器台数20104030以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后2年内共需维修的次数(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？21.（本小题满分12分）已知函数 （1）设曲线处的切线方程为，求证（2）若方程有两个根，求证：.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做第一题计分22.（本小题满分10分）直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）曲线与直线：交于两点，求;（2）曲线的参数方程为，当时，若与有两个交点，极坐标分别为求的取值范围，并证明. 23.（本小题满分10分） 已知函数（1）解不等式;（2）记函数的最小值为，且，其中均为正实数，求证：.西安中学高2021届高三第六次模拟考试理科数学答案一、选择题1、D 2、B 3、A 4、C 5、C 6、B 7、D 8、B 9、A 10、C 11、B 12、D二、填空题13、 14、 15、2 16、三、解答题17、解：（1），根据余弦定理（2）18、19、解：由图与题意可设抛物线的标准方程为：把点代入抛物线方程可得：，解得，抛物线的方程为：证明：由题意可知直线的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零设，直线的方程为， 直线的方程为， 联立得，由题意知此方程的一个根为1，即同理， 直线AB的斜率为定值或：直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，化简可得直线AB的斜率，所以直线AB的斜率为定值20、解(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，P(X0)，P(X1)2，P(X2)2，P(X3)22，P(X4)2，P(X5)2，P(X6)，X的分布列为X0123456P(2)设选择方案一所需费用为Y1元，则Y1的分布列为Y16 0007 5009 00010 50012 000PE(Y1)6 0007 5009 00010 50012 0008 580.设选择方案二所需费用为Y2元，则Y2的分布列为Y27 7407 740a7 7402aPE(Y2)7 740(7 740a)(7 7402a)7 740.当E(Y1)E(Y2)8400，即0a2 000时，选择方案二更合算，当E(Y1)E(Y2)8400，即a2 000时，选择方案一、方案二均可；当E(Y1)E(Y2)8402 000时，选择方案一更合算21、解：22、解：（1）将曲线代入曲线（2）曲线消参得到圆的方程为代入得到曲线的极坐标方程为得到，又.由于有两个交点，23、解：（1）令，当时，则当时，则当时，则综上：不等式的解集为. （2）因为，则， 则又（当且仅当时取等号），则，则，故得证