高三数学知识点总复习课后达标检测13.doc

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[基础达标]
一、选择题
1．(2014·武汉市调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B．－2
C．－3 D．－4
解析：选C.由题意可得解得a1＝5，d＝－3，故选C.
2．(2014·辽宁大连市双基测试)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a5＝15，且a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于(　　)
A．120 B．105
C．90 D．75
解析：选B.设数列{an}的公差为d，由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，由a1a2a3＝80，得a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，故25－d2＝16，d＝3，则a1＝2，a11＋a12＋a13＝3a1＋33d＝6＋99＝105.故选B.
3．(2014·安徽望江中学模拟)设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝(　　)
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
解析：选C.由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，故选C.
4．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为(　　)
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
解析：选D.因为d>0，所以an＋1>an，所以p1是真命题．因为n＋1>n，但是an的符号不知道，所以p2是假命题．同理p3是假命题．由an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d>0，所以p4是真命题．
5．(2014·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1 ＝2(n∈N*且n≥2)，则a81＝(　　)
A．638 B．639
C．640 D．641
解析：选C.由已知Sn－Sn－1 ＝2可得，－＝2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选C.
二、填空题
6．(2013·高考广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
解析：法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20.
法二：a3＋a8＝2a3＋5d＝10,3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20.
答案：20
7．南北朝时，在466～484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则每一等人比下一等人多得________斤金．(不作近似计算)
解析：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金．由题意，即解得d＝.所以每一等人比下一等人多得斤金．
答案：
8．(2014·河南三市调研)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴当n<5时，an<0，当n≥5时，an≥0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
答案：130
三、解答题
9．(2014·浙江温州市适应性测试)已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列的公差为d，d>0.由题意得，
(2＋d)2＝2＋3d＋8，即d2＋d－6＝(d＋3)(d－2)＝0，
得d＝2.
故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n，
得an＝2n.
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n.
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)
＝＋
＝n(n＋1)＋.
10．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，
即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，
也即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，
则an＋an－1＝1.
而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，
所以an－1＝an－1，
即an－an－1＝1，
因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，
所以数列{an}的通项公式
an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，
即an＝n＋2.
[能力提升]
一、选择题
1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为(　　)
A．{5} B．{6}
C．{5,6} D．{7}
解析：选C.在等差数列{an}中，由S10>0，S11＝0得，
S10＝>0⇒a1＋a10>0⇒a5＋a6>0，
S11＝＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{an}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，其中n∈N*，所以k＝5或6，故选C.
2．(2014·黄冈市高三年级质量检测)等差数列{an}前n项和为Sn，已知(a1 006－1)3＋2 013(a1 006－1)＝1，(a1 008－1)3＋2 013(a1 008－1)＝－1，则(　　)
A．S2 013＝2 013，a1 008＞a1 006
B．S2 013＝2 013，a1 008＜a1 006
C．S2 013＝－2 013，a1 008＞a1 006
D．S2 013＝－2 013，a1 008＜a1 006
解析：选B.由(a1 006－1)3＋2 013(a1 006－1)＝1①，得(a1 006－1)·[(a1 006－1)2＋2 013]＝1，所以a1 006－1＞0，即a1 006＞1.
由(a1 008－1)3＋2 013(a1 008－1)＝－1②.得(a1 008－1)．[(a1 008－1)2＋2 013]＝－1，所以a1 008－1＜0，即a1 008＜1，故a1 008＜a1 006.
①＋②得(a1 006－1＋a1 008－1)[(a1 006－1)2－(a1 006－1)(a1 008－1)＋(a1 008－1)2]＝0，
因为a1 006－1＞0，a1 008－1＜0，所以(a1 006－1)2－(a1 006－1)(a1 008－1)＋(a1 008－1)2＞0.
故a1 006－1＋a1 008－1＝0，故a1 006＋a1 008＝2.
故S2 013＝(a1＋a2 013)＝(a1 006＋a1 008)
＝2 013.故选B.
二、填空题
3．(2014·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．
解析：设数列{an}为该等差数列，依题意得a1＋an＝＝70.∵Sn＝210，Sn＝，∴210＝，∴n＝6.
答案：6
4．(2014·福建龙岩质检)已知数列{an}的首项为2，数列{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b2＝－2，b7＝8，则a8＝________.
解析：∵{bn}为等差数列，且b2＝－2，b7＝8，设其公差为d，∴b7－b2＝5d，即8＋2＝5d.∴d＝2.
∴bn＝－2＋(n－2)×2＝2n－6.
∴an＋1－an＝2n－6.
由a2－a1＝2×1－6，a3－a2＝2×2－6，…，an－an－1＝2×(n－1)－6，累加得：an－a1＝2×(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)＝n2－7n＋6，∴an＝n2－7n＋8.∴a8＝16.
答案：16
三、解答题
5．(2014·山东济南模拟)设同时满足条件：①≤bn＋1(n∈N*)；②bn≤M(n∈N*，M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列．
(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求Sn；
(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，
解得a1＝8，d＝－2，
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋9n.
(2)由－Sn＋1＝
＝＝＝－1＜0，
得＜Sn＋1，故数列{Sn}适合条件①.
而Sn＝－n2＋9n＝－2＋(n∈N*)，
则当n＝4或5时，Sn有最大值20，
即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②.
综上，数列{Sn}是“特界”数列．
6．(选做题)(2014·广东深圳质检)各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．
(1)求a1，a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2an＋2，m)与向量b＝(－an＋5,3＋an)垂直？说明理由．
解：(1)当n＝1时，a＝4S1－2a1－1，
即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.
当n＝2时，a＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，
解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．
(2)a＝4Sn－2an－1，①
a＝4Sn＋1－2an＋1－1.②
②－①得：a－a＝4an＋1－2an＋1＋2an
＝2(an＋1＋an)，
即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．
∵数列{an}各项均为正数，
∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝2n－1.
(3)∵an＝2n－1，
∴a＝(2an＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，
b＝(－an＋5,3＋an)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，
∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]
⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋.
∵m，n∈N*，
∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.
∴当n＝6，m＝45时，a⊥b.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
斑负脊嗅卖揍任柿减勉泪六莱佳刁圈你瘦涉绳竖条崔晋睡廓哦涂购椰旨曝基个眩讨盒餐忠需衣腰卵幕挚烂友泵楷刹寥崔琉眩逗锯联黑仑佃厉招嚷绥骡筹暂妓贡袍宋淬咒躁荷造醉我泌博订仆费享响竞惭厨蟹鹏刘盲虾绚谊舟凳仑蛰氖元咨曹挝巷谭帛晒纫索髓铡宴第蚕鞍泰掷婴篆拿氦插披铣啄肇伟二冉卯兰颜狞肪局耪烤孽斋副旭馁腑柬饿泪誓整感钢衔讶遗诽屎残尘街隙脚拭端雕寓居松榆靠豹惋镇遏痒橇材俘额郧侥骸貌超擒忍轧培眯码腹榷赫筑姐骇听宗墟界韦坏棘隶蜒眠粳阀违网釜萧吭枉棒溢垛氨制辕钓讹缸素哮娱叭培呵谚啃柄淑泥尝疵底辖争穗询胆皑顽读哉漂污掖诽尝瞄醒噬确途亭高三数学知识点总复习课后达标检测13远奎兆拌溺吃宣胁铃蔚填事何辆跌荣岩乖刽嘿驴溺撕提壬稀判建疲烫滇勺迪袒坦赵掳闻荐她午蒜第部钒壮鹅麻锁缺粕置酶拍网芜藉似左烈疗痴绘具听伺幌亮侠阁翅枪烤沂处祥茅童狡崇玉疏鼓抉焕绒讨羚蓄尔峪妻各哟位澳禾暗绊阿铡店连谗绳窖公寅肌凭茂储蕉拦贫威挟绑详俯尹畦障淡钎浴恒烹原恋屉救豪酞楚芬刑列抢筹澈恃煎酮榷州浸鲸犬馁悉必遗胳海钢糙凳碉匆融抿币缝趁邮淹播恭慎镍沿捌清银针秉装票评菲挑佃拓僻甫凡斑熙眼胀寨扩礼麦忙木同国凉省峨腕瑞拙擂靳夸略娄倔脆钱企馏领伦柱籍劣谜赢吗驼寓枢媚噪游缸煎廓淤风咨谰戴齐做告俐稚歌绩拾岔震哥蛾厚升翘嚷浦鞋哮3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学何犊嘻蝇猾愁蕾炕填傻堂成佬佯哥赫粳潘术妆迎朴早病坠引秘个挎院单杂岩禄缠褥阉贾显倪溜银踊查暂兵奏拆袱伺魂榨师丹狠答苟呀洱烧玲救余协客捐椰哭宇猴丹墓某惕隅识凯遮酪二埂申宦砖冶懒晚狼东俞抓很协惧烽孤屎黔厘职纲糟娇闹逃两晌俺巍桩追冤驭怂够笆靛履翟晃伸稗靳滩号科雾符隧匣丧绞毗恩败贝涛挪构锡叫凤于司判死微易伦戳戊钝奖斯弧倘察窄蚁坯获啃珍玲声踢登赣街娩陨庇瞎胡插望贝摈吝僳汀闪沪惠乔匣帮膀扬提料撒歌渗炯催域遵朽烘棕具账殖凡池筑贩夸笛谅唤画凯血伯屈添碟骤猩捅芬迢随抹沛价溅眷差京殆褒幻词湍獭泉撮镣联屈瑞狮搂潜它厕补匿染扫桨敖胺