全等三角形经典练习题.pdf

DOCBABABCDEF全等三角形全等三角形 一一、选选择择 1 1、如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示ABC、ACD、EFG、EGH。若ACB=CAD=EFG=EGH=70，BAC=ACD=EGF=EHG=50，则下列叙述何者正确？()G50ABCDEF70507050705070H甲乙丙丁 (A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B)甲、乙全等，丙、丁不全等 (C)甲、乙不全等，丙、丁全等 (D)甲、乙不全等，丙、丁不全等2 2如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，OABO80oOCD45AOBo则等于（）AOD 55o45o40o35o3、如图,RtABC 中,ABAC,ADBC,BE 平分ABC，交 AD 于 E，EFAC，下列结论一定成立的是（）A.AB=BF B.AE=ED C.AD=DC D.ABE=DFE，二、填空二、填空 1.如图，请你添加一个条件：，使（只添一个即可）BACABD OCOD 2、如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60 恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）3.已知在ABC 和A1B1C1中，AB=A1B1，A=A1，要使ABCA1B1C1，还需添加一个条件，这个ABCEDOPQ 条件可以是 .4、如图，已知 AECF，AC，要使ADFCBE，还需添加一个条件_(只需写一个)5.如图，中，点的坐标为（0，1），点的坐标为（4，3），如果要使与 ABCACABDABC全等，那么点的坐标是 .D 三、解答题三、解答题 1、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片和。ABCVDEFV将这两张三角形胶片的顶点 B 与顶点 E 重合，把绕点 B 顺时针方向旋转，这时 AC 与 DF 相交于点DEFVO。（1）当旋转至如图位置，点 B（E），C，D 在同一直线上时，与的数量关系是 DEFVAFDDCA。（2）当继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由。DEFV（3）在图中，连接 BO，AD,探索 BO 与 AD 之间有怎样的位置关系，并证明。2、如图，在ABC 中，D 是 BC 边的中点，F、E 分别是 AD 及延长线上的点，CFBE，（1）求证：BDECDF（2）请连结 BF、CE，试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。ABCDEFxyOABC 3两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结BCE，DC图 1图 2DCEAB（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE 4 4已知：如图，三点在同一条直线上，BCE，ACDEACCEACDB 求证：ABCCDE 5.5.如图，四边形的对角线与相交于点，ABCDACBDO12 34 求证：（1）；ABCADC（2）BODO 6.如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证：；CGAE ADBCEDCBAO1234 7.7.已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC=DC，CF 平分BCD，DFAB，BF 的延长线交 DC 于点E。求证：（1）BFCDFC；（2）AD=DE 8.8.如图，在梯形ABCD中，ADBC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CF=AD；（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？9.9.如图，E 是正方形 ABCD 的边 DC 上的一点，过点 A 作FAAE 交 CB 的延长线于点 F，求证：DE=BF 10.10.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知，在ABC 中，ABAC，P 是ABC 中内任意一点，将 AP 绕点 A 顺时针旋转至AQ，使QAPBAC，连结 BQ、CP 则 BQCP。”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得 BQCP。之后，他将点 P 移到等腰三角形 ABC 外，原题中其它条件不变，发现“BQCP”仍然成立，请你就图给出证明。FEDCBAAEBCFDFEDCBA 1111如图，是上一点，交中点于，求证：DABDFACECFABADCF1212已知：如图，为上一点，点分别在两侧，CBEAD，BEABEDABCEBCED求证：ACCD 1313已知：点到的两边所在直线的距离相等，且OABCABAC，OBOC（1）如图1，若点在边上，求证：；OBCABAC（2）如图2，若点在的内部，求证：；OABCABAC（3）若点在的外部，成立吗？请画图表OABCABAC示 1414、如图，在中，点在上，点在上，与ABCEABDBCBDBEBADBCEAD相交于点，试判断的形状，并说明理由CEFAFC 1616、如图，正方形中，与分别是、上一点在、ABCDEFADBCAECFBEDF中，请选择其中一个条件，证明12 BEDFABCDEFACEDB第 13 题图 1第 13 题图 2AABBCCEFOOBCDFAE （1）你选择的条件是 （只需填写序号）；（2）证明：2323、已知MAN，AC 平分MAN。在图 1 中，若MAN120，ABCADC90，求证：ABADAC;在图 2 中，若MAN120，ABCADC180，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;在图 3 中：若MAN60，ABCADC180，则 ABAD_AC;若MAN（0180），ABCADC180，则 ABAD_AC（用含 的三角函数表示），并给出证明。24、作图证明如图，在中，作的平分线，交于，作线段的垂直平分线，分别交ABCABCBDACDBDEF于，于，垂足为，连结在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明（不写ABEBCFODF作法，保留作图痕迹）25、如图，在ABC和DCB中，AC与BD相交于点。，AB=DC，AC=BD.(1)求证:ABCDCB；(2)0BC的形状是 。(直接写出结论，不需证明)。26、已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC第 25 题图AMNDBCAMNDBCAMNDBCCFABDE12（第 18 题）ABC 求证：OAOD 27.已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交ABCD45MANoMANA（或它们的延长线）于点CBDC，MN，当绕点旋转到时（如图 1），易证MANABMDNBMDNMN（1）当绕点旋转到时（如图 2），线段和之间有怎样的数量关系？MANABMDNBMDN，MN写出猜想，并加以证明（2）当绕点旋转到如图 3 的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直MANABMDN，MN接写出你的猜想28.在ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，AE 的延长线与 BC 的延长线相交于点 F(1)求证：ADEFCE；(2)连结 AC、DF，则四边形 ACFD 是下列选项中的（）A梯形 B菱形 C正方形 D平行四边形 29、如图 8，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是 E、F，BE=CF。（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。解：（1）3 对。分别是：ABDACD；ADEADF；BDECDF。（2）BDECDF。证明：因为 DEAB，DFAC，所以BED=CFD=90 又因为 D 是 BC 的中点，所以 BD=CD在 RtBDE 和 RtCDF 中，CFBECDBD所以BDECDF。3030、已知:如图,AB=AD,AC=AE,BAD=CAE.BBMBCNCNMCNM图 1图 2图 3AAADDD第 第 22第 第EDABC 求证:BC=DE.31、（1）如图，在等腰梯形中，是的中点，求证：ABCDADBCMADMBMC 32、如图 7 所示，已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，AC 与 BD 相交于点 O请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明 33、）如图，在ABC 中，C=2B，AD 是ABC 的角平分线，1=B求证：AB=AC+CD四、答案四、答案 图 7DBAOC 一、选择一、选择B D A二、填空二、填空1、或或或CD ABCBAD ACBDOADOBC 2、1203、4、答案不唯一（如：B=B1，C=C1，AC=A1C1）5、AD=BC 或DB 或AFDCEB6、)14(，)31(，)1,1(三、解答题三、解答题1、解：（1）（或相等）AFDDCA（2）（或成立），理由如下AFDDCA 方法一：由，得ABCDEFVV,ABDE BCEFBFECABCDEFBACEDF 或,ABCFBCDEFCBFABFDEC 在和中ABFVDECVAFDDCA ABDEABFDECBFEC,ABFDECBAFEDCBACBAFEDFEDCFACCDFAODFACAFDCDFDCAAFDDCA VVQ方法二、连接 AD，同方法一，所以 AF=DC。ABFDECVV由。可证。,ABCDEFFDCAVV得,AFDDCAAFDDCA VV（3）如图，BOAD方法一：由点 B 与点 E 重合，得，,ABCDEFVV,BACBDF BABD 所以点 B 在 AD 的垂直平分线上，且BADBDA OADBADBACODABDABDFOADODA Q所以 OA=OD，点 O 在 AD 的垂直平分线上，故。BOAD 方法二：延长 BO 交 AD 于点 G。同方法一 OA=OD，可证,ABODBOABGDBGVVVV则。090,AGBDGBBOAD 2 证明：（1）CFBEEBDFCD又BDECDF，BDCDBDECDF（2）四边形 BECF 是平行四边形由BDECDF 得 EDFDBDCD四边形 BECF 是平行四边形3、（1）解：图 2 中ABECACD证明如下：ABC 与 AED 均为等腰直角三角形AB=AC,AE=AD,BAC=EAD=903 分BAC+CAE=EAD+CAE即BAE=CAD 4 分ABEACD6 分(2)证明：由（1）ABEACD 知ACD=ABE=457 分又ACB=45BCD=ACB+ACD=90DCBE9 分4 解（1）证明：A=AACACACMACN900MCNACMA CN（2）在 RtABC 中，A90030060030Bo又，MCN300，30oACM900MCN600EMBAMCAMCA600BB300所以三角形 MEB是 RtMEB且B300所以所以 MBMB2ME2ME5、解(1)证明：在ABC和DCB中EBMACANB ABDCBCCBACBDABCDCB(SSS)(2)等腰三角形。6（1）解：图 2 中ABECACD证明如下：ABC 与 AED 均为等腰直角三角形AB=AC,AE=AD,BAC=EAD=903 分BAC+CAE=EAD+CAE即BAE=CAD 4 分ABEACD6 分(2)证明：由（1）ABEACD 知ACD=ABE=457 分又ACB=45BCD=ACB+ACD=90DCBE9 分7 证明：，ACDEQ，、）ACDD BCAE 又，ACDB QBD 又，ACCEQ（6 分ABCCDE8 解：（1）如图 1；2cm1cm402cm1cm40图 1图 2（2）如图 2；（3）4（8 分）9 证明：（1）在和中ABCADC1234ACAC ABCADC（2），又，ABCADCQABAD12 QBODO 10 证明：四边形和四边形都是正方形 QABCDDEFG,90,ADCD DEDGADCEDG o,ADECDGADECDG，AECG11 证明：（1）平分，CFQBCDBCFDCF 在和中，BFCDFCBCDCBCFDCFFCFC，BFCDFC（2）连结BD，BFCDFCQ，BFDFFBDFDB，DFABQABDFDB ABDFBD，ADBCQBDADBC，BCDCQDBCBDC BDABDC 又是公共边，BDBADBEDADDE12 解：(1)3-；3(2)30；(3)证明：在AEF和DBF中，AE=AC-EC,D B=D C-BC，又AC=D C,EC=BC，AE=D B又 AEF=D BF=180-60=120，A=CDE=30，AEFD BFAF=FD13（1）证明：ADBC FDAE又FECAEDCEDEFECAEDCFAD（2）当 BC6 时，点 B 在线段 AF 的垂直平分线上其理由是：BC6，AD2，AB8ABBCAD又CFAD，BCCFBF ABBF点 B 在 AF 的垂直平分线上。14 解：（1）；ABAPABAP（2）；BQAPBQAP证明：由已知，得，EFFPEFFP45EPFo又，ACBCQ45CQPCPQ oCQCP在和中，RtBCQRtACP，BCAC90BCQACP oCQCP，RtRtBCQACPBQAP如图 2，延长交于点BQAPM，RtRtBCQACPQ12 在中，又，RtBCQ1390 o34 241390 o90QMAoBQAP（3）成立证明：如图 3，45EPFoQ45CPQo又，ACBCQ45CQPCPQ oCQCP在和中，RtBCQRtACP，BCAC90BCQACP oCQCPRtRtBCQACPBQAP如图 4，延长交于点，则QBAPNPBNCBQ，RtRtBCQACPQBQCAPC 在中，RtBCQ90BQCCBQo90APCPBNo90PNBoQBAPlAB FCQ图 2M1234EPlABQPEF图 4NC 15 证明：090FAEBAD QFAEBAEBADBAEFABEAD FABEADABADABFADEDEBFFBAEDARt VV16 证明：QAPBACQAPPABPABBAC即QABPACABQ 和ACP 中AQAPQABPACABAC17 证明：，（2 分）ABCFQAECF 又，AEDCEF QAECE（5 分）AEDCEF（6 分）ADCF18证明：，ABEDQBE 在和中，ABCCEDABCEBEBCED，ABCCEDACCD19证（1）过点分别作，分别是垂足，由题意知，OOEABOFACEF，OEOF，从而 OBOCRtRtOEBOFCBC ABAC（2）过点分别作，分别是垂足，OOEABOFACEF，由题意知，在和中，OEOFRtOEBRtOFC，OEOFQOBOCRtRtOEBOFCOBEOCF 又由知，OBOCOBCOCB ABCACD ABAC解：（3）不一定成立20 解：（1）只要度量残留的三角形模具片的的度数和边的长，BC，BC因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（2）按尺规作图的要求，正确作出的图形A B C 21 证：由条件可证，ABDCBE AASVV故可证，AEFCDF AASVV,AFCFAFCV得是等腰三角形。22 解法一：（1）选 ；（2）证明：是正方形，ABCD ，ABCDACRt 又，AECF AEBCFD BEDF解法二：（1）选 ；（2）证明：是正方形，ABCD ADBC 又，BEDF 四边形是平行四边形EBFD BEDF解法三：（1）选 ；）（2）证明：是正方形，ABCD ，ABCDACRt 又，12 AEBCFD BEDF23 解:证明:AC 平分MAN，MAN120，CABCAD60，ABCADC90，ACBACD30，ABADAC，21ABADAC。成立。证法一：如图，过点 C 分别作 AM、AN 的垂线，垂足分别为 E、F。AC 平分MAN，CECF.ABCADC180,ADCCDE180,CDEABC,CEDCFB90，CEDCFB,EDFB,ABADAFBFAEEDAFAE,由知 AFAEAC,ABADAC证法二：如图，在 AN 上截取 AGAC，连接 CG.CAB60,AGAC,AGC60,CGACAG,ABCADC180,ABCCBG180,CBGADC,CBGCDA,BGAD,ABADABBGAGAC，;3.2cos2证明：由知，EDBF,AEAF，在 RtAFC 中，,即,ACAFCAF cosACAF2cos,2cosACAF ABADAFBFAEEDAFAE2，2cosACAF 24 解（1）画角平分线，线段的垂直平分线（3 分，仅画出 1 条得 2 分）（2）（4 分，只要 1 对即可），证明全等（6 分）BOEBOFDOF25(1)证明：在ABC和DCB中EAMNDBCFG ABDCBCCBACBDABCDCB(SSS)(2)等腰三角形。26 证明：，BECFQBEEFEFCF1 分BFCE在与中 2 分ABFDCEABDCBCBFCE ABFDCE 1 分AFDEAFBDEC OFOE 1 分AFOFDEOEOAOD27 解：（1）成立（2 分）BMDNMN如图，把绕点顺时针，得到，ANDA90oABE则可证得三点共线（图形画正确）（3 分）EBM，证明过程中，证得：（4 分）EAMNAM 证得：（5 分）AEMANMMEMNMEBEBMDNBMQ（6 分）DNBMMN（2）（8 分）DNBMMN28 证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，ADBF，D=ECF 3 分 E 是 CD 的中点，DE=CE 又 AED=FEC，4 分 ADEFCE 5 分(2)D或填“平行四边形”8 分29 解：（1）3 对。分别是：ABDACD；ADEADF；BDECDF。（2）BDECDF。证明：因为 DEAB，DFAC，所以BED=CFD=90 又因为 D 是 BC 的中点，所以 BD=CD在 RtBDE 和 RtCDF 中，BMEACDN CFBECDBD所以BDECDF。30 证明：BAD=CAEBAD+DAC=CAE+DAC 即：BAC=DAE又AB=AD，AC=AEABCADEBC=DE31 证明：因为四边形 ABCD 是等腰梯形，所以 AB=DC，A=D因为 M 为 AD 的中点，所以 AM=DM在ABM 和DCM 中，所以ABMDCM(SAS)，所以 AM=MCDMAMDADCAB32 解：ABCDCB（2 分）证明：在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC ABC=DCB （4 分）在ABC 与DCB 中 ABDCABCDCBBCCB ABCDCB（7 分）（注：答案不唯一）33 证明：1=BAED=2B，DE=BE C=AED在ACD 和AED 中CADEADADADCAED ACDAEDAC=AE，CD=DE，CD=BEAB=AE+EB=AC+CDDBAOC第 23 题图