三角形与全等三角形经典习题及答案.pdf

全等三角形综合复习全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例例 1.如图，四点共线，。求证：,A F E BACCEBDDFAEBFACBD。ACFBDE 例例 2.如图，在中，是ABC 的平分线，垂足为。求证：ABCBEADBED。21C 例例 3.如图，在中，。为延长线上一点，点在ABCABBC90ABCFABE上，连接和。求证：。BCBEBF,AE EFCFAECF例例 4.如图，/，/，求证：。ABCDADBCABCD例例 5.如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：,AP CPABCMACNCAP为的平分线。BPMBN例例 6.如图，是的边上的点，且，是DABCBCCDABADBBAD AE的中线。求证：。ABD2ACAE例例 7.如图，在中，为上任意一点。求证：ABCABAC12 PAD。ABACPBPC全等三角形综合复习全等三角形综合复习7 7 月月 2222 日作业日作业一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一的是()ABCA.，B.，3AB 4BC 8CA 4AB 3BC 30AC.，D.，60C45B4AB 90C6AB 3.如图，已知，增加下列条件：；12 ACADABAEBCED；。其中能使的条件有()CD BE ABCAED A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个4.如图，交于点，下列不正确的是()12 CD,AC BDEA.B.DAECBE CEDEC.不全等于D.是等腰三角形DEACBEEAB5.如图，已知，则等于()ABCDBCAD23BDA.B.C.D.无法确定674623二、填空题：6.如图，在中，的平分线交于点，且ABC90CABCBDACD，则点到的距离等于_；:2:3CD AD 10ACcmDABcm7.如图，已知，是上的两点，且，若ABDCADBC,E FBDBEDF，则_；100AEB30ADBBCF 8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为,BC BDCBD_；9.如图，在等腰中，平分交于，Rt ABC90CACBCADBACBCD于，若，则的周长等于_；DEABE10AB BDE10.如图，点在同一条直线上，/，/，且，若,D E F BABCDAECFAECF，则_；10BD 2BF EF 三、解答题：11.如图，为等边三角形，点分别在上，且，与ABC,M N,BC ACBMCNAM交于点。求的度数。BNQAQN 12.如图，为上一点，交90ACBACBCDABAECDBFCD延长线于点。求证：。CDFBFCE答案答案例例 1.思路分析：思路分析：从结论入手，全等条件只有；由两边ACFBDE ACBDAEBF同时减去得到，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是EFAFBE，也可以是。CFDEAB 由条件，可得，再加上，ACCEBDDF90ACEBDF AEBF，可以证明，从而得到。ACBDACEBDF AB 解答过程解答过程：，ACCEBDDF90ACEBDF 在与中Rt ACERt BDFAEBFACBD(HL)Rt ACERt BDFAB AEBF，即AEEFBFEFAFBE在与中ACFBDEAFBEABACBD(SAS)ACFBDE 解题后的思考解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例例 2.思路分析：思路分析：直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，21C 证明且。也可以看成将“转移”到。2 1C 2那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，则构造了FBD，ADBCF可以通过证明三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。解答过程解答过程：延长交于ADBCF在与中ABDFBD(ASA 90ABDFBDBDBDADBFDB ABDFBD 2DFB 又 。1DFBC 21C 解题后的思考解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例例 3.思路分析：思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是AEABEB90CBFCF的边，故只要证明它们全等即可。CBF解答过程解答过程：，为延长线上一点90ABCFAB90ABCCBF 在与中ABECBFABBCABCCBFBEBF(SAS)ABECBF。AECF解题后的思考解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例例 4.思路分析：思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程解答过程：连接AC/，/ABCDADBC，12 34 在与中ABCCDA1243ACCA (ASA)ABCCDA。ABCD解题后的思考解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例例 5.思路分析：思路分析：要证明“为的平分线”，可以利用点到的距离相BPMBNP,BM BN等来证明，故应过点向作垂线；另一方面，为了利用已知条件“分别P,BM BN,AP CP是和的平分线”，也需要作出点到两外角两边的距离。MACNCAP解答过程解答过程：过作于，于，于PPDBMDPEACEPFBNF平分，于，于 APMACPDBMDPEACEPDPE平分，于，于CPNCAPEACEPFBNF PEPF，PDPEPEPFPDPF，且于，于PDPFPDBMDPFBNF为的平分线。BPMBN解题后的思考解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例例 6.思路分析：思路分析：要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等2ACAE2AE于。因此，延长至，使。ACAEFEFAE解答过程解答过程：延长至点，使，连接AEFEFAEDF在与中ABEFDEAEFEAEBFEDBEDE(SAS)ABEFDE BEDF，ADFADBEDF ADCBADB 又ADBBAD ADFADC，ABDFABCDDFDC在与中ADFADCADADADFADCDFDC(SAS)ADFADC AFAC又2AFAE。2ACAE解题后的思考解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例例 7.思路分析：思路分析：欲证，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证ABACPBPC明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段。而ABAC构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。ABAC解答过程解答过程：法一：在上截取，连接ABANACPN在与中APNAPC12ANACAPAP (SAS)APNAPC PNPC在中，BPNPBPNBN，即 ABACPBPC。PBPCABAC法二：延长至，使，连接ACMAMABPM在与中ABPAMP12ABAMAPAP (SAS)ABPAMP PBPM在中，PCMCMPMPC。ABACPBPC解题后的思考解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习的答案同步练习的答案一、选择题：1.A2.C3.B4.C5.C二、填空题：6.47.8.9.1010.67090三、解答题：11.解：为等边三角形ABC，ABBC60ABCC 在与中ABMBCNABBCABCCBMCN(SAS)ABMBCN NBCBAM。60AQNABQBAMABQNBC 12.证明：，AECDBFCD90FAEC 90ACECAE90ACB90ACEBCFCAEBCF 在与中ACECBFFAECCAEBCFACBC (AAS)ACECBF。BFCE