全等三角形经典例题(含答案).doc

全等三角形证明题精选一解答题（共30小题）1四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F（1）求证：ADECBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO2如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，A=D（1）求证：ACDE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长3如图，BDAC于点D，CEAB于点E，AD=AE求证：BE=CD4如图，点O是线段AB和线段CD的中点（1）求证：AODBOC；（2）求证：ADBC5如图：点C是AE的中点，A=ECD，AB=CD，求证：B=D6如图，已知ABC和DAE，D是AC上一点，AD=AB，DEAB，DE=AC求证：AE=BC7如图，ABCD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF求证：AF=DF8如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：ABDE9如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FCAB求证：AE=CE10如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，A=B，ADE=BCF，求证：DE=CF11如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CEDF，EC=BD，AC=FD求证：AE=FB12已知ABN和ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，1=2（1）求证：BD=CE；（2）求证：M=N13如图，BEAC，CDAB，垂足分别为E，D，BE=CD求证：AB=AC14如图，在ABC和CED中，ABCD，AB=CE，AC=CD求证：B=E15如图，在ABC中，AD平分BAC，且BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，DAC=30，求AC的长16如图，RtABCRtDBF，ACB=DFB=90，D=28，求GBF的度数17如图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，AC=BD求证：ABCBAD18已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且ACDF求证：ABCDEF19已知：点 A、C、B、D在同一条直线，M=N，AM=CN请你添加一个条件，使ABMCDN，并给出证明（1）你添加的条件是：；（2）证明：20如图，AB=AC，AD=AE求证：B=C21如图，在ABC中，AD是ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F求证：BE=CF22一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC求证：BAC=DAC23在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：AB=DE，BF=EC，B=E，1=2请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明题设：；结论：（均填写序号）证明：24如图，在ABC和DEF中，AB=DE，BE=CF，B=1求证：AC=DF（要求：写出证明过程中的重要依据）25如图，已知AB=DC，AC=DB求证：1=226如图，D、E分别为ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点现有四个条件：AB=AC；OB=OC；ABE=ACD；BE=CD（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是和，命题的结论是和（均填序号）；（2）证明你写出的命题27如图，已知ABDE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明28如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，B=C，点E是BC边上的中点求证：AE=DE29如图，给出下列论断：DE=CE，1=2，3=4请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明30已知：如图，ACB=90，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AECD、BFCD，垂足为E、F，求证：CE=BF全等三角形证明题精选参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2016连云港）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F（1）求证：ADECBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到AED=CFB=90，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到ADE=CBF，由平行线的判定得到ADBC，根据平行四边形的性质即可得到结论【解答】证明：（1）BE=DF，BEEF=DFEF，即BF=DE，AEBD，CFBD，AED=CFB=90，在RtADE与RtCBF中，RtADERtCBF；（2）如图，连接AC交BD于O，RtADERtCBF，ADE=CBF，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，AO=CO【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键2（2016曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，A=D（1）求证：ACDE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长【分析】（1）首先证明ABCDFE可得ACE=DEF，进而可得ACDE；（2）根据ABCDFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案【解答】（1）证明：在ABC和DFE中，ABCDFE（SAS），ACE=DEF，ACDE；（2）解：ABCDFE，BC=EF，CBEC=EFEC，EB=CF，BF=13，EC=5，EB=4，CB=4+5=9【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件3（2016孝感）如图，BDAC于点D，CEAB于点E，AD=AE求证：BE=CD【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得AEC和ADB全等，从而可以证得结论【解答】证明；BDAC于点D，CEAB于点E，ADB=AEC=90，在ADB和AEC中，ADBAEC（ASA）AB=AC，又AD=AE，BE=CD【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件4（2016湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点（1）求证：AODBOC；（2）求证：ADBC【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出AODBOC；（2）结合全等三角形的性质可得出A=B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论【解答】证明：（1）点O是线段AB和线段CD的中点，AO=BO，CO=DO在AOD和BOC中，有，AODBOC（SAS）（2）AODBOC，A=B，ADBC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出AODBOC；（2）找出A=B本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可5（2016云南）如图：点C是AE的中点，A=ECD，AB=CD，求证：B=D【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明ABCCDE，根据全等三角形的性质：得出结论【解答】证明：点C是AE的中点，AC=CE，在ABC和CDE中，ABCCDE，B=D【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL6（2016宁德）如图，已知ABC和DAE，D是AC上一点，AD=AB，DEAB，DE=AC求证：AE=BC【分析】根据平行线的性质找出ADE=BAC，借助全等三角形的判定定理ASA证出ADEBAC，由此即可得出AE=BC【解答】证明：DEAB，ADE=BAC在ADE和BAC中，ADEBAC（ASA），AE=BC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键7（2016十堰）如图，ABCD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF求证：AF=DF【分析】欲证明AF=DF只要证明ABFDEF即可解决问题【解答】证明：ABCD，B=FED，在ABF和DEF中，ABFDEF，AF=DF【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型8（2016武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：ABDE【分析】证明它们所在的三角形全等即可根据等式的性质可得BC=EF运用SSS证明ABC与DEF全等【解答】证明：BE=CF，BC=EF，在ABC与DEF中，ABCDEF（SSS），ABC=DEF，ABDE【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等9（2016昆明）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FCAB求证：AE=CE【分析】根据平行线的性质得出A=ECF，ADE=CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出ADECFE，即可得出答案【解答】证明：FCAB，A=ECF，ADE=CFE，在ADE和CFE中，ADECFE（AAS），AE=CE【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键10（2016衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，A=B，ADE=BCF，求证：DE=CF【分析】求出AD=BC，根据ASA推出AEDBFC，根据全等三角形的性质得出即可【解答】证明：AC=BD，AC+CD=BD+CD，AD=BC，在AED和BFC中，AEDBFC（ASA），DE=CF【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出AEDBFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等11（2016重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CEDF，EC=BD，AC=FD求证：AE=FB【分析】根据CEDF，可得ACE=D，再利用SAS证明ACEFDB，得出对应边相等即可【解答】证明：CEDF，ACE=D，在ACE和FDB中，ACEFDB（SAS），AE=FB【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键12（2016南充）已知ABN和ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，1=2（1）求证：BD=CE；（2）求证：M=N【分析】（1）由SAS证明ABDACE，得出对应边相等即可（2）证出BAN=CAM，由全等三角形的性质得出B=C，由AAS证明ACMABN，得出对应角相等即可【解答】（1）证明：在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BD=CE；（2）证明：1=2，1+DAE=2+DAE，即BAN=CAM，由（1）得：ABDACE，B=C，在ACM和ABN中，ACMABN（ASA），M=N【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键13（2016恩施州）如图，BEAC，CDAB，垂足分别为E，D，BE=CD求证：AB=AC【分析】通过全等三角形（RtCBERtBCD）的对应角相等得到ECB=DBC，则AB=AC【解答】证明：BEAC，CDAB，CEB=BDC=90在RtCBE与RtBCD中，RtCBERtBCD（HL），ECB=DBC，AB=AC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形14（2016重庆）如图，在ABC和CED中，ABCD，AB=CE，AC=CD求证：B=E【分析】根据两直线平行，内错角相等可得BAC=ECD，再利用“边角边”证明ABC和CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可【解答】证明：ABCD，BAC=ECD，在ABC和CED中，ABCCED（SAS），B=E【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键15（2016湖北襄阳）如图，在ABC中，AD平分BAC，且BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，DAC=30，求AC的长【分析】（1）先证明DEBDFC得B=C由此即可证明（2）先证明ADBC，再在RTADC中，利用30角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题【解答】（1）证明：AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，DE=DF，DEB=DFC=90，在RTDEB和RTDFC中，DEBDFC，B=C，AB=AC（2）AB=AC，BD=DC，ADBC，在RTADC中，ADC=90，AD=2，DAC=30，AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，AC2=AD2+CD2，4a2=a2+（2）2，a0，a=2，AC=2a=4【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型16（2016吉安校级一模）如图，RtABCRtDBF，ACB=DFB=90，D=28，求GBF的度数【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF，证明DGCAGF，根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到CBG=FBG，根据三角形内角和定理计算即可【解答】解：RtABCRtDBF，ACB=DFB=90，BC=BF，BD=BA，CD=AF，在DGC和AGF中，DGCAGF，GC=GF，又ACB=DFB=90，CBG=FBG，GBF=（9028）2=31【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键17（2016武汉校级四模）如图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，AC=BD求证：ABCBAD【分析】由垂直的定义可得到C=D，结合条件和公共边，可证得结论【解答】证明：ACBC，BDAD，C=D=90，在RtACB和RtBDA中，ACBBDA（HL）【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL18（2016济宁二模）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且ACDF求证：ABCDEF【分析】求出BC=FE，ACB=DFE，根据SAS推出全等即可【解答】证明：BF=CE，BF+FC=CE+FC，BC=FE，ACDF，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS19（2016诏安县校级模拟）已知：点 A、C、B、D在同一条直线，M=N，AM=CN请你添加一个条件，使ABMCDN，并给出证明（1）你添加的条件是：MAB=NCD；（2）证明：在ABM和CDN中M=N，AM=CM，MAB=NCDABMCDN（ASA）【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为MAB=NCD，或BM=DN或ABM=CDN【解答】解：（1）你添加的条件是：MAB=NCD；（2）证明：在ABM和CDN中M=N，AM=CM，MAB=NCDABMCDN（ASA），故答案为：MAB=NCD；在ABM和CDN中M=N，AM=CM，MAB=NCDABMCDN（ASA）【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件20（2016屏东县校级模拟）如图，AB=AC，AD=AE求证：B=C【分析】要证B=C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证ABEACD，然后由全等三角形对应边相等得出【解答】证明：在ABE与ACD中，ABEACD（SAS），B=C【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法观察出公共角A是解决本题的关键21（2016沛县校级一模）如图，在ABC中，AD是ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F求证：BE=CF【分析】易证BEDCFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题【解答】解：BEAE，CFAE，BED=CFD=90，在BED和CFD中，BEDCFD（AAS），BE=CF【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键22（2016福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC求证：BAC=DAC【分析】在ABC和ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得ABCADC，再由全等三角形的性质即可得出结论【解答】证明：在ABC和ADC中，有，ABCADC（SSS），BAC=DAC【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出ABCADC本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键23（2012漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：AB=DE，BF=EC，B=E，1=2请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明题设：可以为；结论：（均填写序号）证明：【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：；结论：，可以利用SAS定理证明ABCDEF；情况二：题设：；结论：，可以利用AAS证明ABCDEF；情况三：题设：；结论：，可以利用ASA证明ABCDEF，再根据全等三角形的性质可推出结论【解答】情况一：题设：；结论：证明：BF=EC，BF+CF=EC+CF，即BC=EF在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS），1=2；情况二：题设：；结论： 证明：在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS），BC=EF，BCFC=EFFC，即BF=EC；情况三：题设：；结论：证明：BF=EC，BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA），AB=DE【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答24（2009大连）如图，在ABC和DEF中，AB=DE，BE=CF，B=1求证：AC=DF（要求：写出证明过程中的重要依据）【分析】因为BE=CF，利用等量加等量和相等，可证出BC=EF，再证明ABCDEF，从而得出AC=DF【解答】证明：BE=CF，BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）即BC=EF在ABC和DEF中，AB=DE，B=1，BC=EF，ABCDEF（SAS）AC=DF（全等三角形对应边相等）【点评】解决本题要熟练运用三角形的判定和性质判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件25（2006平凉）如图，已知AB=DC，AC=DB求证：1=2【分析】探究思路：因为ABO与DCO有一对对顶角，要证1=2，只要证明A=D，把问题转化为证明ABCDCB，再围绕全等找条件【解答】证明：在ABC和DCB中，ABCDCBA=D又AOB=DOC，1=2【点评】本题是全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由探究题目的结论出发，找全等三角形，再寻找判定全等的条件26（2006佛山）如图，D、E分别为ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点现有四个条件：AB=AC；OB=OC；ABE=ACD；BE=CD（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是和，命题的结论是和（均填序号）；（2）证明你写出的命题【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD全等来求解的已经有了一个公共角A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论可根据这个思路来进行选择和证明【解答】解：（1）命题的条件是和，命题的结论是和（2）已知：D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且AB=AC，ABE=ACD求证：OB=OC，BE=CD证明如下：AB=AC，ABE=ACD，BAC=CAB，ABEACDBE=CD又BCD=ACBACD=ABCABE=CBE，BOC是等腰三角形OB=OC【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，要注意的是AAA和SSA是不能判定三角形全等的27（2005安徽）如图，已知ABDE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏【解答】解：此图中有三对全等三角形分别是：ABFDEC、ABCDEF、BCFEFC证明：ABDE，A=D又AB=DE、AF=DC，ABFDEC【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件28（2004昆明）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，B=C，点E是BC边上的中点求证：AE=DE【分析】利用已知条件易证AEBDEC，从而得出AE=DE【解答】证明：ADBC，B=C，梯形ABCD是等腰梯形，AB=DC，在AEB与DEC中，AEBDEC（SAS），AE=DE【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角29（2004淮安）如图，给出下列论断：DE=CE，1=2，3=4请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明【分析】可以有三个真命题：（1），可由ASA证得ADEBCE，所以DE=EC；（2），可由SAS证得ADEBCE，所以1=2；（3），可由ASA证得ADEBCE，所以AE=BF，3=4【解答】解：证明如下：3=4，EA=EB在ADE和BCE中，ADEBCEDE=EC证明如下：3=4，EA=EB，在ADE和BCE中，ADEBCE，1=2证明如下：在ADE和BCE中，ADEBCEAE=BE，3=4【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；题目是一道开放型的问题，选择有多种，可以采用多次尝试法，证明时要选择较为简单的进行证明30（2011通州区一模）已知：如图，ACB=90，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AECD、BFCD，垂足为E、F，求证：CE=BF【分析】根据AECD，BFCD，求证BCF+B=90，可得ACF=B，再利用（AAS）求证BCFCAE即可【解答】证明：AECD，BFCDAEC=BFC=90BCF+B=90ACB=90，BCF+ACF=90ACF=B在BCF和CAE中BCFCAE（AAS）CE=BF【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，解答此题的关键是利用（AAS）求证BCFCAE，要求学生应熟练掌握第30页（共30页）