基于疲劳失效的行星齿轮减速器时变可靠性分析.pdf

2024年 第48卷 第1期Journal of Mechanical Transmission基于疲劳失效的行星齿轮减速器时变可靠性分析骆训雕 刘赣华（江西理工大学 机电工程学院，江西 赣州 341000）摘要 随着科技革新与社会发展，对行星齿轮减速器的可靠性要求越来越高。行星齿轮减速器运行过程中存在疲劳因素，会导致可靠度发生变化。针对这一问题，首先，根据应力-强度干涉理论，构建行星齿轮减速器在疲劳失效（主要是齿面接触疲劳失效和齿根弯曲疲劳失效）下的时变可靠性模型；其次，结合单调性定理，将时变可靠性模型简化，利用Matlab编程，求解了行星齿轮减速器的可靠度；对时变可靠性模型的各变量进行了灵敏度分析；最后，以PM90精密行星齿轮减速器为例，分别得到基于疲劳失效下的可靠度和各变量的灵敏度，阐述了在接触疲劳失效和弯曲疲劳失效下的可靠性时变规律，为行星齿轮减速器的时变可靠性分析奠定了基础。关键词 行星齿轮减速器 疲劳失效 时变可靠性 灵敏度分析Time-varying Reliability Analysis of Planetary Gear Reducers Based on Fatigue FailureLuo Xundiao Liu Ganhua（School of Mechanical Engineering,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China）Abstract With technological innovation and social development,the reliability of planetary gear reducers is required to be higher and higher.However,the reliability of planetary gear reducers changes due to fatigue factors in its operation.To solve this problem,firstly,according to the stress-strength interference theory,the time-varying reliability model of planetary gear reducers under fatigue failure(mainly tooth surface contact fatigue failure and tooth root bending fatigue failure)is constructed.Secondly,combined with the monotone theorem,the time-varying reliability model is simplified,and the reliability of planetary gear reducers is solved by Matlab programming.The sensitivity of each variable of the time-varying reliability model is analyzed.Finally,taking PM90 precision planetary gear reducer as an example,the reliability and sensitivity of each variable based on fatigue failure are obtained respectively,and the time-varying law of reliability under contact fatigue failure and bending fatigue failure is expounded,which lays the foundation for the time-varying reliability analysis of planetary gear reducers.Key words Planetary gear reducer Fatigue failure Time-varying reliability Sensitivity analysis0 引言行星齿轮减速器具有体积小、传动比大、输出平稳等优点，近年来广泛运用在交通设备、机械手臂、机器人等领域的机械传动系统1。由于能够在低速和高功率等环境下工作，并且在传动系统中占据重要地位，行星齿轮减速器的可靠性对机械传动系统的稳定运行至关重要。除此之外，随着环境的变化和技术的革新，一些领域对行星齿轮减速器的可靠性要求变得越来越严苛。针对可靠性的问题，杜丽等2结合区间分析，提出了一种不确定性的系统可靠性建模方法。Huang等3提出了一种确定齿轮机构运动精度可靠性的实用解析方法。张道兵等4为了减小计算结果可靠度的误差，建立了含多相关失效模式下结构系统可靠性一般模型，提出了一种利用蒙特卡洛法求解该系统模型可靠度的计算方法。郭正阳等5基于失效模式相关性的条件，利用蒙特卡洛法和应力-强度干涉理论，给出考虑失效模式相关性的可靠性方法。此外，随着服役时间的增加，行星齿轮减速器的可靠度大幅度降低，可靠性表现出明显的时变特征。王明清等6文章编号：1004-2539（2024）01-0099-06DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2024.01.01599第48卷提出了多失效模式下的齿轮传动时变可靠性计算方法。姜潮等7将时变可靠度概念与区间不确定性的研究方法相结合，给出了一种新的时变可靠性分析方法。Chen等8为了保证齿轮机构安全运行，采用鞍点近似法对齿轮机构的运动可靠性进行了时变估计。毛天雨等9利用应力-强度干涉理论，构建了飞行汽车传动系统可靠性模型，并阐述了该传动系统可靠度时变规律。以上学者对可靠性及其出现的时变特性等进行了一系列的研究，但对行星齿轮减速器的时变可靠性在疲劳失效下的分析尚存在不足。本文在考虑疲劳失效的前提下，根据应力-强度干涉理论，对行星齿轮减速器进行了时变可靠性分析，建立了行星齿轮减速器在疲劳失效下的功能函数，利用Matlab计算出可靠度。最后，将本文所建可靠性模型应用于PM90精密行星齿轮减速器，得出疲劳失效下的可靠度时变规律和各随机变量的灵敏度。1 行星齿轮减速器可靠性分析行星齿轮减速器传动结构中的主要失效形式为齿轮失效，在齿轮失效形式中占比最大的是疲劳失效。因此，行星齿轮减速器的失效形式表现为疲劳失效（接触疲劳失效和弯曲疲劳失效）。这两种失效形式的应力和强度计算式由式（1）式（5）表示。齿面接触应力为=ZZZZFt（u 1）Kbd1u（1）式中，ZH为区域系数；ZE为弹性系数；Z为齿面重合度系数；Z为齿面螺旋角系数；Ft为分度圆上的圆周力；u为传动比；K为载荷系数；b为齿宽；d1为分度圆直径。在实际应用中，受各类因素的影响，名义周向力小于齿轮所承受的实际周向力。考虑到各种因素的影响，实际周向力又称计算荷载，因此，计算载荷Ftc为K=KKKKVFtc=FtK（2）式中，KA为使用系数；KH为接触强度的螺旋线载荷分布系数；KH为接触强度的齿间载荷分配系数；KV为动载系数。齿轮齿面接触疲劳强度为S=limLVRW（3）式中，lim为接触疲劳极限；L为润滑剂系数；N为寿命系数；V为速度系数；R为齿面光洁度系数；W为工作硬化系数；X为尺寸系数。齿根弯曲应力为F=FtbmnFasaKKVKFKF（4）式中，mn为法向模数；Fa为齿形系数；sa为齿根弯曲应力修正系数；为齿根重合度系数；为齿根螺旋角系数；KF为弯曲强度的螺旋线载荷分布系数；KF为弯曲强度的齿间载荷分配系数。齿根弯曲疲劳强度为FS=relRrelXSTFlim（5）式中，为寿命系数；rel为敏感系数；Rrel为相对齿根表面状况系数；X为尺寸系数；ST为齿根弯曲疲劳强度修正系数；Flim为齿轮材质的弯曲疲劳极限。式（1）式（5）中，各个变量可参考文献10选取。根据内部应力-强度干涉理论可知，当疲劳强度小于应力时，行星齿轮减速器会发生疲劳失效。因此，可以建立齿面接触疲劳和齿根弯曲疲劳两个失效模型的功能函数，其表达式分别为 g1（x1）=S1-s1=HS-Hg2（x2）=S2-s2=FS-F（6）式中，gi（xi）为功能函数；Si为广义强度；si为广义应力。2 行星齿轮减速器时变可靠性分析由于应力会随着时间变化而变化，现在重新定义式（1）和式（4），新的公式分别为=ZZZZFtc（t）（u 1）bd1u（7）F=FFtc(t)bmnFasa（8）式中，t为与时间有关的参数，如载荷受时间的影响。再将式（3）、式（5）、式（7）和式（8）代入式（6）中，得到的表达式很烦琐，因此，令 Z1=ZNZLZVZRZWZXZ2=ZZZ1=SrelRrelX2=Fasa（9）最后可得 g1(x1)=limZ1-ZZ2FHtc(t)(u 1)bd1ug2(x2)=Flim1-FFtc(t)bmn2（10）式 中，x1=Z1，FHtc，Hlim，Z2，t；x2=1，FFtc，Flim，2，t。100第1期骆训雕，等：基于疲劳失效的行星齿轮减速器时变可靠性分析式（10）中，g1(x1)的各个变量，传动比u、分度圆直径d1、区域系数ZH和齿宽b被假设为定值；g2(x2)的基本变量，齿宽b、法向模数mn被假设为定值；其他的假设为满足正态分布进行处置。除此之外，当有的随机变量（如Ftc）数据不足时，则用区间变量进行处理。功能函数中的各个基本变量的分布情况，可查看文献11-12。由于对简化后的式（10）进行计算还是显得烦琐，不能直接根据式（10）计算出行星齿轮减速器的疲劳可靠度。由式（7）和式（8）可知，行星齿轮减速器的应力大小会随着变量t的变大而变大，功能函数gi(xi)是单调递减的。除此之外，根据对可靠度的描述，行星齿轮减速器的时变可靠性模型（功能函数）可等量代换为 I=Z2FHtc(tmax)(u 1)bd1uL=FFtc(tmax)bmn2（11）g1(x1，FHtc，tmax)=lim1-Ig2(x2，FFtc，tmax)=Flim1-L（12）式中，tmax为行星齿轮减速器使用时间的最大值。由式（11）和式（12）看出，消掉了变量t，将行星齿轮减速器的时变可靠性问题变换为静态可靠性问题，从而减少了计算的烦琐性13。由于区间变量的影响，g(xi，Ftc，tmax)=0在极限状态下不再仅仅为曲面，而是成为极限状态下的曲面簇，与二维状况下的一样，呈现出一个带状的区域，如图1所示。图1极限状态下的曲面簇图Fig.1Surface cluster plot in the limit state由此可见，行星齿轮减速器的疲劳可靠度不再是一个单一的值，而是成为了一个区间，可靠度分别为 Rimax=max g（xi，Ftc，tmax）0|Ftc Rimin=min g（xi，Ftc，tmax）0|Ftc（13）式中，为一件事发生的可能性大小；为Ftc的变化区间，=FLtc，FUtc。对行星减速器时变可靠性进行分析可得出可靠度的极值，尤其是极小值Rimin。由式（13）可知，若要得出极小值Rimin，首先要确定功能函数g（xi，Ftc，tmax）的极小值min g（xi，Ftc，tmax）。虽然用优化算法可直接求出，但计算时间太长。根据显性表达式和隐性表达式的概念可知，式（12）为显性表达式，对其求偏导，结果为 g1FHtc=-Z22FHtc(tmax)()u 1bd1ug2FFtc=-FFtc(tmax)bmn2（14）由式（14）可知，giFtc 0。根据单调函数的定义可知，功能函数g（xi，Ftc，tmax）是Ftc的单调减函数，当Ftc=Ftcmax时，功能函数g（xi，Ftc，tmax）将取为极小值。式（12）可进一步变换为 g1min()x1，FHtc，tmax=lim1-Ig2min()x2，FFtc，tmax=Flim1-L（15）通过上述分析，可将功能函数简化为式（15）。因此，利用传统的可靠性分析方法对式（15）进行求解，最后都是基于Matlab软件进行编程求出最终结果。3 灵敏度分析失效概率对随机变量的偏导数为灵敏度，通过灵敏度分析可以了解到随机变量对可靠性的影响程度。根据所得出的结果，设计人员能够设计出最优的方案来提高可靠性，因此，分析可靠性和灵敏度是相得益彰的。当随机变量i以正态分布处理时，其可靠性灵敏度14为 Pfii=（-i）y*iiiPfii=（-i）（y*i）2ii（16）式中，Pfi为各失效模式下的失效概率；为正态分布的概率密度函数；y*i为在分布空间验算点的坐标值；、分别为各失效模式下随机变量的均值、方差。将功能函数转换为式（15），时变可靠性问题变换为静态可靠性问题，服从正态分布的变量i的灵敏度变为 Pfii=Pfiminy*iminiminiPfii=Pfimin（y*imin）2imini（17）101第48卷当随机变量以区间变量处理时，其可靠性灵敏度15为Pfixi=limx 0Pfixi=Pfi（xi）-Pfi（xi-xi）xi（18）式中，Pfi和xi分别为失效概率和区间变量的变化值。当求出的灵敏度大于0时，失效概率会随着变量的增大而变大；当求出的灵敏度小于0时，失效概率会随着变量的减小而变大。因此，在设计时，控制影响较大的参数可以提高可靠性。4 算例分析PM系列精密行星减速器具有可靠度高、传动平稳、承载能力强和定位精准等特点，平均使用寿命为20 000 h，适用于机械手、机床制造和机器人等领域。本文以PM系列中的PM90精密行星减速器16为例。在该减速器中，将内齿圈固定，驱动源驱动输入轴，从而带动太阳轮，太阳轮与行星轮啮合，行星轮通过啮合自转带动行星架，由输出轴输出转矩，其结构如图2所示。该行星齿轮减速器的几何参数如表1所示。图2精密行星齿轮减速器结构图Fig.2Structure diagram of the precision planetary gear reducer表1精密行星齿轮减速器的几何参数Tab.1Geometric parameters of the precise planetary gear reducer零件齿数材料模数/mm弹性模量/Pa泊松比密度/（kg/m3）压力角/（）螺旋角/（）太阳轮1820CrMnTi0.552.0710110.257 80020左旋10行星轮4520CrMnTi0.552.0710110.257 80020右旋10内齿圈10842CrMo0.552.1210110.287 85020右旋10假设以 20 000 h为评价指标，根据本文对功能函数的分析（记为 MP），先结合式（15）中的功能函数，然后直接利用已有的方法可计算出对应的可靠度最小值。在Matlab软件中，使用软件自带的函数（如mux、sigmax、normrnd等函数）来求解，计算出PM90 精密行星减速器在接触失效和弯曲失效下的可靠度最小值，结果分别为R1min=0.965 6 和R2min=0.979 3。Matlab软件版本为Matlab R2018b。为了验证结果的正确性，利用蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation，MCS）法进行验证17，具体验证步骤：1）确定失效模式下的功能函数。2）对功能函数中的各个随机变量进行抽样（取N个样本），结合优化算法求出功能函数的最小值。3）统计安全样本点（若求出功能函数的最小值大于0，则为安全样本点）的数量并求出Rimin。假设样本量 N 为104，基于 MCS 的计算结果为R1min=0.967 8 和R2min=0.979 7。将 MCS 与 MP 计算出的可靠度结果进行比较，MCS 比 MP 的结果分别大0.22%、0.04%，计算得到的结果之间的差值在允许范围内，验证了该时变可靠性模型的正确性。除此之外，基于两种方法在 Matlab 软件中编程还得出PM90精密行星减速器在这两种状态下的可靠度随时间变化曲线，分别如图3和图4所示。采用MCS方法求解行星减速器可靠度需要结合其他优化算法，计算比较复杂且耗时长；而MP方法将变可靠性问题变换为静态可靠性问题，直接求解出可靠度，计算简便。因此，MP方法比MCS方法更好。由图3和图4可知，PM90精密行星齿轮减器在工作前期可靠度下降趋势不明显，运行一段时间后，可靠度迅速下降，失效概率大大提升。在运行时间前期，接触疲劳状态与弯曲疲劳状态下的可靠度相差不多；在服役15 000 h、20 000 h时间后，两者的可靠度有一定的差别，接触疲劳状态下的可靠度分别为0.995 0、0.965 6，弯曲疲劳状态下的可靠度分别为0.997 3、0.978 3，两者对比分别相差0.23%、图3接触失效下的可靠度随时间变化曲线Fig.3Curve of the reliability with time under contact failure102第1期骆训雕，等：基于疲劳失效的行星齿轮减速器时变可靠性分析1.27%，并且同样服役 5 000 h，15 00020 000 h 时段接触疲劳失效下的可靠度衰减了2.94%，而弯曲疲劳失效下的可靠度衰减了1.9%。因此，随着服役时间的延长，精密行星齿轮减速器的可靠度大大降低，且应多关注接触疲劳失效可靠度。根据失效概率与可靠度的关系，可求出各失效模式的失效概率，分别如图5和图6所示。由图5和图6可以看出，各失效模式的失效概率曲线具有浴盆曲线的特征，特别在运行后期，失效概率随时间的增加而迅速增加。图5接触失效下的失效概率随时间变化曲线Fig.5Curve of the failure probability with time under contact failure图6弯曲失效下的失效概率随时间变化曲线Fig.6Curve of the failure probability with time under bending failure根据本节对随机变量进行的灵敏度分析，各变量的灵敏度计算结果如表2所示。由表2可知，变量Z1、1、Hlim和Flim的均值为负相关变量，其余的均为正相关变量。除此之外，各敏感随机变量对可靠度的影响随运行时间的延长而变大。因此，可以通过严格控制这些变量的大小来提高可靠度。5 结论为了研究行星齿轮减速器在疲劳失效下的时变可靠度，以应力-强度干涉理论为基础，构建了行星齿轮减速器在疲劳失效下的时变可靠性功能函数，对接触疲劳失效和弯曲疲劳失效下的时变可靠性进行了分析，利用Matlab软件编程求解出可靠度。并基于该模型对影响可靠性的各变量进行了灵敏度分析，得出如下结论：1）在Matlab软件求解可靠度的基础上，得到精密行星齿轮减速器在这两种失效模式下的可靠度随图4弯曲失效下的可靠度随时间变化曲线Fig.4Curve of the reliability with time under bending failure表2各随机变量的灵敏度计算结果Tab.2 Calculated results of sensitivity of each random variable变量Pf1HlimPf1HlimPf1Z1Pf1Z1Pf1Z2Pf1Z2Pf2FlimPf2FlinPf21Pf21Pf22Pf22Pf1FHtcPf2FFtc灵敏度20 000 h-2.6510-42.5910-5-2.2710-14.7310-24.4210-53.0010-7-3.1310-43.3610-4-5.0410-26.0010-32.1310-21.4710-31.5510-41.0510-415 000 h-3.8510-53.7710-5-3.3010-226.8810-36.4210-64.3610-7-4.2110-54.1810-5-6.8610-32.9410-42.6510-31.8310-42.2510-51.3010-510 000 h-1.5410-71.5110-8-1.3210-32.7510-42.5710-81.7510-11-3.1210-63.0910-6-5.0810-45.5310-51.9710-41.3610-59.0210-74.8210-7注：Pf1为接触失效下的失效概率，Pf2为弯曲失效下的失效概率。103第48卷时间变化的规律。在工作前期，可靠度随时间变化不大；随着时间的增加，可靠度的下降趋势随时间变化十分明显，且在接触疲劳失效下的可靠度比弯曲疲劳失效下的可靠度小。应关注行星齿轮减速器在接触疲劳状态下的可靠度。2）通过对随机变量进行灵敏度分析，得出了对可靠度影响大的变量，适当控制这些变量可以提高可靠度。本文研究结果可以为其他领域的可靠性分析提供一定的参考。参考文献1潘柏松，林琮凯，项涌涌，等.考虑齿轮磨损的行星减速器传动精度时变可靠性分析及优化设计 J.计算机集成制造系统，2022，28（3）：745-757.PAN Baisong，LIN Congkai，XIANG Yongyong，et al.Transmission time-variant reliability analysis and optimization design of planetary reducers considering gear wear J.Computer Integrated Manufacturing Systems，2022，28（3）：745-757.2杜丽，肖宁聪，黄洪钟，等.认知不确定性的谐波齿轮减速器可靠性分析研究 J.电子科技大学学报，2011，40（3）：470-475.DU Li，XIAO Ningcong，HUANG Hongzhong，et al.Reliability analysis of harmonic gear reducer with cognitive uncertainty J.Journal of University of Electronic Science and Technology of China，2011，40（3）：470-475.3HUANG X Z，HU S，ZHANG Y M，et al.A method to determine kinematic accuracy reliability of gear 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