2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.4.1-等比数列学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列学案 新人教A版必修5

年级：
姓名：

2.4　等 比 数 列
第1课时　等比数列
学习
目标
1.理解等比数列的定义.(数学抽象)
2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(逻辑推理、数学运算)
3.了解等比数列与指数函数的关系、能在具体情境中识别数列的等比关系,能利用等比数列解决相应的问题.(逻辑推理、数据分析)
必备知识·自主学习
导思
1.类比等差数列,等比数列是如何定义的?如何定义等比中项?
2.类比等差数列的通项公式,等比数列的通项公式怎样?如何推导?
1.等比数列的概念
一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,用q表示(q≠0).

(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?
提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.
(2)怎样利用递推公式表示等比数列?
提示:=q(n≥2)或=q(q≠0).
2.等比中项
在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.

　(1)G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满足的关系式是什么?
提示:a与b同号,满足的关系式是G2=ab.
(2)如果2,a,4成等比数列,如何求a?答案唯一吗?
提示:由=得a2=8,即a=±2,答案不唯一.
3.等比数列的通项公式
首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an=a1qn-1.

(1)等比数列的通项公式是an=2n-1,其图象是由什么样的点组成的?与函数y=2x-1的图象有什么关系?
提示:通项公式为an=2n-1的图象是由离散的点构成的,这些离散的点都在函数y=2x-1的图象上.
(2)除了课本上采用的不完全归纳法,你还能用什么方法推导等比数列的通项公式.
提示:还可以用累乘法.
当n>2时,=q,=q,…,=q,
所以an=a1···…··=a1·qn-1.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列. (　　)
(2)若G是a与b的等比中项,则G=. (　　)
(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列. (　　)
提示:(1)×.应等于同一个常数.
(2)×.G=±.
(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.
2.已知2,b,8是等比数列,则实数b= (　　)
A.6 B.4 C.-4 D.4或-4
【解析】选D.因为2,b,8成等比数列,
所以b=±=±4.
3.(教材二次开发:练习改编)等比数列{an}中,a2=2,a5=,则公比q=　　　　. 
【解析】由定义知a2=a1q=2,①
a5=a1q4=,②
所以②÷①得q3=,所以q=.
答案:
关键能力·合作学习
类型一　等比数列基本量的运算(逻辑推理、数学运算)

1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1= (　　)　　　　　　　　
A. B.- C.- D.
2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q= (　　)
A.4 B.3 C.2　 D.
3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=,则{an}的通项公式an=　　　　. 
【解析】1.选C.设公比为q,则==q3=-8,
则q=-2,则a1==-.
2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以,且q>0,
解得a1=,q=2,
所以公比q=2.
3.设等比数列的首项为a1,公比为q,
因为a2-a3=-2,a1+a3=,
所以
两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,
由公比q为整数可得,q=3,a1=.
所以an=3n-2.
答案:3n-2
　利用基本量结合方程思想运算
(1)a1和q是等比数列的两个基本量,解决本题时,只要求出这两个基本量,其余的量便可以通过通项公式列方程(组)得出.
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,解题时常列方程(组)来解决.
【补偿训练】
1.已知等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a1= (　　)　　
A.1 B.-1 C.3 D.-3
【解析】选B.等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a1===-1.
2.已知等比数列{an}中,a6=4,a8=8,则a10的值是 (　　)
A.5 B.6 C.14 D.16
【解析】选D.依题意,设公比为q,等比数列{an}中,a6=4,a8=8,
所以==q2==2,
又==q2=2,
所以a10=a8×q2=8×2=16.
3.已知a1=,an=,q=,则n=　　　　. 
【解析】因为a1=,q=,an=,
所以=×.
所以==.
所以n-1=3,
所以n=4.
答案:4
类型二　等比中项的应用(数学运算)
【典例】已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
四步
内容
理解题意
条件:b是a,c的等比中项.
结论:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
思路探求
证明(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2)即可
书写表达
【证明】b是a,c的等比中项,则b2=ac,且a,b,c均不为零,
又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,
(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)·(b2+c2),
即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
题后反思
本题的关键是用递推法分析出ab+bc与a2+b2和b2+c2的关系.
　等比中项法证明等比数列
　“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab(a,b均不为0)”,可以用它来判断或证明三个数成等比数列.

1.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是　　　　. 
【解析】设三边为a,aq,aq2(q>1),
由勾股定理(aq2)2=(aq)2+a2,所以q2=.
较小锐角记为θ,则sin θ===.
答案:
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与的等比中项,则k等于 (　　)　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选B.因为an=(n+8)d,
又=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,
解得k=-2(舍去),k=4.
【拓展延伸】
等比中项的注意点
1.注意非零.若b2=ac且ac≠0,则a,b,c成等比数列.这里要注意条件ac≠0;若只有条件b2=ac,我们得不到a,b,c成等比数列的结论.
2.注意个数.当a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.
3.注意从第2项起.在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
【拓展训练】
(1)三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c=　　　　. 
【解析】由题意得2b=a+c　①,
c2=ab　②,
由①得c=2b-a　③,
将③代入②得a=b(舍去)或a=4b,
所以c=2b-a=2b-4b=-2b.
则a∶b∶c=4∶1∶(-2).
答案:4∶1∶(-2)
(2)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为　　　　. 
【解析】设衰分比例为q,
则甲、乙、丙各分得,28,28q石,
所以+28+28q=98,
所以q=2或.
又0<q<1,所以q=.
答案:
【补偿训练】
-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=　　　　. 
【解析】设该等比数列的公比为q,
因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,
所以b2=-1×(-25)=25,
所以b=±5,
又因为b=-1×q2<0,
所以b=-5,
所以abc=b3=-125.
答案:-125
类型三　等比数列的判断与证明(逻辑推理、数学运算)
角度1　利用定义证明等比数列 
【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.
证明:{an+1}是等比数列.
【思路导引】证明为常数,或整体构造证明.
【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=an+,
====,
所以=.
方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,
即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以=.所以是以为公比的等比数列.

　若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,证明:{an+1}是等比数列.
【证明】因为an+1=2an+1,
所以===2,
所以{an+1}是以2为公比的等比数列.
角度2　已知Sn与an的关系证明等比数列 
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an+b(n∈N*,b∈R,b≠0).
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)求证:{an+1}不是等比数列.
【思路导引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)考查出数列的前三项进行证明.
【证明】(1)因为Sn=an+b,
所以当n≥2时,Sn-1=an-1+b,
两式相减得Sn-Sn-1=an+b-an-1-b,
所以an=an-an-1,
所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,
故{an}是公比为3的等比数列.
(2)由(1)知a1=-2b,
所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,
(a2+1)2=1+36b2-12b.
(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,
因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),
故数列{an+1}不是等比数列.
　数列{an}是等比数列的判断方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)等比中项法:对于数列{an},若=an·an+2且an≠0,则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.

1.已知数列的前n项和为Sn=2n+a,试判断{an}是否是等比数列.
【解析】an=Sn-Sn-1=2n+a-2n-1-a=2n-1(n≥2).
当n≥2时,==2;当n=1时,==.
故当a=-1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2;
当a≠-1时,数列{an}不是等比数列.
2.已知数列的前n项和为Sn=2-an.求证数列{an}是等比数列.
【证明】因为Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1,
所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,
所以an+1=an.又因为S1=2-a1,所以a1=1≠0.
又由an+1=an知an≠0,所以=,
所以数列{an}是等比数列.
【拓展延伸】
　　 判断数列为等比数列时,根据定义,是从第2项起,后一项与前一项的比是同一非零常数,需验证n=1时是否成立.
【拓展训练】
已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn+1)=n(n=1,2,…),试证明数列{an}是等比数列.
【证明】由已知可得Sn=10n-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(10n-1)-(10n-1-1)=9×10n-1,
又当n=1时,a1=S1=9也满足上述通项公式,
所以数列{an}的通项公式an=9×10n-1.
而当n≥2时,==10为一常数,
所以数列{an}是等比数列.
【补偿训练】
数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=Sn,n∈N*.求证:数列为等比数列.
【证明】因为====2×,所以=2,又==1,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列.
课堂检测·素养达标
1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6= (　　)　　　　　　　　
A.15 B.24 C.32 D.64
【解析】选C.设公比为q,由a1=1,a4=8可得公比q=2,
故a6=a1q5=32.
2.下面四个数列中,是等比数列的是 (　　)
A.q,2q,4q,6q B.q,q2,q3,q4
C.q,2q,4q,8q D.,,,
【解析】选D.A项不符合等比数列定义;B,C两项中q不等于0时是等比数列,q=0时不是等比数列;D项符合等比数列的定义,公比是.
3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1=　　　　. 
【解析】因为12=a3=2a2,所以a2=6.因为6=a2=2a1,
所以a1=3.
答案:3
4.已知等比数列{an}的公比为2,若a1+a3=4,则a2=　　　　. 
【解析】由等比数列{an}的公比为2,a1+a3=4,
所以a1(1+22)=4,解得a1=,
则a2=×2=.
答案:
5.在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)-是否为该数列的项?若是,为第几项?
【解析】(1)因为2an=3an+1,
所以=,所以数列{an}是公比为的等比数列,
又a2·a5=,所以=,由于各项均为负,得a1=-,an=-.
(2)设an=-,则-=-,=,n=6,
所以-是该数列的项,为第6项.
【新情境·新思维】
　“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于同一个常数.若第一个单音的频率为f,第三个单音的频率为f,则第十个单音的频率为 (　　)
A.f B.f C.f D.f
【解析】选B.根据题意,单音的频率组成等比数列{an},
设其公比为q(q>0),则有a1=f,a3=f,
所以q2=,解得q=,第十个单音的频率a10=a1q9=()9f=f.