2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.4.1-等比数列学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列学案 新人教A版必修52021-2022版高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列学案 新人教A版必修5年级：姓名：2.4等 比 数 列第1课时等比数列学习目标1.理解等比数列的定义.(数学抽象)2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(逻辑推理、数学运算)3.了解等比数列与指数函数的关系、能在具体情境中识别数列的等比关系,能利用等比数列解决相应的问题.(逻辑推理、数据分析)必备知识自主学习导思1.类比等差数列,等比数列是如何定义的?如何定义等比中项?2.类比等差数列的通项公式,等比数列的通项公式怎样?如何推导?1.等比数列的概念一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,用q表示(q0).(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.(2)怎样利用递推公式表示等比数列?提示:=q(n2)或=q(q0).2.等比中项在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.(1)G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满足的关系式是什么?提示:a与b同号,满足的关系式是G2=ab.(2)如果2,a,4成等比数列,如何求a?答案唯一吗?提示:由=得a2=8,即a=2,答案不唯一.3.等比数列的通项公式首项为a1,公比是q(q0)的等比数列的通项公式为an=a1qn-1.(1)等比数列的通项公式是an=2n-1,其图象是由什么样的点组成的?与函数y=2x-1的图象有什么关系?提示:通项公式为an=2n-1的图象是由离散的点构成的,这些离散的点都在函数y=2x-1的图象上.(2)除了课本上采用的不完全归纳法,你还能用什么方法推导等比数列的通项公式.提示:还可以用累乘法.当n2时,=q,=q,=q,所以an=a1=a1qn-1.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列.()(2)若G是a与b的等比中项,则G=. ()(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.()提示:(1).应等于同一个常数.(2).G=.(3).如0,0,0满足02=00,但不是等比数列.2.已知2,b,8是等比数列,则实数b=()A.6B.4C.-4D.4或-4【解析】选D.因为2,b,8成等比数列,所以b=4.3.(教材二次开发:练习改编)等比数列an中,a2=2,a5=,则公比q=.【解析】由定义知a2=a1q=2,a5=a1q4=,所以得q3=,所以q=.答案:关键能力合作学习类型一等比数列基本量的运算(逻辑推理、数学运算)1.在等比数列an中,若a2=3,a5=-24,则a1=()A.B.-C.-D.2.已知各项为正数的等比数列an中,a2=1,a4a6=64,则公比q=()A.4B.3C.2D.3.在公比为整数的等比数列an中,a2-a3=-2,a1+a3=,则an的通项公式an=.【解析】1.选C.设公比为q,则=q3=-8,则q=-2,则a1=-.2.选C.因为各项为正数的等比数列an中,a2=1,a4a6=64,所以,且q0,解得a1=,q=2,所以公比q=2.3.设等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a3=-2,a1+a3=,所以两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q为整数可得,q=3,a1=.所以an=3n-2.答案:3n-2利用基本量结合方程思想运算(1)a1和q是等比数列的两个基本量,解决本题时,只要求出这两个基本量,其余的量便可以通过通项公式列方程(组)得出.(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,解题时常列方程(组)来解决.【补偿训练】1.已知等比数列an中,a4=27,q=-3,则a1=()A.1B.-1C.3D.-3【解析】选B.等比数列an中,a4=27,q=-3,则a1=-1.2.已知等比数列an中,a6=4,a8=8,则a10的值是()A.5B.6C.14D.16【解析】选D.依题意,设公比为q,等比数列an中,a6=4,a8=8,所以=q2=2,又=q2=2,所以a10=a8q2=82=16.3.已知a1=,an=,q=,则n=.【解析】因为a1=,q=,an=,所以=.所以=.所以n-1=3,所以n=4.答案:4类型二等比中项的应用(数学运算)【典例】已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.四步内容理解题意条件:b是a,c的等比中项.结论:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.思路探求证明(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2)即可书写表达【证明】b是a,c的等比中项,则b2=ac,且a,b,c均不为零,又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.题后反思本题的关键是用递推法分析出ab+bc与a2+b2和b2+c2的关系.等比中项法证明等比数列“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab(a,b均不为0)”,可以用它来判断或证明三个数成等比数列.1.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是.【解析】设三边为a,aq,aq2(q1),由勾股定理(aq2)2=(aq)2+a2,所以q2=.较小锐角记为,则sin =.答案:2.设等差数列an的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与的等比中项,则k等于()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.因为an=(n+8)d,又=a1a2k,所以(k+8)d2=9d(2k+8)d,解得k=-2(舍去),k=4.【拓展延伸】等比中项的注意点1.注意非零.若b2=ac且ac0,则a,b,c成等比数列.这里要注意条件ac0;若只有条件b2=ac,我们得不到a,b,c成等比数列的结论.2.注意个数.当a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.3.注意从第2项起.在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.【拓展训练】(1)三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则abc=.【解析】由题意得2b=a+c,c2=ab,由得c=2b-a,将代入得a=b(舍去)或a=4b,所以c=2b-a=2b-4b=-2b.则abc=41(-2).答案:41(-2)(2)在九章算术中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.【解析】设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得,28,28q石,所以+28+28q=98,所以q=2或.又0q1,所以q=.答案:【补偿训练】-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=.【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1(-25)=25,所以b=5,又因为b=-1q20),则有a1=f,a3=f,所以q2=,解得q=,第十个单音的频率a10=a1q9=()9f=f.