2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.4.1-等比数列素养评价检测新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列素养评价检测新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列素养评价检测新人教A版必修5

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姓名：

等 比 数 列

　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　35分)
1.在等比数列{an}中,若a6=8a3=8,则an= (　　)
A.2n-1 B.2n C.3n-1 D.3n
【解析】选A.若a6=8a3=8,
所以a1q5=8a1q2=8q2,
即q=2,a1=1,所以an=1×2n-1=2n-1.
2.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于 (　　)
A.6 B.-6 C.±6 D.±12
【解析】选C.因为a==,b2=(-1)×(-16)=16,所以b=±4,所以ab=±6.
3.某家庭决定要进行一项投资活动,预计每年收益5%.该家庭2020年1月1日投入10万元,按照复利(复利是指在每经过一个计息期后,都将所得利息加入本金,以计算下期的利息)计算,到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为 (　　)
参考数据:1.058≈1.48,1.059≈1.55,1.0510≈1.63,1.0511≈1.71

A.14.8万 B.15.5万
C.16.3万 D.17.1万
【解析】选C.由题意知,该家庭2021年1月1日本金加收益和为10·(1+5%)=10×1.05,2022年1月1日本金加收益和为10×1.052,2023年1月1日本金加收益和为10×1.053,…,2030年1月1日本金加收益和为10×1.0510≈10×1.63=16.3.
所以到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元.
4.正项等比数列{an},若3a1,a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q=　　　　. 
【解析】因为正项等比数列{an},3a1,a3,2a2成等差数列,所以,
解得q=3.所以{an}的公比q=3.
答案:3
5.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=　　　　. 
【解析】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
若2a2为3a1和a3的等差中项,
则有2×2a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,
即q2-4q+3=0,解得q=1或3;
又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.
答案:27
6.在等比数列{an}中,
(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;
(2)若a4=2,a7=8,求an.
【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,
q==-3,所以a5=405.
(2)因为所以
由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,
于是a1==,
所以an=a1qn-1=.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知各项均为正数的等比数列{an}中,公比q=2,a2a4=4,则a1= (　　)
A. B. C.1 D.2
【解析】选B.各项均为正数的等比数列{an}中,公比q=2,a2a4=4,
所以×24=4,所以a1=.
2.若a,2a+2,3a+3成等比数列,则实数a的值为 (　　)
A.-1 B.-4 C.1 D.4
【解析】选B.因为a,2a+2,3a+3成等比数列,
所以(2a+2)2=a(3a+3),即a2+5a+4=0,
解得a=-1或a=-4,
又a=-1时,这三个数为-1,0,0,不是等比数列,故舍去.
所以a=-4.
3.在等比数列{an}中,a1+a3=,a4+a6=3,则其公比为 (　　)
A.- B. C.2 D.4
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a3=,a4+a6=3,
所以q3(a1+a3)=q3·=3,解得q=2.
4.已知等比数列{an}的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3…a7= (　　)
A.16 B.64　 C.128 D.256
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a6+a4=2(a3+a1),
所以q5+q3=2(q2+1),
解得q3=2.
则a1a2a3…a7=q0+1+…+6=q21=27=128.
5.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T,该物质的质量会衰减到原来的一半,铅制容器中有两种放射性物质A,B,开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍,而120小时后两种物质的质量相等,已知物质A的半衰期为7.5小时,则物质B的半衰期为 (　　)
A.10小时 B.8小时 C.12小时 D.15小时
【解析】选B.=16.设mB=1.则mA=2.
设物质B的半衰期为t小时.
由题意可得:2×=,解得t=8.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=　　　　. 
【解析】由已知可知(a+1)2=(a-1)(a+4),
解得a=5,所以a1=4,a2=6,
所以q===,
所以an=4×.
答案:4×
7.在数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,则an=　　　　. 
【解析】因为数列{an}中,a2=,a3=,
且数列{nan+1}是等比数列,
2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,
所以数列{nan+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以nan+1=2n,
解得an=.
答案:
　　　【补偿训练】
　　　等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lg an}的通项公式为　　　　. 
【解析】因为a5=a4q,所以q=2,
所以a1==,
所以an=·2n-1=2n-3,
所以lg an=(n-3)lg 2.
答案:lg an=(n-3)lg 2
8.已知等比数列{an},an>0,n∈N*,且2a1+3a2=33,9=a2a6,则a2 020=　　　　. 
【解析】设等比数列{an}的公比为q>0,
因为2a1+3a2=33,9=a2a6,an>0,n∈N*,
所以a1(2+3q)=33,9q4=q6,
解得a1=q=3.
所以an=3n.
则a2 020=32 020.
答案:32 020
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数列{an}是一个等差数列且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项an和前n项和Sn;
(2)设cn=,bn=,证明数列{bn}是等比数列.
【解析】(1)设{an}的公差为d,
由已知条件得,,
解得a1=3,d=-2,
所以an=a1+(n-1)d=-2n+5,
Sn=na1+d=-n2+4n.
(2)因为an=-2n+5,
所以cn===n;
所以bn==2n.
因为==2(常数),
所以数列{bn}是等比数列.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n,
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,
两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:
an+1-1=(an-1).
又因为cn=an-1,
所以cn+1=cn,
又因为a1+a1=1,即a1=,
所以c1=a1-1=-1=-,
所以数列{cn}是以-为首项,为公比的等比数列;
(2)由(1)可知cn=an-1=-·=-,
所以an=1-.
　　　【补偿训练】
　　 数列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列,记bn=a2n-1+a2n(n∈N*).
(1)求a3,a4,a5,a6的值;
(2)求证:{bn}是等比数列.
【解析】(1)因为{anan+1}是公比为3的等比数列,
所以anan+1=a1a2·3n-1=2·3n,
所以a3==6,a4==9,a5==18,a6==27.
(2)因为{anan+1}是公比为3的等比数列,
所以anan+1=3an-1an,即an+1=3an-1,
所以a1,a3,a5,…,,…,与a2,a4,a6,…,a2n,…,都是公比为3的等比数列.
所以a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1,bn=a2n-1+a2n=5·3n-1,
所以==3.
故{bn}是以5为首项,3为公比的等比数列.

1.已知数列{an}是等比数列,有下列四个命题:
①数列{|an|}是等比数列;
②数列{anan+1}是等比数列;
③数列是等比数列;
④数列{lg }是等比数列.
其中正确的命题是　　　　.(填序号) 
【解析】由{an}是等比数列可得=q(q为常数,q≠0).
①==|q|为常数,故是等比数列;
②===q2为常数,故是等比数列;
③==为常数,故是等比数列;
④数列an=1是等比数列,但是lg =0不是等比数列.
答案:①②③
2.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若任意n∈N*,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,则d==4,
所以an=2+(n-1)×4=4n-2,
故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N*).
设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.
c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,
设{cn}的公比为q,则q3==8,故q=2.
则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.
所以bn=4n-2-2n-1(n∈N*).
故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N*).
(2)由题意,bk应为数列{bn}的最大项.
由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N*).当n<3时,bn+1-bn>0,bn<bn+1,
即b1<b2<b3;当n=3时,bn+1-bn=0,即b3=b4;
当n>3时,bn+1-bn<0,bn>bn+1,即b4>b5>b6,
所以k=3或k=4.