2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.2.2-等差数列的性质学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的性质学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的性质学案 新人教A版必修5

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第2课时　等差数列的性质

必备知识·自主学习
导思
1.等差数列有哪些常用的性质?
2.由等差数列可构成哪些新的等差数列?
3.等差数列的单调性与公差有什么关系?
1.等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系.
an=am+(n-m)d(m,n∈N*)
(2)多项关系.
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)
则an+am=ap+aq.
特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=2ap.

(1)由an=am+(n-m)d(m,n∈N*)m≠n,如何求出公差d?其几何意义是什么?
提示:d=.等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d=为直线的斜率.
(2)如何证明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq?
提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.
所以am+an=2a1+(m+n-2)d.
同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,
因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.
2.由等差数列构成的新等差数列
(1)条件.
{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列
(2)结论.
数列
结论
{c+an}
公差为d1的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd1的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k}
公差为2d1的等差数列(k为常数,k∈N*)
{pan+qbn}
公差为pd1+qd2的等差数列(p,q为常数)
3.等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d,
(1)当d>0时,数列{an}为递增数列.
(2)当d<0时,数列{an}为递减数列.
(3)当d=0时,数列{an}为常数列.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列. (　　)
(2)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列. (　　)
(3)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq ,则m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N* ). (　　)
(4)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N*,则am+an=ar. (　　)
提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.
(2)√.若等差数列{an}公差为d,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列,且其公差为2d.
(3)×.若数列{an}是常数列,则m+n=p+q不一定成立.
(4)×.如等差数列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.
2.在等差数列{an}中,若a1=2,a3+a5=10,则a7= (　　)
A.5 B.8 C.10 D.14
【解析】选B.由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5.
因为a1=2,a3+a5=10,
所以a7=8.
3.(教材二次开发:练习改编)若{an}是等差数列,则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是 (　　)
A.bn= B.bn=an+n2
C.bn=an+an+1 D.bn=nan
【解析】选C.{an}是等差数列,设an+1-an=d,
则数列bn=an+an+1满足:
bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d.
关键能力·合作学习
类型一　等差数列性质的应用
【典例】1.(2020·丽水高二检测)在等差数列{an}中,a4+a5+a6=15,则a5= (　　)
A.5 B.10 C.15 D.20
2.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于 (　　)
A.0 B.37 C.100 D.-37
3.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
【思路导引】1.利用等差数列的性质可得a4+a6=2a5,进而可根据题目条件求a5的值;
2.关键是注意{an+bn}也是等差数列;
3.思路一:直接列出关于首项、公差的方程组求解;
思路二:根据a15,a30,a45,a60,a75为等差数列求解;
思路三:利用性质an=am+(n-m)d(m,n∈N*)求解.
【解析】1.选A.依据题意a4+a5+a6=3a5=15,所以a5=5.
2.选C.设{an},{bn}的公差分别为d1,d2,
则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,
所以{an+bn}为等差数列,
又a1+b1=a2+b2=100,
所以{an+bn}为常数列,所以a37+b37=100.
3.方法一:设等差数列{an}的公差为d,
因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,
所以
解得
所以a75=a1+74d=+74×=24.
方法二:因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列.
设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项,
所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4.
所以a75=a60+d=20+4=24.
方法三:因为a60=a15+(60-15)d,
所以d==.
所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.

等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q =2r(m,n,p,q ,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.
特别提醒:递增等差数列d>0,递减等差数列d<0,解题时要注意数列的单调性对d取值的限制.

1.(2020·玉溪高二检测)等差数列{an}中,若a1+4a5+a9=24,则2a9-a13= (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.由等差数列的性质可得,a1+4a5+a9=6a5=24,
故a5=4,
所以2a9-a13=a13+a5-a13=a5=4.
2.已知数列{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=　　　　. 
【解析】方法一:因为{bn}为等差数列,
所以可设其公差为d,则d===2,
所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2×8-8=8.
方法二:由==d=2,
得b8=×5+b3=2×5+(-2)=8.
答案:8
【补偿训练】
1.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于 (　　)
A.45 B.75 C.180 D.300
【解析】选C.因为a3+a4+a5+a6+a7
=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450,
所以a5=90.
所以a2+a8=2a5=180.
2.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80. 求通项an.
【解析】因为a1+a5=2a3,
所以⇒

解得a1=-10,a5=2或a1=2,a5=-10,
因为d=,所以d=3或-3,
所以an=-10+3(n-1)=3n-13,或an=2-3(n-1)=-3n+5.
类型二　等差数列中对称设项法的应用(数学运算)
【典例】已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.
四步
内容
理解
题意
条件:①四个数成等差数列;②这四个数的和为26;③第二个数与第三个数之积为40.
结论:求这四个数
思路
探求
设这四个数⇒列方程组⇒解方程组得这四个数
书写
表达
设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,①
则由题意得,
②
即解得或
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.③
注意书写的规范性:①巧设未知数,简化运算;
②根据题目条件正确列方程组;
③准确解方程组,给出全面的答案.
题后
反思
恰当利用等差数列项与项之间的关系设未知数,简化运算是解答此类问题的关键.

设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.
(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.
(3)等差数列的通项可设为an=pn+q.

设三个数成单调递减的等差数列,三个数的和为12,三个数的积为48,求这三个数.
【解析】设这三个数为a+d,a,a-d,
则a-d+a+a+d=12,①
(a-d)·a·(a+d)=48,②
由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去),所以这三个数为6,4,2.
【补偿训练】
已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则,
又递增数列d>0,所以解得a=±,d=,此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
类型三　等差数列的应用(数学建模、数学运算)
　角度1　与其他知识的综合应用 
【典例】等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0 (　　)
A.无实根 B.有两个相等实根
C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根
【思路导引】根据等差数列的性质和题目条件可求a4+a6,判断判别式Δ的符号可得方程实数根的情况.
【解析】选A.由于a4+a6=a2+a8=2a5,而3a5=9,
所以a5=3,方程为x2+6x+10=0,Δ=62-4×10<0,无实数根.
　角度2　实际应用 
【典例】《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 (　　)
A.1升 B.升 C.升 D.升
【思路导引】关键是构建数列模型,明确此等差数列共9项,已知前4项的和及后3项的和求第5项.
【解析】选B.设该等差数列为{an},公差为d.
由题意得,
即解得
所以a5=+4×=.

1.解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
2.解决等差数列实际应用问题的步骤

特别提醒:在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.

1.已知数列{an}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则sin(a2+a8)=　　　　. 
【解析】因为数列{an}为等差数列,
若a1+a5+a9=π=3a5,
所以a5=,则sin(a2+a8)=sin(2a5)=sin=.
答案:
2.古代中国数学辉煌灿烂,在《张邱建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”则该问题中未到三人共得金　　　　斤. 
【解析】设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10,
则a1,a2,…,a10成等差数列,
且
设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d,
则
解得d=-,
所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d=.
答案:
【补偿训练】
1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可组成首项为的等差数列,则a+b的值为 (　　)

A.38 B. C. D.
【解析】选D.判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个根的和都为1,故必有一个方程的根为和,不妨设方程x2-x+a=0的根为和.为等差数列的首项,为等差数列4项中的某一项,由x2-x+b=0的两根和为1,且两根为等差数列中的后3项中的两项,知只有为第4项,才能满足中间两项之和为1的条件,所以四根的排列顺序为,,,,所以a+b=×+×=.
2.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为　　　　. 
【解析】设△ABC的三边长为a-4,a,a+4(a>4),
则=-,
解得a=10,三边长分别为6,10,14.
所以S△ABC=×6×10×=15.
答案:15
课堂检测·素养达标
1.等差数列{an}中,a100=120,a90=100,则公差d等于 (　　)

A.2 B.20 C.100 D.不确定
【解析】选A.因为a100-a90=10d,
所以10d=20,
即d=2.
2.(教材二次开发:练习改编)由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是 (　　)
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
【解析】选C.因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
3.在等差数列{an}中,若a3+a9=6,则a6=　　　　. 
【解析】由等差数列的性质可知,
a3+a9=2a6=6,所以a6=3.
答案:3
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则最短边与最长边长度的比等于　　　　. 
【解析】设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d(d≠0),
根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,
解得a=4d,
于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,
即这个直角三角形最短边与最长边长度的比是3∶5.
答案:3∶5
5.甲虫是行动较快的昆虫之一,如表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:
时间t/s
1
2
3
…
?
…
60
距离s/cm
9.8
19.6
29.4
…
49
…
?
(1)你能建立一个等差数列的模型,表示这种类型的甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗?
(2)利用建立的模型计算,这种类型的甲虫1 min能爬行多远?它爬行49 cm需要多长时间?
【解析】(1)由题目表中数据可知,该数列从第2项起,每一项与前一项的差都是常数9.8,
所以是一个等差数列模型.
因为a1=9.8,d=9.8,
所以这种类型的甲虫的爬行距离s与时间t的关系式是s=9.8t.
(2)当t=1 min=60 s时,s=9.8t=9.8×60=588(cm).
当s=49 cm时t===5(s).