2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.5.2-等比数列习题课学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.5.2 等比数列习题课学案 新人教A版必修52021-2022版高中数学 第二章 数列 2.5.2 等比数列习题课学案 新人教A版必修5年级：姓名：第2课时等比数列习题课学习目标1.掌握等差数列与等比数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)2.能用错位相减法求数列的前n项和.(逻辑推理、数学运算)关键能力合作学习类型一等差数列、等比数列性质的应用(逻辑推理、数学运算)1.设Sn为正项等比数列an的前n项和,a5,3a3,a4成等差数列,则的值为()A.B.C.16D.172.等比数列an满足a3a5=4(a4-1),且a4,a6+1,a7成等差数列,则该数列的公比q为()A.B.-C.4D.23.已知数列an是各项均为正数的等比数列,a1=2,设其前n项和为Sn,若a1,a2+9,a3成等差数列,则S5=()A.682B.683C.684D.685【解析】1.选D.正项等比数列an的公比设为q,q0,a5,3a3,a4成等差数列,可得6a3=a5+a4,即6a1q2=a1q4+a1q3,化为q2+q-6=0,解得q=2(-3舍去),则=1+q4=1+16=17.2.选D.由a3a5=4(a4-1),得=4a4-4,即(a4-2)2=0,解得a4=2.又a4,a6+1,a7成等差数列,所以2(a6+1)=a4+a7,即2(2q2+1)=2+2q3,所以q=2.3.选A.数列an是各项均为正数的等比数列,a1=2,公比设为q,q0,由a1,a2+9,a3成等差数列,可得2(a2+9)=a1+a3,即2(2q+9)=2+2q2,解得q=4(-2舍去),则S5=682.等差、等比数列性质的综合应用(1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程,求解基本量a1,d,q,n等;(2)若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和,再明确该数列的基本量,然后计算.【补偿训练】1.已知等差数列an的公差不为零,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列,则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选C.设等差数列an的公差d不为零,S3,S9,S27成等比数列,可得=S3S27,即有(9a1+36d)2=(3a1+3d)(27a1+351d),化简得d=2a1,则=9.2.已知等比数列an的各项均为正数,且a1,a3,a2成等差数列,则q=()A.B.C.D.或【解析】选C.等比数列an的各项均为正数,即q0,由a1,a3,a2成等差数列,可得a3=a1+a2,即有a1q2=a1+a1q,即有q2-q-1=0,解得q=.3.已知等差数列an的首项和公差都不为0,a1,a2,a4成等比数列,则=()A.2B.3C.5D.7【解析】选C.由等差数列an的首项和公差d都不为0,a1,a2,a4成等比数列,可得=a1a4,即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化简得a1=d,则=5.类型二错位相减法求数列的前n项和(逻辑推理、数学运算、数学建模)【典例】已知等比数列an的公比q0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=,求数列bn的前n项和Tn.四步内容理解题意条件:(1)公比q0;(2)a2a3=8a1;(3)a4,36,2a6成等差数列;(4)bn=.结论:(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn的前n项和Tn.思路探求(1)利用a2a3=a1a4计算a4,进而计算a6,q,求通项.(2)利用错位相减法求前n项和.书写表达(1)因为a2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,又a4,36,2a6成等差数列,所以a4+2a6=72,所以a6=32,q2=4,又q0,所以q=2,所以an=82n-4=2n-1.(2) bn=n,Tn=1+2+3+(n-1)+n,Tn=1+2+3+(n-1)+n,两式相减得:Tn=+-n=-n,所以Tn=8-(n+2).题后反思本例在错位相减法求和时,两式相减后会得到一个等比数列,这个等比数列的基本量有哪些?利用哪个求和公式较为方便?关于错位相减法求和(1)适用范围:an是等差数列,bn是等比数列(q1),形如cn=anbn的数列适合利用错位相减法求和;(2)求和步骤对求和式Sn=c1+c2+cn-1+cn(i),要写出倒数第二项cn-1;式子的两边同乘以等比数列的公比q,写成qSn=c1q+c2q+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位书写,(i)(ii)式形成错位;(i)式-(ii)式,左边=(1-q)Sn,右边考查除了最后一项外的其他项,利用等比数列求和公式求和、整理;两边同除以1-q,整理得Sn.(2020全国卷)设是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.【解析】(1)设的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.因为a10,所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故的公比为-2.(2)设Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=-n(-2)n.所以Sn=-.类型三等比数列Sn与an的关系(逻辑推理、数学运算)角度1求Sn与an的关系【典例】已知正项等比数列an的前n项和为Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,则Sn与an的关系是()A.Sn=2an-1B.Sn=2an+1C.Sn=4an-3D.Sn=4an-1【思路导引】分别表示出Sn与an,再确定关系.【解析】选A.设等比数列的公比为q(q0),由a1=1,且-a3、a2、a4成等差数列,得2a2=a4-a3,即2q=q3-q2,得q=2.所以Sn=,则Sn=2an-1.本例中的等比数列an,若已知an=3n-1,则Sn与an的关系是什么?【解析】Sn=an-.角度2Sn与an的关系的应用【典例】数列an的前n项和为Sn,对任意正整数n,an+1=3Sn,则下列关于an的论断中正确的是()A.一定是等差数列B.可能是等差数列,但不会是等比数列C.一定是等比数列D.可能是等比数列,但不会是等差数列【思路导引】由Sn与an的关系,推导出an+1与an的关系,结合a1的取值进行判断.【解析】选B.an+1=3Sn,an=3Sn-1,故an+1-an=3an,即an+1=4an(n2),而n=1时,a2=3S1=3a1,可知该数列不是等比数列.当an=0时,数列an为等差数列.故本题正确答案为B.关于等比数列Sn与an的关系(1)Sn与an的关系可以由Sn=得到,一般已知a1,q即可得到二者之间的关系,也可以通过特殊项验证判断;(2)Sn-Sn-1=an(n2)是Sn与an之间的内在联系,既可以推出项an-1,an,an+1之间的关系,也可得到Sn-1,Sn,Sn+1之间的关系,体现了Sn与an关系的本质.1.设Sn为数列an的前n项和,a1=1,3Sn=an+1-1,nN*,若ak=1 024,则k=()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.Sn为数列an的前n项和,a1=1,3Sn=an+1-1,nN*,当n2时3Sn-1=an-1,-得3an=an+1-an,整理得=4(常数),当n=1时,3a1=a2-1,即=4,所以数列an是以1为首项,4为公比的等比数列.则an=14n-1=4n-1,由于ak=1 024,即:4k-1=1 024,解得:k=6.2.设首项为1,公比为的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an【解析】选D.Sn=3-2an.3.(2020徐州高一检测)记Sn为等差数列an的前n项和,满足Sn=2an+n(nN*).(1)证明数列an-1是等比数列,并求出通项公式an.(2)求数列nan的前n项和Tn.【解析】(1)由Sn=2an+n,当n=1时,S1=2a1+1,得a1=-1,当n2时,Sn-1=2an-1+(n-1),两式作差可得:an=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-1).所以数列an-1是以a1-1=-2为首项,以2为公比的等比数列,所以an-1=-22n-1=-2n,an=1-2n.(2)根据题意,Tn=1(1-2)+2(1-22)+n(1-2n)=1+2+n-(12+222+n2n)设An=12+222+22n,2An=122+223+n2n+1,两式作差化简得An=(n-1)2n+1+2,所以Tn=-(n-1)2n+1.课堂检测素养达标1.已知数列an为等差数列,且,2,成等比数列,则an前6项的和为()A.15B.C.6D.3【解析】选C.设数列an为公差为d的等差数列,且,2,成等比数列,可得4=,可得a1+a6=2,即有an前6项的和为6(a1+a6)=6.2.等比数列an中,满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,则数列an的公比为()A.1B.2C.-2D.4【解析】选B.等比数列an的公比设为q,满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,可得2(a2+1)=a1+a3,即为2(2q+1)=2+2q2,解得q=2(0舍去).3.记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.【解析】因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),所以an=2an-1,所以数列an是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1,所以S6=-63.答案:-634.(教材二次开发:练习改编)数列,的前10项的和S10=.【解析】S10=+,则S10=+.两式相减得,S10=+-=-,所以S10=.答案:5.求和:+.【解析】设Sn=+=+,则Sn=+.-,得Sn=+-=+-=+-=-=-,所以Sn=3-.【新情境新思维】对于数列an,定义数列an+1-an为数列an的“差数列”,若an的“差数列”是首项为,公比为的等比数列,若a1=1,则a2 020=.【解析】根据题意,an+1-an=,则a2 020=(a2 020-a2 019)+(a2 019-a2 018)+(a2-a1)+a1=+1=2-.答案:2-