2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.5.1-等比数列的前n项和学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.5.1 等比数列的前n项和学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.5.1 等比数列的前n项和学案 新人教A版必修5

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2.5　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学习
目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
2.掌握等比数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算)
3.会用等比数列的前n项和公式解决相关的问题.(数学运算、数学建模)
必备知识·自主学习
导思
1.类比等差数列前n项和公式,等比数列的前n项和是什么?如何推导?
2.结合等差数列的性质,等比数列的性质有哪些?
1.等比数列的前n项和公式
q=1
na1
q≠1
a1,q,n
Sn=
a1,q,an
Sn=

　对于等比数列的前n项和Sn==一定成立吗?
提示:不一定,当q=1时不成立.
2.等比数列前n项和的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)在等比数列中,若项数为2n(n∈N*),则=　q　. 
(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.

　等比数列前n项和公式Sn=(q≠1),是否可以写成Sn=Aan+B(AB≠0且A≠1)的形式?
提示:可以,A=-,B=.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=. (　　)
(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=. (　　)
(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0. (　　)
提示:(1)×.Sn=.
(2)×.Sn=(q≠1).
(3)×.Sn==.
2.等比数列{an}的前n项和Sn=3n+1+a,则a的值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.-3 C.-1 D.任意实数
【解析】选B.因为Sn=3n+1+a,
所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n.
n=1时,a1=S1=a+9.因为{an}为等比数列,
所以a+9=2×31,解得a=-3.
3.(教材二次开发:例题改编)等比数列{an}中,a1=1,q=2,则S5=　　　　. 
【解析】S5===31.
答案:31
关键能力·合作学习
类型一　等比数列前n项和公式的应用(逻辑推理、数学运算)

1.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a1=1,a2a3=-8,则S6= (　　)
A. B.-24 C.-21 D.11
2.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7(n∈Z),则f(n)等于 (　　)
A.(4n-1) B.(4n+1-1)
C.(4n+3-1) D.(4n+4-1)
3.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=　　　　. 
【解析】1.选C.设等比数列{an}公比为q,a1=1,a2a3=-8,
则a2a3=q3=q3=-8,解得q=-2,
所以S6==-21.
2.选D.依题意,f(n)可以看作以2为首项,4为公比的等比数列的前n+4项的和,
所以f(n)==(4n+4-1).
3.因为S3==6,S6==54,
所以=1+q3=9,
解得q3=8,则q=2,
所以=6,解得a1=.
答案:

等比数列前n项和的运算技巧
　(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.
(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.
(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.
【补偿训练】
1.(2020·南宁高一检测)设递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4=,3a4-10a3+3a2=0,则a4= (　　)
A.9 B.27 C.81 D.
【解析】选A.根据题意,设等比数列{an}的公比为q,若3a4-10a3+3a2=0,则3a2q2-10a2q+3a2=0,即3q2-10q+3=0,解得q=3或,
又由数列{an}为递增的等比数列,则q=3,
若S4=,则S4==40a1=,
解得a1=,则a4=a1q3=9.
2.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=　　　　. 
【解析】设等比数列的公比为q,
由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,
即q2+q+=0,解得q=-,
所以S4===.
答案:
3.等比数列{an}中a1=2,a4=16,则其前n项和Sn=　　　　. 
【解析】设数列{an}的公比为q,
因为a1=2,a4=16.
所以2q3=16,解得q=2,
所以Sn==2n+1-2.
答案:2n+1-2
类型二　等比数列前n项和公式的实际应用(数学建模、逻辑推理、数学运算)
【典例】王老师借贷10 000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.016≈1.062,1.015≈1.051)
四步
内容
理解题意
条件:(1)借贷10 000元;(2)月利率为1%;(3)复利计息借贷;(4)第二个月开始等额还贷;(5)6个月付清.
结论:每月应支付多少元.
思路探求
解决等额还贷问题关键要明白以下两点:
(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.
(2)还贷金额:从还贷之月起,每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列,首项是什么,公比或公差是多少.
书写表达
方法一:设每个月还贷a元,第1个月后欠款为a0元,以后第n个月还贷a元后,还剩下欠款an元(1≤n≤6),则a0=10 000,a1=1.01a0-a,a2=1.01a1-a=1.012a0-(1+1.01)a,…
a6=1.01a5-a=…=1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a.
由题意,可知a6=0,即1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a=0,a=.
因为1.016≈1.062,所以a≈≈1 713.
故每月应支付1 713元.
方法二:一方面,借款10 000元,将此借款以相同的条件存储6个月,则它的本利和为S1=104(1+0.01)6=104×(1.01)6(元).
另一方面,设每个月还贷a元,分6个月还清,到贷款还清时,其本利和为
S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a
==a(1.016-1)×102(元).
由S1=S2得a=.
以下解法同方法一,得a≈1 713,故每月应支付1 713元.
题后反思
本题关键是找到a1,公比q,转化为等比数列前n项和求解
　实际问题抽象为数学问题的方法策略
　　　抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.

　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗?
【解析】用an表示热气球在第n分钟上升的高度,
由题意,得an+1=an,
因此数列{an}是首项a1=25,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn=a1+a2+…+an===125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
【拓展延伸】
解答数列应用问题的方法
(1)判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数:等差数列;
②变化“率”是同一个常数:等比数列.
(2)提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,
列出方程(组)求解.
【拓展训练】
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里 (　　)　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,
所以an=192×=384×,
因为384×<30,
所以2n>12.8,经验证可得n≥4,
即从第4天开始,走的路程少于30里.
【补偿训练】
1.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,该女子第二天织布多少尺? (　　)
A. B. C.9 D.10
【解析】选B.等比数列{an}中, 公比q=2,S5=5,S5===(25-1)a1=5,
所以a1=,
所以a2=a1·q=×2=.
2.国家计划在某地区退耕还林6 370万亩,2020年年底已退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按12%递增.
试问从2020年年底,到哪一年年底该地区才能完成退耕还林计划?(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)
【解析】设从2020年年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1,a2,a3,…,an,….
则a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,…,an=515(1+12%)n,…,Sn=a1+a2+…+an=
=6 370-515⇒515×1.12×(1.12n-1)=5 855×0.12.
所以1.12n=2.22,所以n≈7.
故到2027年年底该地区才能完成退耕还林计划.
类型三　等比数列前n项和的性质及应用(逻辑推理、数学运算)
角度1　前n项和公式的函数特征 
【典例】已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则= (　　)
A. B.3 C.6 D.9
【思路导引】用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.
【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=·3n-1,
所以=1,λ=3且q=3,
又a1=S1=3·3n-1-1=2,
==9;
方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,
当n=1时,有a1=S1=λ-1,
有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,
a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,
则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,
解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,
则==9.

　将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=　　　　. 
【解析】数列{an}是等比数列,
①若q=1,显然Sn=3×2n+a,不成立.
②故数列{an}的公比q≠1,
所以Sn==- qn+,
故q=2,=-3,故a=-3.
所以S5=3×25-3=93.
答案:93
角度2　前n项和的性质 
【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= (　　)
A. B.- C.　 D.
【思路导引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.
【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,
S6-S3,S9-S6成等比数列,
又a7+a8+a9=S9-S6,
则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,
从而a7+a8+a9==.
方法二:因为S6=S3+S3q3,
所以q3==-,
所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8× =.
角度3　奇偶数项的前n项和问题 
【典例】等比数列{an}中,公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+…+a80=　　　　. 
【思路导引】利用=q,及S2n=S奇+S偶求解.
【解析】设S1=a2+a4+a6+…+a80,
S2=a1+a3+a5+…+a79.
则=q=3,即S1=3S2.
又S1+S2=S80=32,所以S1=32,
解得S1=24.
即a2+a4+a6+…+a80=24.
答案:24

1.等比数列前n项和公式的特征
数列{an}是非常数数列的等比数列
⇔Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N*).
即指数式的系数与常数项互为相反数,
其中A=.
2.在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时,常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n,则=q(S奇≠0);若项数为2n+1,则=q(S偶≠0).
3.若等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn(q≠-1).

1.等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　. 
【解析】根据题意得
所以
所以q===2.
答案:2
2.在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
【解析】因为{an}为等比数列,显然公比不等于-1,
所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,
所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),
所以S3n=+S2n=+60=63.
3.一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…
+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.
所以q===2.
又Sn=85+170=255,据Sn=,
得=255,
所以2n=256,所以n=8.
即公比q=2,项数n=8.
课堂检测·素养达标
1.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则= (　　)　　　　　　　　　
A.11 B.5 C.-8 D.-11
【解析】选D.由8a2+a5=0,得=q3=-8,q=-2,
所以===-11.
2.(教材二次开发:例题改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5= (　　)
A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3
【解析】选A.在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,
因为S10∶S5=1∶2,
所以S5=2S10,S15=S5,得S15∶S5=3∶4.
3.在公比为整数的等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,则这个数列的前8项之和S8=　　　　. 
【解析】a1+a4=a1(1+q3)=18,a2+a3=a1(q+q2)=12,
两式联立解得q=2或,而q为整数,
所以q=2,a1=2,代入公式求得S8==510.
答案:510
4.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项的和S15=　　　　. 
【解析】S3=1,S6-S3=-2,
所以S9-S6=4,S12-S9=-8,S15-S12=16,
所以S15=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)+(S15-S12)=1-2+4-8+16=11.
答案:11
5.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=3,求Sn.
【解析】(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0故2q2+q=0.
又q≠0从而q=-.
(2)由已知可得a1-a1=3,
故a1=4.
从而Sn==.
【新情境·新思维】
　设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+an+1=2n(n∈N*,n≥2),则S13= (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选D.由题意,因为a1=2,
n=2时,a2+a3=22,n=4时,a4+a5=24,
n=6时,a6+a7=26,n=8时,a8+a9=28,
n=10时,a10+a11=210,n=12时,a12+a13=212,
S13=2+22+24+26+28+210+212
=2+=.