2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.5.1-等比数列的前n项和学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.5.1 等比数列的前n项和学案 新人教A版必修52021-2022版高中数学 第二章 数列 2.5.1 等比数列的前n项和学案 新人教A版必修5年级：姓名：2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)2.掌握等比数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算)3.会用等比数列的前n项和公式解决相关的问题.(数学运算、数学建模)必备知识自主学习导思1.类比等差数列前n项和公式,等比数列的前n项和是什么?如何推导?2.结合等差数列的性质,等比数列的性质有哪些?1.等比数列的前n项和公式q=1na1q1a1,q,nSn=a1,q,anSn=对于等比数列的前n项和Sn=一定成立吗?提示:不一定,当q=1时不成立.2.等比数列前n项和的性质若数列an是公比为q的等比数列,则(1)在等比数列中,若项数为2n(nN*),则=q.(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.等比数列前n项和公式Sn=(q1),是否可以写成Sn=Aan+B(AB0且A1)的形式?提示:可以,A=-,B=.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=.()(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=.()(3)等比数列1,-1,1,-1,的前n项和等于0.()提示:(1).Sn=.(2).Sn=(q1).(3).Sn=.2.等比数列an的前n项和Sn=3n+1+a,则a的值为()A.3B.-3C.-1D.任意实数【解析】选B.因为Sn=3n+1+a,所以n2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=23n.n=1时,a1=S1=a+9.因为an为等比数列,所以a+9=231,解得a=-3.3.(教材二次开发:例题改编)等比数列an中,a1=1,q=2,则S5=.【解析】S5=31.答案:31关键能力合作学习类型一等比数列前n项和公式的应用(逻辑推理、数学运算)1.已知Sn为等比数列an的前n项和,a1=1,a2a3=-8,则S6=()A.B.-24C.-21D.112.设f(n)=2+23+25+27+22n+7(nZ),则f(n)等于()A.(4n-1)B.(4n+1-1)C.(4n+3-1)D.(4n+4-1)3.设Sn是等比数列an的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=.【解析】1.选C.设等比数列an公比为q,a1=1,a2a3=-8,则a2a3=q3=q3=-8,解得q=-2,所以S6=-21.2.选D.依题意,f(n)可以看作以2为首项,4为公比的等比数列的前n+4项的和,所以f(n)=(4n+4-1).3.因为S3=6,S6=54,所以=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,所以=6,解得a1=.答案:等比数列前n项和的运算技巧(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.【补偿训练】1.(2020南宁高一检测)设递增的等比数列an的前n项和为Sn,已知S4=,3a4-10a3+3a2=0,则a4=()A.9B.27C.81D.【解析】选A.根据题意,设等比数列an的公比为q,若3a4-10a3+3a2=0,则3a2q2-10a2q+3a2=0,即3q2-10q+3=0,解得q=3或,又由数列an为递增的等比数列,则q=3,若S4=,则S4=40a1=,解得a1=,则a4=a1q3=9.2.(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=.【解析】设等比数列的公比为q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,解得q=-,所以S4=.答案:3.等比数列an中a1=2,a4=16,则其前n项和Sn=.【解析】设数列an的公比为q,因为a1=2,a4=16.所以2q3=16,解得q=2,所以Sn=2n+1-2.答案:2n+1-2类型二等比数列前n项和公式的实际应用(数学建模、逻辑推理、数学运算)【典例】王老师借贷10 000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.0161.062,1.0151.051)四步内容理解题意条件:(1)借贷10 000元;(2)月利率为1%;(3)复利计息借贷;(4)第二个月开始等额还贷;(5)6个月付清.结论:每月应支付多少元.思路探求解决等额还贷问题关键要明白以下两点:(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.(2)还贷金额:从还贷之月起,每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列,首项是什么,公比或公差是多少.书写表达方法一:设每个月还贷a元,第1个月后欠款为a0元,以后第n个月还贷a元后,还剩下欠款an元(1n6),则a0=10 000,a1=1.01a0-a,a2=1.01a1-a=1.012a0-(1+1.01)a,a6=1.01a5-a=1.016a0-(1+1.01+1.015)a.由题意,可知a6=0,即1.016a0-(1+1.01+1.015)a=0,a=.因为1.0161.062,所以a1 713.故每月应支付1 713元.方法二:一方面,借款10 000元,将此借款以相同的条件存储6个月,则它的本利和为S1=104(1+0.01)6=104(1.01)6(元).另一方面,设每个月还贷a元,分6个月还清,到贷款还清时,其本利和为S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+a=a(1.016-1)102(元).由S1=S2得a=.以下解法同方法一,得a1 713,故每月应支付1 713元.题后反思本题关键是找到a1,公比q,转化为等比数列前n项和求解实际问题抽象为数学问题的方法策略抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗?【解析】用an表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,得an+1=an,因此数列an是首项a1=25,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn=a1+a2+an=125125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.【拓展延伸】解答数列应用问题的方法(1)判断、建立数列模型变化“量”是同一个常数:等差数列;变化“率”是同一个常数:等比数列.(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,列出方程(组)求解.【拓展训练】中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,所以an=192=384,因为38412.8,经验证可得n4,即从第4天开始,走的路程少于30里.【补偿训练】1.古代数学著作九章算术有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,该女子第二天织布多少尺?()A.B.C.9D.10【解析】选B.等比数列an中, 公比q=2,S5=5,S5=(25-1)a1=5,所以a1=,所以a2=a1q=2=.2.国家计划在某地区退耕还林6 370万亩,2020年年底已退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按12%递增.试问从2020年年底,到哪一年年底该地区才能完成退耕还林计划?(1.1282.476,1.1272.211)(精确到年)【解析】设从2020年年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1,a2,a3,an,.则a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,an=515(1+12%)n,Sn=a1+a2+an=6 370-5155151.12(1.12n-1)=5 8550.12.所以1.12n=2.22,所以n7.故到2027年年底该地区才能完成退耕还林计划.类型三等比数列前n项和的性质及应用(逻辑推理、数学运算)角度1前n项和公式的函数特征【典例】已知等比数列an的前n项和Sn=3n-1-1(R),则=()A.B.3C.6D.9【思路导引】用前n项和公式的结构特征求出及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求及公比,再利用Sn的表达式计算.【解析】选D.方法一:Sn=3n-1-1=3n-1,所以=1,=3且q=3,又a1=S1=33n-1-1=2,=9;方法二:等比数列an满足Sn=3n-1-1,当n=1时,有a1=S1=-1,有a2=S2-S1=(3-1)-(-1)=2,a3=S3-S2=(9-1)-(3-1)=6,则有6(-1)=(2)2,解可得=3或0(舍),首项a1=2,则=9.将本例中的条件变为“Sn=32n+a”,则S5=.【解析】数列an是等比数列,若q=1,显然Sn=32n+a,不成立.故数列an的公比q1,所以Sn=- qn+,故q=2,=-3,故a=-3.所以S5=325-3=93.答案:93角度2前n项和的性质【典例】设等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=()A.B.-C.D.【思路导引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又a7+a8+a9=S9-S6,则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,从而a7+a8+a9=.方法二:因为S6=S3+S3q3,所以q3=-,所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8 =.角度3奇偶数项的前n项和问题【典例】等比数列an中,公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+a80=.【思路导引】利用=q,及S2n=S奇+S偶求解.【解析】设S1=a2+a4+a6+a80,S2=a1+a3+a5+a79.则=q=3,即S1=3S2.又S1+S2=S80=32,所以S1=32,解得S1=24.即a2+a4+a6+a80=24.答案:241.等比数列前n项和公式的特征数列an是非常数数列的等比数列Sn=-Aqn+A(A0,q0,1,nN*).即指数式的系数与常数项互为相反数,其中A=.2.在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时,常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n,则=q(S奇0);若项数为2n+1,则=q(S偶0).3.若等比数列前n项和为Sn(且Sn0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn(q-1).1.等比数列an共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.【解析】根据题意得所以所以q=2.答案:22.在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.【解析】因为an为等比数列,显然公比不等于-1,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以S3n=+S2n=+60=63.3.一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.【解析】因为S偶=a2+a4+a2n=a1q+a3q+a2n-1q=(a1+a3+a2n-1)q=S奇q.所以q=2.又Sn=85+170=255,据Sn=,得=255,所以2n=256,所以n=8.即公比q=2,项数n=8.课堂检测素养达标1.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则=()A.11B.5C.-8D.-11【解析】选D.由8a2+a5=0,得=q3=-8,q=-2,所以=-11.2.(教材二次开发:例题改编)设等比数列an的前n项和为Sn,若S10S5=12,则S15S5=()A.34B.23C.12D.13【解析】选A.在等比数列an中,S5,S10-S5,S15-S10,成等比数列,因为S10S5=12,所以S5=2S10,S15=S5,得S15S5=34.3.在公比为整数的等比数列an中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,则这个数列的前8项之和S8=.【解析】a1+a4=a1(1+q3)=18,a2+a3=a1(q+q2)=12,两式联立解得q=2或,而q为整数,所以q=2,a1=2,代入公式求得S8=510.答案:5104.在等比数列an中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项的和S15=.【解析】S3=1,S6-S3=-2,所以S9-S6=4,S12-S9=-8,S15-S12=16,所以S15=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)+(S15-S12)=1-2+4-8+16=11.答案:115.等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求an的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.【解析】(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a10故2q2+q=0.又q0从而q=-.(2)由已知可得a1-a1=3,故a1=4.从而Sn=.【新情境新思维】设数列an的前n项和为Sn,且a1=2,an+an+1=2n(nN*,n2),则S13=()A.B.C.D.【解析】选D.由题意,因为a1=2,n=2时,a2+a3=22,n=4时,a4+a5=24,n=6时,a6+a7=26,n=8时,a8+a9=28,n=10时,a10+a11=210,n=12时,a12+a13=212,S13=2+22+24+26+28+210+212=2+=.