2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.3.1-等差数列的前n项和学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.3.1 等差数列的前n项和学案 新人教A版必修52021-2022版高中数学 第二章 数列 2.3.1 等差数列的前n项和学案 新人教A版必修5年级：姓名：2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和必备知识自主学习导思1.数列前n项和的定义是什么?2.等差数列前n项和公式是什么?1.数列的前n项和(1)定义:对于数列an,一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和.(2)表示:常用符号Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an.由Sn=a1+a2+an想一想,a1,an,Sn,Sn-1之间是什么关系?提示:S1=a1,当n2时,an=Sn-Sn-1.2.等差数列前n项和公式(1)两个公式及应用条件.公式结构适用条件公式一Sn=知首项、末项、项数公式二Sn=na1+d知首项、公差、项数 (2)应用:求等差数列的前n项和;为求复杂数列的前n项和奠定基础;解决实际问题.对于公式二,若将Sn看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?提示:公式二可变形为Sn=n2+n,当d0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)对于an=Sn-Sn-1成立的条件是nN*.()(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.()(3)若数列an的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S5-S2.()(4)1+3+5+7+9=.()提示:(1).n1且nN*.(2).等差数列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=的特征,可用倒序相加法.(3).由数列的前n项和的定义可知此说法正确.(4).1+3+5+7+9=.2.(教材二次开发:练习改编)已知等差数列an满足a1=1,n=50,d=2,则其前n项和Sn等于()A.2 300B.2 400C.2 600D.2 500【解析】选D.S50=501+2=2 500.3.设an是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列an的前8项和为()A.128B.80C.64D.56【解析】选C.设数列an的前n项和为Sn,则S8=64.关键能力合作学习类型一有关等差数列的前n项和的计算(数学运算)【典例】1.(2020全国卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.2.根据下列条件,求相应等差数列an的有关未知数:(1)a1=1,a3+a5=14,Sn=100,求d及n;(2)S8=48,S12=168,求a1和d.【思路导引】1.根据等差数列的通项公式,解方程,求出首项和公差,然后用等差数列的前n项和公式计算;2.(1)先由a1=1,a3+a5=14,求公差,再根据Sn=100求n;(2)列方程组求首项和公差.【解析】1.设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:an=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,nN*,可得:S10=10+=-20+45=25,所以S10=25.答案:252.(1)a1=1,a3+a5=2a1+6d=14,所以d=2,所以Sn=n+2=100.所以n=10.(2)在等差数列an中,S8=8a1+87d=48,所以2a1+7d=12,S12=12a1+1211d=168,所以2a1+11d=28,解方程组得a1=-8,d=4.等差数列前n项和公式的运算方法与技巧类型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn方法运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量思想方程的思想注意利用等差数列的性质简化计算;注意已知与未知条件的联系;有时运用整体代换的思想1.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2n【解析】选A.由题知,解得所以an=2n-5,故选A.2.已知等差数列an中,(1)a1=,S4=20,求S6.(2)a1=,d=-,Sn=-15,求n及an.(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.【解析】(1)S4=4a1+d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+d=6a1+15d=3+15d=48.(2)因为Sn=n+=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12=+(12-1)=-4.(3)由Sn=-1 022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.【补偿训练】在等差数列an中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10.(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.【解析】(1)方法一:由已知条件得解得所以S10=10a1+d=103+4=210.方法二:由已知条件得所以a1+a10=42,所以S10=542=210.(2)S7=7a4=42,所以a4=6.所以Sn=510.所以n=20.类型二等差数列前n项和的性质(数学运算、逻辑推理)角度1关于通项公式的性质的应用【典例】(2020汕尾高二检测)记等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则=.【思路导引】结合等差数列的性质,寻找a12,a1+a23,S23三者之间的联系.【解析】因为=,则=.答案:将本例条件“”改为“”,求+的值.【解析】因为数列an和bn都是等差数列,所以+=.角度2有关奇数项和、偶数项和的问题【典例】在项数为2n+1的等差数列an中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于()A.9B.10C.11D.12【思路导引】综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与n的关系.【解析】选B.因为等差数列有2n+1项,所以S奇=,S偶=.又a1+a2n+1=a2+a2n,所以=,所以n=10.角度3构造新等差数列【典例】已知等差数列an的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试求S110.【思路导引】方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列解答;方法二:依据数列是等差数列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.【解析】方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10100+d=10,所以d=-22,所以前11项的和S110=11100+d=11100+(-22)=-110.方法二:设等差数列an的公差为d,则=(n-1)+a1,所以数列成等差数列.所以=,即=,所以S110=-110.方法三:设等差数列an的公差为d,S110=a1+a2+a10+a11+a12+a110=(a1+a2+a10)+(a1+10d)+(a2+10d)+(a100+10d)=S10+S100+10010d,又S100-10S10=d-d=10-10100,即100d=-22,所以S110=-110.等差数列前n项和的性质 (1)等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.(2)若an与bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Sn,则=.(3)若等差数列an的前n项和为Sn,则数列是等差数列,且首项为a1,公差为.(4)项的个数的“奇偶”性质.an为等差数列,公差为d.若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;=;若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1;=(5)等差数列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).(6)等差数列an中,若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0.1.在等差数列an中,a1=-2 018,其前n项和为Sn,若-=5,则S2 020=()A.0B.2 018C.-2 019D.2 020【解析】选D.在等差数列an中,其前n项和为Sn,所以数列是等差数列,设其公差为d,则5d=-,所以d=1,又a1=-2 018,所以=+2 0191=1,所以S2 020=2 020.2.设Sn是等差数列an的前n项和,若=,则等于()A.B.C.D.【解析】选A.设S4=m(m0),则S8=3m,所以S8-S4=2m,由等差数列的性质知,S12-S8=3m,S16-S12=4m,所以S16=10m,故=.3.(1)一个等差数列共2 019项,求它的奇数项和与偶数项和之比.(2)一个等差数列前20项和为75,其中的奇数项和与偶数项和之比为12,求公差d.【解析】(1)等差数列an共有1 010个奇数项,1 009个偶数项,所以S奇=,S偶=.因为a1+a2 019=a2+a2 018,所以=.(2)前20项中,奇数项和S奇=75=25,偶数项和S偶=75=50,又S偶-S奇=10d,所以d=2.5.【补偿训练】1.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.由等差数列的性质可得:=7+.只有n=1,2,3,5,11时,为整数,可得使为整数的正整数n的个数是5.2.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是()A.130B.170C.210D.260【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.类型三等差数列前n项和的最值(数学运算)【典例】(2020榆林高二检测)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a3=-6,S7=-28.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.【思路导引】(1)列关于a1与d的方程组,求a1与d,写出其通项公式;(2)方法一:分析an从哪项开始符号发生改变,下结论;方法二:根据等差数列的前n项和是关于n的二次函数,利用二次函数的性质求最值.【解析】(1)设an的公差为d,由题意得解得a1=-10,d=2.所以an的通项公式为an=2n-12.(2)方法一:由(1)得,当n6时,an6时,an0.所以当n=5或n=6时,Sn取得最小值,最小值为S5=S6=5(-10)+2=-30.方法二:由(1)得Sn=n2-11n=(n-5.5)2-,因为nN*,所以当n=5或n=6时,Sn取得最小值,最小值为-30.等差数列前n项和最值的两种求法(1)符号转折点法.当a10,d0时,由不等式组可求得Sn取最大值时的n值.当a10时,由不等式组可求得Sn取最小值时的n值.(2)利用二次函数求Sn的最值.知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a0)的形式,我们可将其变形为Sn=a-.若a0,则当最小时,Sn有最小值;若a0,S200,S210,S210,并且a110,所以数列an的前10项和最大.2.在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得2517+(17-1)d=259+(9-1)d,解得d=-2.所以Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169.所以由二次函数的性质,得当n=13时,Sn有最大值169.方法二:由方法一,得d=-2.因为a1=250,由得所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=1325+(-2)=169.方法三:由S17=S9,得a10+a11+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.由方法一,得d=-20,所以a130,a140,a2+a2 018=0,则S2 019=;当Sn取得最大值时,n=.【解析】因为a2+a2 018=a1+a2 019=0,所以S2 019=0.因为a10,a1+a2 019=2a1+2 018d=0,所以a1+1 009d=0,所以a1 010=0,所以当Sn取得最大值时,n=1 009或1 010.答案:01 009或1 0102.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.【解析】(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.又a1=-7,所以d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)方法一:(二次函数法)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16,所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.方法二:(通项变号法)由(1)知an=2n-9,则Sn=n2-8n.由Sn最小即所以n,又nN*,所以n=4,此时Sn的最小值为S4=-16.课堂检测素养达标1.在等差数列an中,若S10=4S5,则等于()A.B.2C.D.4【解析】选A.由题意得10a1+109d=45a1+54d,所以10a1+45d=20a1+40d,所以10a1=5d,所以=.2.已知数列an的前n项和公式是Sn=2n2+3n,则()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为4的等差数列D.不是等差数列【解析】选A.因为Sn=2n2+3n,所以=2n+3,当n2时,-=2n+3-2(n-1)-3=2,故是公差为2的等差数列.3.(教材二次开发:练习改编)已知等差数列an中,a1=3,d=4,an=39,则Sn=.【解析】因为an=a1+(n-1)d,a1=3,d=4,an=39,所以39=3+4(n-1),解得n=10,所以S10=210.答案:2104.已知等差数列an中,|a5|=|a9|,公差d0,则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是.【解析】由|a5|=|a9|且d0得,a50且a5+a9=02a1+12d=0a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且最小.答案:6或75.在等差数列an中,(1)已知a6=10,S5=5,求a8;(2)已知a2+a4=,求S5.【解析】(1)方法一:因为a6=10,S5=5,所以解得所以a8=a6+2d=16.方法二:因为S6=S5+a6=15,所以15=,即3(a1+10)=15.所以a1=-5,d=3.所以a8=a6+2d=16.(2)方法一:因为a2+a4=a1+d+a1+3d=,所以a1+2d=.所以S5=5a1+10d=5(a1+2d)=5=24.方法二:因为a2+a4=a1+a5,所以a1+a5=,所以S5=24.