2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.2.1-等差数列学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列学案 新人教A版必修5

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2.2　等 差 数 列
第1课时　等差数列
学习
目标
1.理解等差数列的概念.(数学抽象)
2.理解等差中项的概念.(数学抽象)
3.掌握等差数列的通项公式及应用.(数学抽象、数学运算)
4.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.(逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.等差数列的定义是什么?
2.等差中项的含义是什么?
3.等差数列的通项公式是什么?
1.等差数列
(1)定义.
条件
一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数
结论
这个数列就叫做等差数列
有关
概念
这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示
(2)作用:①证明一个数列是否是等差数列;②推出等差数列的通项公式和性质.

　(1)为什么强调“从第2项起”?
提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;
②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.
(2)如何理解“每一项与它的前一项的差”?
提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
2.等差中项
(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.
(2)结论:A叫做a与b的等差中项.
(3)满足的关系式:A= 　. 
3.等差数列的表示
前提
等差数列{an},首项是a1,公差为d
通项公式
an=a1+(n-1)d(n∈N*)
递推公式
an+1-an=d(n∈N*)

　等差数列an=pn+q(n∈N*)的图象与一次型函数y=px+q的图象有什么关系?
提示:等差数列an=pn+q的图象是一次型函数y=px+q图象中横坐标为正整数点的集合.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列. (　　)
(2)常数列也是等差数列. (　　)
(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项. (　　)
(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列. (　　)
提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.
(2)√.因为从第2项起每一项与它的前一项的差是同一个常数0.
(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.
(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.
2.下列数列是等差数列的是 (　　)
A.,,, B.1,,,
C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0
【解析】选D.因为-≠-,故排除A;因为-1≠-,故排除B;
因为-1-1≠1-(-1),故排除C.
3.(教材二次开发:例题改编)等差数列1,-3,-7,…的通项公式为　　　　,a20=　　　　. 
【解析】因为d=-3-1=-4,a1=1,
所以an=1-4(n-1)=-4n+5.
所以a20=-80+5=-75.
答案:an=-4n+5　-75
关键能力·合作学习
类型一　等差数列的定义及应用(数学抽象)
【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,则a1=　　　　. 
2.数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,bn=an+1-an.
证明:{bn}是等差数列.
【思路导引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项求第一项;
2.依据等差数列的定义,由题目条件推导bn+1-bn为常数.
【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N*,
所以数列{an}是等差数列,其公差为2,
因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.
答案:-1
2.由an+2=2an+1-an+2,得an+2-an+1=an+1-an+2,
即bn+1=bn+2.所以bn+1-bn=2,
又b1=a2-a1=1,
所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.

　将本例2的条件“a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,bn=an+1-an.”改为“a1=,anan-1=an-1-an(n≥2),bn=”如何解答?
【解析】因为anan-1=an-1-an(n≥2),
所以-=1(n≥2),又因为bn=,
所以bn+1-bn=1(n∈N*)且b1==2.
所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.

　定义法判定数列{an}是等差数列的步骤
(1)作差an+1-an;
(2)对差式进行变形;
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.

1.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}是 (　　)
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.公差为-的等差数列
D.不是等差数列
【解析】选B.由3an+1=3an+1得3an+1-3an=1,
即an+1-an=.
所以数列{an}是公差为的等差数列.
2.若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列.
【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,
所以an+1=10+(n+1)lg2.
所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)
=lg2(n∈N*).所以数列{an}为等差数列.
　　　【补偿训练】
　　1.以下选项中构不成等差数列的是 (　　)
A.2,2,2,2
B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a
C.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3
D.a-1,a+1,a+3
【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.
2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),bn=(n∈N*).
求证:数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.
【证明】方法一:因为=,
所以=+3,所以-=3,
又因为bn=(n∈N*),所以bn+1-bn=3(n∈N*),且b1==.
所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.
方法二:因为bn=,且an+1=
所以bn+1===+3=bn+3,
所以bn+1-bn=3(n∈N*),b1==.
所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.
类型二　等差中项及应用(数学运算、逻辑推理)
　角度1　计算问题 
【典例】在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
【思路导引】等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
【解析】因为-1,a,b,c,7成等差数列,
所以b是-1与7的等差中项,所以b==3.
又a是-1与3的等差中项,所以a==1.
又c是3与7的等差中项,所以c==5.
所以该数列为-1,1,3,5,7.

　将本例条件改为“在1与10之间顺次插入两个数x,y,使这四个数成等差数列”,求此数列.
【解析】由已知,x是1和y的等差中项即2x=1+y①,y是x和10的等差中项,即2y=x+10②,
由①②可解得x=4,y=7.
所以此数列为1,4,7,10.
　角度2　证明等差数列 
【典例】已知,,成等差数列,证明,,成等差数列.
【思路导引】由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.
【证明】因为,,成等差数列,
所以=+,化简得2ac=b(a+c),
又+======2·,
所以,,成等差数列.

1.等差中项的应用策略
(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.
(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N*,m<n).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),则可判定数列{an}是等差数列.

1.已知a=,b=,则a,b的等差中项为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.a,b的等差中项为×=×(-++)=.
2.已知,,成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.
【证明】由已知,,成等差数列,
可得=+,所以=,
所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),
所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.
　　　【补偿训练】
　　1.各项均不为零的等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.
所以a=,b=x.
所以=.
2.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.
【解析】由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.
又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.
两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.
所以m和n的等差中项为=3.
类型三　等差数列的通项公式及应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7.
(1)求数列的第10项;
(2)问112是数列{an}的第几项?
(3)在80到110之间有多少项?
四步
内容
理解
题意
条件:①数列{an}是等差数列;
②a1+a5=8,a4=7.
结论:求数列的第10项;112是数列{an}的第几项?在80到110之间有多少项?
思路
探求
列关于a1和d的方程组求a1,d.根据a10=a1+9d求a10,由an=112求n,由80<an<110求n.
书写
表达
设{an}的公差为d,则①
解得
(1)a10=a1+9d=-2+27=25.
(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,
由112=3n-5,解得n=39.②
所以112是数列{an}的第39项.
(3)由80<3n-5<110③,
解得28<n<38,
所以n的取值为29,30,…,38共10项.
注意书写的规范性:
①列出关于首项a1和公差d的方程组;
②解方程求n,即可确定项数;
③解不等式确定n的取值,即可确定有多少项
题后
反思
等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示,解答等差数列的计算问题,求这两个基本量是解题的关键

　等差数列通项公式的四个主要应用
(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.

1.如果数列是等差数列,且a1=1,a3=-,那么a2 020= (　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选B.设等差数列的公差为d,且a1=1,a3=-,所以=1,=3,所以3=1+2d,解得d=1.
所以=1+n-1=n,所以an=-1.
那么a2 020=-1=-.
2.已知{an}为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式:
(1)a3=5,a7=13;
(2)前三项为a,2a-1,3-a.
【解析】(1)设首项为a1,公差为d,
则解得
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由等差中项公式得2×(2a-1)=a+(3-a),
解得a=,所以等差数列首项为,
公差为2a-1-a=a-1=-1=,
所以an=+(n-1)×=+1.
　　　【补偿训练】
　　等差数列{an}中,已知a3=10,a12=31.
(1)求a1,d及通项公式an;
(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?
【解析】(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,
得解得
所以an=+(n-1)=n+3.
(2)由an=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;
由an= n+3=85,得n=∉N*,
故85不是数列中的项.
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1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列 (　　)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n≥2),
所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),
所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.
2.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为 (　　)
A.1 B.6 C.5 D.-3
【解析】选D.由x1+x2=-6,
所以x1,x2的等差中项是=-3.
3.已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的 (　　)
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
【解析】选D.等差数列2,5,8,11,…的首项为2,公差为3,
所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.
令3n-1=23,所以n=8.
4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),则此数列的通项公式an=　　　　. 
【解析】因为an+1-an+1=0(n∈N*),即an+1-an=-1,
所以数列{an}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,
所以an=2-(n-1)=3-n.
答案:3-n
5.(教材二次开发:习题改编)在等差数列{an}中,
(1)已知a5=15,a17=39,求an;
(2)若a2=11,a8=5,求a10.
【解析】(1)因为解得
所以an=7+2(n-1)=2n+5.
(2)设{an}的公差为d,则
解得
所以an=12+(n-1)×(-1)=13-n,
所以a10=13-10=3.