高中数学-第二章-数列-2.5-等比数列的前n项和导学案-新人教A版必修5.docx

高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和导学案 新人教A版必修5

高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和导学案 新人教A版必修5

年级：
姓名：

2.5等比数列的前n项和(一)
【教学目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.5等比数列的前n项和(一)》课件“情景导入”部分，通过互相交流，让学生在感受生动有趣的历史故事的同时对等比数列的求和及求和公式有形象的认识.
二、自主学习
教材整理　等比数列的前n项和
阅读教材P55～P57第12行，完成下列问题．
等比数列的前n项和公式

三、合作探究化
问题1　对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
提示：比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝＝264－1.
探究点1　等比数列前n项和公式的应用
命题角度1　前n项和公式的直接应用
例1　求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
提示：　(1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，
可得＝27·q8.
又由q<0，
可得q＝－.
所以S8＝＝.
名师点评：比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．
命题角度2　通项公式、前n项和公式的综合应用
例2　在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
提示：由题意，得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
名师点评：
(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．
探究点2　等比数列前n项和的实际应用
例3　借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精确到整数)
提示：方法一　设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6，n∈N*)，
则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
a＝.
因为1.016≈1.061，
所以a≈≈1739(元)．
故每月应支付1739元．
方法二　一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，
则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6
＝104×(1.01)6(元)，
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝
＝a[1.016－1]×102(元)．
由S1＝S2，
得a＝≈1739(元)．
故每月应支付1739元．
名师点评：　解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
四、当堂检测
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　)
A. B.
C. D.
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　)
A．2 B．4 C. D.
3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　)
A．179 B．211 C．243 D．275
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
提示：1．C　2.C　3.B　4.11a(1.15－1)
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．
六、课例点评
本着新课改的教学理念，考虑到学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步了解“数学来源于生活”，创设问题情境，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲．教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究，展示学生解决问题的方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦．通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性．