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2021-2022学年高中数学 第一章 数列 3.2.1 等比数列的前n项和学案北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第一章 数列 3.2.1 等比数列的前n项和学案北师大版必修5

年级：
姓名：

3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和　
　　　　　　　　　学
习
目
标
1.掌握等比数列前n项和公式及其应用(数学抽象)
2.会用错位相减法求数列的和(数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.等比数列的前n项和公式中涉及哪些量?
2.当等比数列的公比q≠1时,其前n项和公式可化为Sn=-Aqn+A的形式,其中的A是什么?
等比数列的前n项和公式

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)1+x+x2+x3+x4+…+xn=. (　　)
(2)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sn=a1+qSn-1. (　　)
(3)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n一定也成等比数列. (　　)
提示:(1)×.当x=1时,
1+x+x2+x3+x4+…+xn=n.
(2)√.
Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)
=a1+qSn-1.
(3)×.当q=-1时Sn可能为0.
2.等比数列{an}的首项a1=1,公比q=2,则S6= (　　)　　　　　　 　　　　　　
A.-63 B.31 C.-31 D.63
【解析】选D.S6==26-1=64-1=63.
3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列,则a的值为 (　　)
A.0 B.1 C.-1 D.2
【解析】选C.因为an=
要使数列{an}成等比数列,则3+a=2·31-1=2,即a=-1.
4.(教材二次开发:习题改编)等比数列{an}的前n项和Sn=k·3n+1,则k的值为 (　　)
A.全体实数 B.-1
C.1 D.3
【解析】选B.当n=1时,a1=S1=3k+1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=k·3n-k·3n-1=2k·3n-1.令3k+1=2k得k=-1.
关键能力·合作学习
类型一　等比数列前n项和的基本计算(数学运算)

1.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=　　　　. 
【解析】设{an}的首项为a1,公比为q,则
解得所以a8=×27=25=32.
答案:32
2.设Sn是等比数列的前n项和,且满足3S9=7S6,mS6=nS3,则=　　　 
【解析】设等比数列的公比为q,
若q=1,则3S9=27a1,7S6=42a1,3S9=7S6,
则a1=0,显然不成立;故q≠1,
因为3S9=7S6,mS6=nS3,
所以3×=7×,
m=n,
所以3(1+q3+q6)=7(1+q3),
解得q3=2或-.
所以=1+q3=3或.
答案:3或
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=　　　　. 
【解析】因为a1=2,an+1=2an,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,又因为Sn=126,所以=126,
所以n=6.
答案:6
4.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式.
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,
则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.

　等比数列前n项和的运算技巧
(1)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
(2)在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,在条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q列方程组求解.
特别提醒:等比数列的公比q一定不为0.
【补偿训练】
已知数列{an}中,a1,a2,a3,…,an,…构成一个新数列:a1,(a2-a1),…,(an-an-1),…,此数列是首项为1,公比为的等比数列.
(1)求数列{an}的通项.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+++…+
=.
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an
=++…
+
=
=n-
=(2n-1)+.
类型二　等比数列前n项和的性质(逻辑推理)
【典例】(1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.80 B.30 C.26 D.16
(2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公比为　　　　　,项数为　　　　. 
(3)若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=3n-1+t,则t=　　　　. 
【思路导引】(1)应用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列求解;
(2)根据所给等式列方程组求解;
(3)利用a1,a2,a3是等比数列求解.
【解析】(1)选B.由题意知:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,设公比为q,则S3n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)=2×(1+q+q2)=14,解得q=2,所以S4n-S3n=2q3=2×8=16,S4n=S3n+(S4n-S3n)=14+16=30.
(2)设数列为{an},其公比为q,项数为2n,则奇数项,偶数项分别组成以q2为公比的等比数列,又a1=1,a2=q,q≠1,
所以
由②÷①,得q=2,所以=85,4n=256,
故得n=4,故项数为8.
答案:2　8
(3)由题目条件Sn=3n-1+t得a1=S1=1+t,
a2=S2-S1=2,a3=S3-S2=6,
因为{an}是等比数列,故=a1a3,即4=6(1+t),
解得t=-,经验证,当t=-时,{an}是等比数列.
答案:-

　等比数列前n项和性质的应用技巧
(1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时,常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n,则=q(S奇≠0);若项数为2n+1,则=q(S偶≠0).
(2)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn(q≠-1).
(3)等比数列{an}的公比为q,则Sn+m=Sn+qnSm.
(4)若Sn表示数列{an}的前n项和,且Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0且q≠1),则数列{an}是等比数列.

　已知等比数列{an}的前n项和满足Sn=1-A·3n,数列{bn}是递增数列,且bn=An2+Bn,则A=　　　　,B的取值范围为　　　　. 
【解析】因为任意一个公比不为1的等比数列前n项和Sn==-qn,而等比数列{an}的前n项和满足Sn=1-A·3n,
所以A=1,于是bn=n2+Bn,
又因为数列{bn}是递增数列,
所以bn+1-bn=(n+1)2+B(n+1)-n2-Bn
=2n+1+B>0恒成立,
所以B>-(2n+1)恒成立,
所以B>-3,即B的取值范围为(-3,+∞).
答案:1　(-3,+∞)
类型三　错位相减法(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=an·3n,求数列{bn}的前n项和.
【思路导引】通过错位相减方式把数列变为等比数列的求和问题.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
则a1+a2+a3=3a1+3d=12,
又a1=2,
所以d=2,所以an=2n.
(2)由bn=an·3n=2n·3n,得
Sn=2·3+4·32+…+(2n-2)·3n-1+2n·3n,①
3Sn=2·32+4·33+…+(2n-2)·3n+2n·3n+1.②
①-②得-2Sn=2(3+32+33+…+3n)-2n·3n+1
=3(3n-1)-2n·3n+1,所以Sn=+n·3n+1.

1.错位相减法求和的适用范围
错位相减法求和主要适用于:如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为q(q≠1),求数列{an·bn}的前n项和.
2.错位相减法求和的注意事项
(1)利用错位相减法时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意两式的对齐方式,以便于相减,正确写出(1-q)Sn的表达式.
(2)利用错位相减法时要注意讨论公比q是否等于1.

　在等差数列{an}中,a3=4,a7=8.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为d==1,
所以an=a3+(n-3)d=n+1.
(2)bn==,
Tn=b1+b2+…+bn=2+++…+.①
Tn=++…++,②

由①-②得Tn=2+++…+-
=+1-
=+1-=2+1-
=3-,所以Tn=6-.
课堂检测·素养达标
1.(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3= (　　)　　　　　　 　　　　　　
A.16 B.8 C.4 D.2
【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,
由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,
因为a1>0且q>0,
则可解得q=2,
又因为a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.
2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,
则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5===.
3.(教材二次开发:习题改编)在等比数列{an}中,S3=,S6=,则an=　　　　. 
【解析】因为S6≠2S3,所以q≠1,又S3=,S6=,
所以
②÷①得1+q3=9,所以q=2.将q=2代入①中得a1=,
所以an=a1qn-1=·2n-1=2n-2,即an=2n-2.
答案:2n-2
4.在等比数列{an}中,a1=2,S3=26,则公比q=　　　　. 
【解析】因为q≠1,所以S3===26,
所以q2+q-12=0,所以q=3或-4.
答案:3或-4
5.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　. 
【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,=a6,
所以=q5,又q≠0,所以q=3,
所以S5===.
答案:
6.数列{an}的通项an=,求前n项的和Sn.
【解析】Sn=++++…+,
Sn=+++…++,
两式相减,得Sn=++++…+-
=+2-,
所以Sn=1+4-
=1+4×-
=3-.