2021-2022学年高中数学-第一章-数列-3.2.1-等比数列的前n项和学案北师大版必修5.doc

2021-2022学年高中数学 第一章 数列 3.2.1 等比数列的前n项和学案北师大版必修52021-2022学年高中数学 第一章 数列 3.2.1 等比数列的前n项和学案北师大版必修5年级：姓名：3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和 学习目标1.掌握等比数列前n项和公式及其应用(数学抽象)2.会用错位相减法求数列的和(数学运算)必备知识自主学习导思1.等比数列的前n项和公式中涉及哪些量?2.当等比数列的公比q1时,其前n项和公式可化为Sn=-Aqn+A的形式,其中的A是什么?等比数列的前n项和公式1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)1+x+x2+x3+x4+xn=.()(2)若Sn是等比数列an的前n项和,则Sn=a1+qSn-1.()(3)若Sn是等比数列an的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n一定也成等比数列.()提示:(1).当x=1时,1+x+x2+x3+x4+xn=n.(2).Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1.(3).当q=-1时Sn可能为0.2.等比数列an的首项a1=1,公比q=2,则S6=() A.-63B.31C.-31D.63【解析】选D.S6=26-1=64-1=63.3.数列an的前n项和Sn=3n+a,要使an是等比数列,则a的值为()A.0B.1C.-1D.2【解析】选C.因为an=要使数列an成等比数列,则3+a=231-1=2,即a=-1.4.(教材二次开发:习题改编)等比数列an的前n项和Sn=k3n+1,则k的值为()A.全体实数B.-1C.1D.3【解析】选B.当n=1时,a1=S1=3k+1;当n2时,an=Sn-Sn-1=k3n-k3n-1=2k3n-1.令3k+1=2k得k=-1.关键能力合作学习类型一等比数列前n项和的基本计算(数学运算)1.等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=.【解析】设an的首项为a1,公比为q,则解得所以a8=27=25=32.答案:322.设Sn是等比数列的前n项和,且满足3S9=7S6,mS6=nS3,则=【解析】设等比数列的公比为q,若q=1,则3S9=27a1,7S6=42a1,3S9=7S6,则a1=0,显然不成立;故q1,因为3S9=7S6,mS6=nS3,所以3=7,m=n,所以3(1+q3+q6)=7(1+q3),解得q3=2或-.所以=1+q3=3或.答案:3或3.在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.【解析】因为a1=2,an+1=2an,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,又因为Sn=126,所以=126,所以n=6.答案:64.等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式.(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.【解析】(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.等比数列前n项和的运算技巧(1)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.(2)在等比数列an的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,在条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q列方程组求解.特别提醒:等比数列的公比q一定不为0.【补偿训练】已知数列an中,a1,a2,a3,an,构成一个新数列:a1,(a2-a1),(an-an-1),此数列是首项为1,公比为的等比数列.(1)求数列an的通项.(2)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+=.(2)Sn=a1+a2+a3+an=+=n-=(2n-1)+.类型二等比数列前n项和的性质(逻辑推理)【典例】(1)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=()A.80B.30C.26D.16(2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公比为,项数为.(3)若an是等比数列,且前n项和为Sn=3n-1+t,则t=.【思路导引】(1)应用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比数列求解;(2)根据所给等式列方程组求解;(3)利用a1,a2,a3是等比数列求解.【解析】(1)选B.由题意知:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,设公比为q,则S3n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)=2(1+q+q2)=14,解得q=2,所以S4n-S3n=2q3=28=16,S4n=S3n+(S4n-S3n)=14+16=30.(2)设数列为an,其公比为q,项数为2n,则奇数项,偶数项分别组成以q2为公比的等比数列,又a1=1,a2=q,q1,所以由,得q=2,所以=85,4n=256,故得n=4,故项数为8.答案:28(3)由题目条件Sn=3n-1+t得a1=S1=1+t,a2=S2-S1=2,a3=S3-S2=6,因为an是等比数列,故=a1a3,即4=6(1+t),解得t=-,经验证,当t=-时,an是等比数列.答案:-等比数列前n项和性质的应用技巧(1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时,常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n,则=q(S奇0);若项数为2n+1,则=q(S偶0).(2)等比数列前n项和为Sn(且Sn0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn(q-1).(3)等比数列an的公比为q,则Sn+m=Sn+qnSm.(4)若Sn表示数列an的前n项和,且Sn=Aqn-A(A0,q0且q1),则数列an是等比数列.已知等比数列an的前n项和满足Sn=1-A3n,数列bn是递增数列,且bn=An2+Bn,则A=,B的取值范围为.【解析】因为任意一个公比不为1的等比数列前n项和Sn=-qn,而等比数列an的前n项和满足Sn=1-A3n,所以A=1,于是bn=n2+Bn,又因为数列bn是递增数列,所以bn+1-bn=(n+1)2+B(n+1)-n2-Bn=2n+1+B0恒成立,所以B-(2n+1)恒成立,所以B-3,即B的取值范围为(-3,+).答案:1(-3,+)类型三错位相减法(逻辑推理、数学运算)【典例】已知数列an是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=an3n,求数列bn的前n项和.【思路导引】通过错位相减方式把数列变为等比数列的求和问题.【解析】(1)设数列an的公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=12,又a1=2,所以d=2,所以an=2n.(2)由bn=an3n=2n3n,得Sn=23+432+(2n-2)3n-1+2n3n,3Sn=232+433+(2n-2)3n+2n3n+1.-得-2Sn=2(3+32+33+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1,所以Sn=+n3n+1.1.错位相减法求和的适用范围错位相减法求和主要适用于:如果数列an是等差数列,bn是等比数列且公比为q(q1),求数列anbn的前n项和.2.错位相减法求和的注意事项(1)利用错位相减法时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意两式的对齐方式,以便于相减,正确写出(1-q)Sn的表达式.(2)利用错位相减法时要注意讨论公比q是否等于1.在等差数列an中,a3=4,a7=8.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)因为d=1,所以an=a3+(n-3)d=n+1.(2)bn=,Tn=b1+b2+bn=2+.Tn=+,由-得Tn=2+-=+1-=+1-=2+1-=3-,所以Tn=6-.课堂检测素养达标1.(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=() A.16B.8C.4D.2【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a10且q0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为()A.B.C.D.【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5=.3.(教材二次开发:习题改编)在等比数列an中,S3=,S6=,则an=.【解析】因为S62S3,所以q1,又S3=,S6=,所以得1+q3=9,所以q=2.将q=2代入中得a1=,所以an=a1qn-1=2n-1=2n-2,即an=2n-2.答案:2n-24.在等比数列an中,a1=2,S3=26,则公比q=.【解析】因为q1,所以S3=26,所以q2+q-12=0,所以q=3或-4.答案:3或-45.(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=,=a6,则S5=.【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,=a6,所以=q5,又q0,所以q=3,所以S5=.答案:6.数列an的通项an=,求前n项的和Sn.【解析】Sn=+,Sn=+,两式相减,得Sn=+-=+2-,所以Sn=1+4-=1+4-=3-.