2020-2021学年高中数学-第二章-数列-2.4-第2课时-等比数列的性质学案新人教A版必修5.doc

2020-2021学年高中数学 第二章 数列 2.4 第2课时 等比数列的性质学案新人教A版必修5

2020-2021学年高中数学 第二章 数列 2.4 第2课时 等比数列的性质学案新人教A版必修5

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姓名：

第2课时　等比数列的性质
内　容　标　准
学　科　素　养
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由来．
2.理解等比数列的性质并能应用．
3.掌握等比数列的性质并能综合应用.
提升数学运算
发展逻辑推理
应用数学建模

授课提示：对应学生用书第38页

[基础认识]
知识点一　等比数列的项与序号的关系
　知识梳理　设等比数列{an}的公比为q.
(1)两项关系：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq.
(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，am，an，ap成等比数列．即若m＋p＝2n，则a＝am·ap.
(4)等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝ (n为正奇数)．
知识点二　等比数列的“子数列”的性质
　知识梳理　若数列{an}是公比为q的等比数列，则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列；
(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列；
(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1；
(4)若an＞0，则{}是等比数列，公比为；
(5)若{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列，公比为q2；
(6)若数列{an}是公比为q的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
知识点三　等比数列{an}的函数性质
　知识梳理　(1){an}为公比是q的等比数列，an＝a1·qn－1＝·qn，数列的点在函数y＝·qx上．

(2)等比数列的单调性
公比q
单调性
首项a1
q＞1
0＜q＜1
q＝1
q＜0
a1＞0
单调
递增
数列
单调
递减
数列
常数数列
摆动数列
a1＜0
单调
递减
数列
单调
递增
数列
[自我检测]
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(　　)
A．27　　　　　　 B．27或－27
C．81 D．81或－81
答案：B
2．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4a7＝(　　)
A．－6 B．－2
C．2 D.
答案：B

授课提示：对应学生用书第38页

探究一　等比数列性质的应用
　[阅读教材P68 B组1(1)]等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12　　　　　　　 B．10
C．8 D．2＋log35
解析：a5·a6＋a4·a7＝2a5·a6＝18，
∴a5·a6＝9.
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3…a9·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3310＝10.故选B.
答案：B
[例1]　在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求数列{an}的通项公式．
[解析]　由a4a7＝－512，知a3a8＝－512.
解方程组
得或
因为q为整数，所以q＝＝－2，
所以an＝a3qn－3＝－4×(－2)n－3＝(－1)n－2×2n－1.
延伸探究　1.将例1中条件“a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数”改为“a7·a11＝6，a4＋a14＝5”，则结果又如何？
解析：因为数列{an}是等比数列，
所以a4·a14＝a7·a11＝6，解方程组
得或
所以q＝＝或q＝ .
所以an＝a4qn－4＝2×或an＝3×.
2．将例1中等比数列满足的条件改为a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
解析：因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或
当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
综上可得，a1＋a10＝－7.
方法技巧　利用等比数列的性质解题
(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
探究二　等比数列的设项方法
　[阅读教材P54第8题]在9与243中间插入两个数，使它们成等比数列．
解析：设公比为q，首项a1＝9，
则这四个数依次为9,9q,9q2,9q3，
∴9q3＝243，∴q＝3，即这四个数为9,27,81,243.
[例2]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解析]　法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)．
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法技巧　合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.若四个同号的数成等比数列，可设为，，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
跟踪探究　1.有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．
解析：由题意，设这四个数为，b，bq，a，
则解得或
∴这四个数依次为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
探究三　等比数列的实际应用
　[阅读教材P50例1]方法步骤：
(1)判断等比数列．
(2)写出已知条件的首项和公比．
(3)写通项公式及n的方程求解．
[例3]　为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)
[解析]　设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2014年底沙漠面积为b1，
经过n年后沙漠面积为bn＋1，
则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.
依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，
∴an＋1＝92%·an＋12%(1－an)
＝an＋，
即an＋1－＝，
a1－＝－＝－，
∴是以－为首项，为公比的等比数列，
∴an－＝n－1，
∴an＝－n－1，
则an＋1＝－n，
∵an＋1＞50%，∴－n＞，
∴n＜，n＞log ＝≈3.1，
则当n≥4时，不等式n＜恒成立．
∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.
方法技巧　解等比数列应用题的一般步骤

跟踪探究　2.某市2018年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底．
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
解析：(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，得n2＋9n－190≥0，
令f(n)＝n2＋9n－190，
当f(n)＝0时，n1＝－19，n2＝10，
由二次函数的图象得n≤－19或n≥10时，f(n)≥0，而n是正整数．所以n≥10.
故到2027年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知，
{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，
则bn＝400×1.08n－1，由题意可知an＞0.85bn，即250＋(n－1)×50＞400×1.08n－1×0.85，满足不等式的最小正整数n＝6.
故到2023年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

授课提示：对应学生用书第40页

[课后小结]
　(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．
(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq；②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则aman＝a进行求解．
(3)解决等比数列的问题，通常考虑两种方法：
①基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量．这是解等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较烦琐．
②数列性质：利用性质时要根据题意灵活选取．
[素养培优]
1．有关等比数列的“点列”问题
解析几何背景下的数列问题，以下简称为“点列”问题，这类问题往往以解析几何的点、直线、曲线的无限运动为背景，融数列、解析几何知识为一体．
“点列”问题的主要解题步骤可分为三步：第一步是根据解析几何背景抽象出数列的递推关系式；第二步是在递推关系式的基础上求得数列的通项或分析通项的性质；第三步是由通项解决数列的其他问题．
如图所示，△OBC的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn＋3为线段PnPn＋1的中点，令Pn的坐标为(xn，yn)，an＝yn＋yn＋1＋yn＋2.
(1)求a1，a2，a3及an；
(2)证明：yn＋4＝1－，n∈N*；
(3)若记bn＝y4n＋4－y4n，n∈N*，证明：{bn}是等比数列．
解析：(1)因为y1＝y2＝y4＝1，y3＝，y5＝，
所以a1＝a2＝a3＝2，又由题意可知yn＋3＝，
则an＋1＝yn＋1＋yn＋2＋yn＋3＝yn＋1＋yn＋2＋＝yn＋yn＋1＋yn＋2＝an，
所以{an}为常数列．因此，有an＝a1＝2，n∈N*.
(2)证明：将等式yn＋yn＋1＋yn＋2＝2两边除以2，
得yn＋＝1，
又yn＋4＝，得yn＋4＝1－.
(3)证明：bn＋1＝y4n＋8－y4n＋4＝－＝－(y4n＋4－y4n)＝－bn，
又b1＝y8－y4＝－≠0，
因此，{bn}是公比为－的等比数列．
2．忽视等比数列中奇、偶项符号致误
已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________.
易错分析　忽视等比数列中b2与－4同号，而出现b2＝2或b2＝±2的错误．
自我纠正　法一：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有－7＋3d＝－1，－4×q4＝－1，解得d＝2，q2＝，
所以a2－a1＝d＝2，b2＝－4×q2＝－4×＝－2，
所以＝＝＝－1.
法二：因为－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，
所以a2－a1＝[(－1)－(－7)]＝2，
因为－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，
所以－4，b2，－1成等比数列，所以b＝(－4)×(－1)＝4，所以b2＝2或b2＝－2，
由b＝－4×b2>0知b2<0，所以b2＝－2，
所以＝＝－1.
答案：－1
3．变形中忽略项的变化而致错
在数1和100之间插入n个实数，使得这(n＋2)个数构成递增的等比数列，将这(n＋2)个数的乘积记作Tn，再令an＝lg Tn，n≥1.求数列{an}的通项公式．
易错分析　解决此题时，一些同学可能会由题设及对数运算想到先构建{an}的递推关系，再求其通项公式，得到错解．
自我纠正　法一：设在1和100之间插入n个实数构成的递增的等比数列的公比为q，则qn＋1＝100，所以Tn＝1·q·q2·…·qn·100＝100q＝10n＋2.故an＝lg Tn＝n＋2.
法二：设在1和100之间插入n个实数构成的递增的等比数列的公比为q.由题意得到Tn＝1·q·q2…qn·100，①
则Tn＝100·qn…q2·q·1.②
①×②，再根据等比数列性质，得(Tn)2＝100n＋2＝102n＋4，又Tn＞0，从而Tn＝10n＋2，an＝lg Tn＝n＋2.