2021-2022学年高中数学-第6章-幂函数、指数函数和对数函数-6.2-第2课时-指数函数的图象.doc

2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修第一册2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修第一册年级：姓名：第2课时指数函数的图象与性质的应用学 习 任 务核 心 素 养1能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题(重点、难点)2能应用指数函数及其性质解决实际应用题(难点)1借助指数函数的定义域、值域的求法，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养2通过指数函数研究实际问题提升数学建模素养.请画出y2x，yx图象，归纳出函数yax，yax的图象与它们具有哪些相同的特征？知识点指数型函数形如ykax(kR，且k0，a0且a1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN)李明于去年元旦到银行申请住房商业贷款a万元，银行贷款利率为月息p，银行按照复利计算(每期的计息是以上期的本金和利息和作为基数)，则李明计划今年9月1日一次性还款时，连本带利共需要还款金额为_万元a(1p)20一个月后a(1p)，二个月后a(1p)(1p)a(1p)2，今年9月1日还款时共20个月，则连本带利共需要还款金额为a(1p)20万元 类型1求函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域和值域：(1)y2；(2)y；(3)yx22x3；(4)y4x2x23.解(1)由x40，得x4，故y2的定义域为x|x4又0，即21，故y2的值域为y|y0，且y1(2)由12x0，得2x1，x0，y的定义域为(，0由02x1，得12x0，012x0，故函数yx22x3的值域为(0,16(4)函数 y4x2x23的定义域为R.设t2x，则t0.所以yt24t3(t2)27，t0.因为函数yt24t3(t2)27在(0，)为增函数，所以y3，即函数的值域为(3，)1若将本例(2)中函数换为y，求其定义域解由x10得x0，x0即函数的定义域为(，02若将本例(4)增加条件“0x2”再求函数的值域解由于x0,2则2xt1,4，所以yt24t3(t2)27.t1,4，函数yt24t3(t2)27在1,4为增函数故y2,291对于yaf(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围(2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出uf(x)的值域；利用指数函数yau的单调性或利用图象求得函数的值域2对于ym(ax)2n(ax)p(m0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解跟进训练1(1)函数f(x)的定义域为_(2)求函数y4x21x1在x3,2上的最大值和最小值(1)(3,0由得3x0.所以函数的定义域是(3,0(2)解y4x21x12x2x12，x3,2，x，令tx，得y(t1)2，其中t，y0,49，即最大值为49，最小值为0. 类型2指数型函数的应用题【例2】某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)(参考数据：1.012101.127)思路点拨本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用yN(1p)x表示解(1)1年后城市人口总数为：y1001001.2%100(11.2%)2年后城市人口总数为：y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，同理3年后城市人口总数为y100(11.2%)3，故x年后的城市人口总数为y100(11.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y100(11.2%)101001.012101001.127113(万人)故10年后该城市人口总数约为113万人解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答跟进训练2某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式解设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(14%)千克，人口数量为M(11.2%)则人均占有粮食为千克，经过2年后，人均占有粮食为千克，经过x年后，人均占有粮食为y千克，即所求函数解析式为y360x(xN*) 类型3指数函数性质的综合应用【例3】已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围；(3)求f(x)在1,2上的值域思路点拨(1)根据奇函数的定义，求出a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉“f”解不等式求k的范围(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域解(1)函数yf(x)是定义域R上的奇函数，b1，a2.(2)由(1)知f(x)，设x1，x2R且x1x2，则f(x2)f(x1)0，f(x)在定义域R上为减函数，由f(t22t)f(2t2k)0恒成立，可得f(t22t)k2t2，3t22tk0恒成立，(2)212k0，解得k0，函数f(x)是定义域为R的偶函数(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)在(0，)上是增函数解(1)由f(x)f(x)得，即4x0，所以0，根据题意，可得a0，又a0，所以a1.(2)证明：由(1)可知f(x)4x，设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)4x14x2(4x14x2).因为0x1x2，所以4 x14x2，所以4 x14x20，所以4x1x21，所以10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)于是知f(x)在(0，)上是增函数 类型4复合函数的单调性【例4】判断f(x)x22x的单调性，并求其值域yx与yx22x的单调性分别如何？提示yx单调递减yx22x在(，1上单调递减，在1，)上单调递增解令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又yu在(，)上递减，yx22x在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，yu，u1，)，00，且a1)，它由两个函数yau，uf(x)复合而成其单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性2求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性，其规则是“同增异减”跟进训练4函数y3的单调递减区间是_，值域为_1，由xx20得函数y3的定义域为0x1，令y3u，u，因为y3u在R上单调递增， u在上单调递减，所以函数y3的单调递减区间是，又0x1时，u，所以函数y3的值域为1，1函数f(x)的定义域为()A(5,0)B5,0)C(5,0D5,0C令5x0.2已知函数f(x)|x|，则f(x)的值域为()A(0,1B(1,2C(0，)D(，0)A因为f(x)|x|所以其图象由yx(x0)和y2x(x200，化简得(n2 016)lg1.12lg 2lg 1.3，即n2 0163.8，取n2 020，即开始超过200万元的年份为2020年5已知函数yx在2，1上的最小值是m，最大值为n，则mn的值为_12yx在R上为减函数，m13，n29，mn12.回顾本节知识，自我完成以下问题1怎样比较两个指数式值的大小？提示比较形如am与an的大小应用指数型函数yax的单调性比较形如am与bn的大小一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则amc且cbn则ambn.2复合函数的单调性遵循什么原则？提示同增异减