2021-2022学年高中数学-第6章-幂函数、指数函数和对数函数-6.2-第2课时-指数函数的图象.doc

2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修第一册

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姓名：

第2课时　指数函数的图象与性质的应用
学 习 任 务
核 心 素 养
1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)
2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)
1．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养．
2．通过指数函数研究实际问题提升数学建模素养.

请画出y＝2x，y＝x图象，归纳出函数y＝ax，y＝a－x的图象与它们具有哪些相同的特征？
知识点　指数型函数
形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．
设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
李明于去年元旦到银行申请住房商业贷款a万元，银行贷款利率为月息p，银行按照复利计算(每期的计息是以上期的本金和利息和作为基数)，则李明计划今年9月1日一次性还款时，连本带利共需要还款金额为________万元．
a(1＋p)20　[一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…
今年9月1日还款时共20个月，则连本带利共需要还款金额为a(1＋p)20万元．]

类型1　求函数的定义域、值域
【例1】　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝x2－2x－3；(4)y＝4x＋2x＋2－3.
[解]　(1)由x－4≠0，得x≠4，
故y＝2的定义域为{x|x≠4}．
又≠0，即2≠1，
故y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0]．
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，
∴0≤1－2x<1，
∴y＝的值域为[0,1)．
(3)y＝x2－2x－3的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴ x2－2x－3≤－4＝16.
又∵x2－2x－3>0，
故函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．
(4)函数 y＝4x＋2x＋2－3的定义域为R.
设t＝2x，则t>0.所以y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7，t>0.
因为函数y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数，
所以y>－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．

1．若将本例(2)中函数换为y＝，求其定义域．
[解]　由x－1≥0得x≥0，∴x≤0即函数的定义域为(－∞，0]．
2．若将本例(4)增加条件“0≤x≤2”再求函数的值域．
[解]　由于x∈[0,2]则2x＝t∈[1,4]，所以y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7.t∈[1,4]，∵函数y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y∈[2,29]．

1．对于y＝af(x)这类函数
(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．
2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．

[跟进训练]
1．(1)函数f(x)＝＋的定义域为________．
(2)求函数y＝4－x－21－x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．
(1)(－3,0]　[由得－3<x≤0.
所以函数的定义域是(－3,0]．]
(2)[解]　y＝4－x－21－x＋1＝2x－2·x＋1＝2，
∵x∈[－3,2]，
∴x∈，
令t＝x，得y＝(t－1)2，其中t∈，
∴y∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0.
类型2　指数型函数的应用题
【例2】　某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：
(1)试写出x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127)
[思路点拨]　本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋p)x表示．
[解]　(1)1年后城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．
2年后城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100(1＋1.2%)2，
同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，
…
故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：
y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127
≈113(万人)．
故10年后该城市人口总数约为113万人．

解决实际应用题的步骤
(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；
(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；
(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；
(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．

[跟进训练]
2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．
[解]　设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克．
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)．
则人均占有粮食为千克，
经过2年后，人均占有粮食为
千克，
…
经过x年后，人均占有粮食为
y＝千克，
即所求函数解析式为
y＝360x(x∈N*)．
类型3　指数函数性质的综合应用
【例3】　已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围；
(3)求f(x)在[－1,2]上的值域．
[思路点拨]　(1)根据奇函数的定义，求出a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉“f”解不等式求k的范围．(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域．
[解]　(1)∵函数y＝f(x)是定义域R上的奇函数，
∴
∴
∴b＝1，a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
设x1，x2∈R且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝－＝<0，
∴f(x)在定义域R上为减函数，
由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
可得f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
∴t2－2t>k－2t2，
∴3t2－2t－k>0恒成立，
∴Δ＝(－2)2＋12k<0，解得k<－，
∴k的取值范围为.
(3)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴f(x)在[－1,2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(－1)＝－＋＝，f(x)min＝f(2)＝－＋＝－，
∴f(x)的值域为.

与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．

[跟进训练]
3．设a>0，函数f(x)＝＋是定义域为R的偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[解]　(1)由f(x)＝f(－x)
得＋＝＋，
即4x＋＝0，
所以＝0，
根据题意，可得－a＝0，
又a>0，所以a＝1.
(2)证明：由(1)可知f(x)＝4x＋，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝4x1＋－4x2－
＝(4x1－4x2).
因为0<x1<x2，
所以4 x1<4x2，
所以4 x1－4x2<0.
又x1＋x2>0，
所以4x1＋x2>1，
所以1－＝>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)．
于是知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
类型4　复合函数的单调性
【例4】　判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．

y＝x与y＝x2－2x的单调性分别如何？
[提示]　y＝x单调递减．y＝x2－2x在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．

[解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∴0<u≤－1＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．

1．关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．
2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性，其规则是“同增异减”．

[跟进训练]
4．函数y＝3的单调递减区间是________，值域为________．
　[1，]　[由x－x2≥0得函数y＝3的定义域为0≤x≤1，令y＝3u，u＝，
因为y＝3u在R上单调递增， u＝在上单调递减，所以函数y＝3的单调递减区间是，
又0≤x≤1时，u＝＝∈，所以函数y＝3的值域为[1，]．]

1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－5,0) B．[－5,0)
C．(－5,0] D．[－5,0]
C　[令∴－5<x≤0.]
2．已知函数f(x)＝|x|，则f(x)的值域为(　　)
A．(0,1] B．(1,2]
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
A　[因为f(x)＝|x|＝所以其图象由y＝x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成．
如图．
]
3．函数y＝32－2x2的单调递减区间是________．
[0，＋∞)　[令y＝3u，u＝2－2x2，因为y＝3u在R上单调递增，u＝2－2x2在[0，＋∞)上单调递减，所以y＝32－2x2的单调递减区间是[0，＋∞)．]
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)．
2020　[设第n年开始超过200万元，则130×(1＋12%)n－2 016>200，化简得
(n－2 016)lg1.12>lg 2－lg 1.3，即n－2 016>＝3.8，取n＝2 020，即开始超过200万元的年份为2020年．]
5．已知函数y＝x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值为n，则m＋n的值为________．
12　[∵y＝x在R上为减函数，
∴m＝－1＝3，
n＝－2＝9，
∴m＋n＝12.]

回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．怎样比较两个指数式值的大小？
[提示]　①比较形如am与an的大小．应用指数型函数y＝ax的单调性．
②比较形如am与bn的大小．一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn.若am>c且c>bn则am>bn.
2．复合函数的单调性遵循什么原则？
[提示]　同增异减．