1、2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质学案 苏教版必修第一册2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质学案 苏教版必修第一册年级:姓名:6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质学 习 任 务核 心 素 养1理解指数函数的概念(重点)2掌握指数函数的图象和性质(重点)3能够利用指数函数的图象和性质解题(重点、难点)4掌握函数图象的平移变换和对称变换.1通过学习指数函数的图象,培养直观想象的数学素养2借助指数函数的定义域、值域的求法,培养逻辑推理素
2、养.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂1次(1个分裂成2个),那么经过3 h,这种细菌由1个可分裂为几个?经过x h,这种细菌由1个可分裂为几个?知识点1指数函数的概念一般地,函数yax(a0,a1)叫作指数函数,它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a10a0时,y1;x0时,0y0时,0y1;x1单调性在(,)上是增函数在(,)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于什么?提示指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a1时,图象具有上升趋势;当0a0且a1?提示当a0时,ax可能无意义;当a0时,x可以取任何
3、实数;当a1时,ax1(xR),无研究价值因此规定yax中a0,且a1.1.思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数y32x是指数函数()(2)指数函数的图象与x轴永不相交()(3)函数y2x在R上为增函数()(4)当a1时,对于任意xR总有ax1.()提示(1)y32x的系数为3,故y32x不是指数函数(2)指数函数的值域为(0,),故它与x轴不相交(3)y2xx是减函数(4)a1时,若x0,则ax0且a1),则由f(3)8得a38,a2,f(x)2x,故选B. 类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中,是指数函数的个数是()y(8)x;y2x21;yax;y23x.A1B2 C
4、3D0(2)已知函数f(x)为指数函数,且f ,则f(2)_.(1)D(2)(1)中底数80且a1时,才是指数函数;中3x前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数,故选D.(2)设f(x)ax(a0且a1),由f 得a,所以a3,又f(2)a2,所以f(2)32.1判断一个函数是否为指数函数,要牢牢抓住3点(1)底数是大于0且不等于1的常数;(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上;(3)ax的系数必须为1.2求指数函数的解析式常用待定系数法跟进训练1若函数y(a23a3)ax是指数函数,则实数a_.2由题意知解得a2.2已知函数f(x)是指数函数,且f ,则f(3)_.125设f(x)ax
5、(a0,且a1),由f 得a5,所以a5,即f(x)5x,所以f(3)53125. 类型2利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小:(1)1.8与2.6;(2)与1;(3)0.62与;(4)0.3与30.2;(5)0.20.6与0.30.4;(6) ,.思路点拨观察底数是否相同(或能化成底数相同),若相同用单调性,否则结合图象或中间值来比较大小解(1)02.6,1.82.6.(2)01,yx在定义域R内是减函数又01,1.(3)0.620.601,.(4)0.330.3,y3x在定义域R内是增函数,又0.30.2,30.330.2,0.330.2.(5)由幂函数的单调性,知0.20.60
6、.30.6,从而0.20.60.30.4.(6)f(x)x在R上为减函数,所以.在进行指数式的大小比较时,可以归纳为以下3类(1)底数同、指数不同:利用指数函数的单调性解决(2)底数不同、指数同:利用幂函数的单调性解决(3)底数不同、指数也不同:采用介值法以其中一个的底为底,以另一个的指数为指数比如ac与bd,可取ad,前者利用单调性,后者利用图象跟进训练3比较下列各组数的大小:(1)1.9与1.93;(2)0.60.4与0.40.6;解(1)由于指数函数y1.9x在R上单调递增,而3,1.90.60.6.又在y轴右侧,函数y0.6x的图象在y0.4x图象的上方,0.60.60.40.6,0.
7、60.40.40.6.又在y轴右侧,函数yx的图象在y4x的下方, 类型3利用指数函数的单调性解不等式【例3】(1)解不等式3x12;(2)已知ax23x10,且a1)解(1)21,原不等式可以转化为3x11.yx在R上是减函数,3x11,x0,故原不等式的解集为x|x0(2)分情况讨论当0a0,a1)在R上为减函数,x23x1x6,x24x50,根据相应二次函数的图象可得x5.当a1时,函数f(x)ax(a0,a1)在R上是增函数x23x1x6,x24x50.根据相应二次函数的图象可得1x5,综上所述当0a1时,x5,当a1时,1xay的不等式,借助yax的单调性求解,如果a的取值不确定,需
8、分a1与0a1两种情况讨论2形如axb的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助yax的单调性求解跟进训练4若ax153x(a0且a1),求x的取值范围解因为ax153x,所以ax1(a)3x5.当a1时,yax为增函数,可得x13x5,所以x3.当0a1时,yax为减函数,可得x13.综上,当a1时,x的取值范围为(,3)当0a0且a1),所以f(2)4,a24,解得a,所以f(x)x,所以f(1)12,所以f(f(1)f(2)2.回顾本节知识,自我完成以下问题1判断指数函数的标准是什么?提示符合yax(a0且a1)这种形式,即ax的系数为1,指数是x且系数为1.2怎样理解指数函数的性质?提示指数函数的性质分底数a1,0aay的不等式?提示借助yax的单调性求解若a不确定,分a1或0a1两种情况讨论