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2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质学案 苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 第1课时 指数函数的概念、图象与性质学案 苏教版必修第一册

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姓名：

6.2　指数函数
第1课时　指数函数的概念、图象与性质
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解指数函数的概念．(重点)
2．掌握指数函数的图象和性质．(重点)
3．能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)
4．掌握函数图象的平移变换和对称变换.
1．通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.

某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，那么经过3 h，这种细菌由1个可分裂为几个？经过x h，这种细菌由1个可分裂为几个？
知识点1　指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.
知识点2　指数函数的图象和性质

a>1
00时，y>1；
x<0时，00时，01
单调性
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
1.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
[提示]　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当00且a≠1?
[提示]　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝3·2x是指数函数．(　　)
(2)指数函数的图象与x轴永不相交．(　　)
(3)函数y＝2－x在R上为增函数．(　　)
(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.(　　)
[提示]　(1)y＝3·2x的系数为3，故y＝3·2x不是指数函数．
(2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x轴不相交．
(3)y＝2－x＝x是减函数．
(4)a>1时，若x<0，则ax<1.
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x3　　　　 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝x D．f(x)＝x
B　[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]

类型1　指数函数的概念
【例1】　(1)下列函数中，是指数函数的个数是(　　)
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f ＝，则f(－2)＝________.
(1)D　(2)　[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，
所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f ＝得a－＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]

1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
2．求指数函数的解析式常用待定系数法．

[跟进训练]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.
2　[由题意知解得a＝2.]
2．已知函数f(x)是指数函数，且f ＝，则f(3)＝________.
125　[设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
由f ＝得
a＝＝＝5，
所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.]
类型2　利用单调性比较大小
【例2】　比较下列各组数的大小：
(1)－1.8与－2.6；(2)与1；
(3)0.6－2与；(4)0.3与3－0.2；
(5)0.20.6与0.30.4；(6) ，，.
[思路点拨]　观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．
[解]　(1)∵0<<1，y＝x在定义域R内是减函数，
－1.8>－2.6，
∴－1.8<－2.6.
(2)∵0<<1，∴y＝x在定义域R内是减函数．
又∵－<0，
∴>0＝1，
∴>1.
(3)∵0.6－2>0.60＝1，<0＝1，
∴0.6－2>.
(4)∵0.3＝3－0.3，y＝3x在定义域R内是增函数，
又∵－0.3<－0.2，
∴3－0.3<3－0.2，∴0.3<3－0.2.
(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.
(6)∵f(x)＝x在R上为减函数，∴<， ∵f(x)＝x在(0，＋∞)上为增函数，
∴>，所以>>.

在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类
(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
(2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象．

[跟进训练]
3．比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；
(2)0.60.4与0.40.6；

[解]　(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π<－3，
∴1.9－π<1.9－3.
(2)∵y＝0.6x在R上递减，
∴0.60.4>0.60.6.
又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x图象的上方，
∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.

又在y轴右侧，函数y＝x的图象在y＝4x的下方，

类型3　利用指数函数的单调性解不等式
【例3】　(1)解不等式3x－1≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)．
[解]　(1)∵2＝－1，∴原不等式可以转化为3x－1≤－1.
∵y＝x在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集为{x|x≥0}．
(2)分情况讨论
①当00，a≠1)在R上为减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5.
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数．
∴x2－3x＋15，
当a>1时，－1ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

[跟进训练]
4．若ax＋1>5－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解]　因为ax＋1>5－3x，所以ax＋1>(a)3x－5.
当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3.
当03.
综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)．当0
[思路点拨]　题(1)中可将y＝3－x转化为y＝x.
题(2)中，函数y＝ax＋b的图象过点(0,1＋b)，
因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．
题(3)应该根据指数函数经过定点求解．
(1)②　(2)一　(3)(－1，－1)　[(1)y＝3－x＝x为单调递减的指数函数，其图象为②.
(2)函数y＝ax(0＜a＜1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点(0,1＋b)．因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限．
(3)令x＋1＝0，得x＝－1，此时y＝2a0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]

1．处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图象过定点问题的处理方法
求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

[跟进训练]
5．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解]　(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，既可得到y＝2|x|的图象．

1．(多选题)下列所给函数中为指数函数的是(　　)
A．y＝4x B．y＝x2
C．y＝2·2x D．y＝x
AD　[A是指数函数，B中自变量的位置不对，C中系数不为1，D符合．]
2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　)
A．－1或2 B．－1
C．2 D．
C　[依题意，有
解得m＝2(舍m＝－1)，故选C.]
3．函数y＝2ax－＋1(a≠0)的图象必过定点________．
　[令x－＝0得x＝，当x＝时，y＝2＋1＝3，故过定点.]
4．1－x≥0的解集为________．
[0，＋∞)　[1＝0，∴原不等式可化为0－x≥0，即x≤0，又f(x)＝x为减函数，所以x≥0.]
5．f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
　[设f(x)＝axa>0且a≠1)，
所以f(－2)＝4，a－2＝4，解得a＝，
所以f(x)＝x，
所以f(－1)＝－1＝2，
所以f(f(－1))＝f(2)＝2＝.]

回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断指数函数的标准是什么？
[提示]　符合y＝ax(a>0且a≠1)这种形式，即ax的系数为1，指数是x且系数为1.
2．怎样理解指数函数的性质？
[提示]　指数函数的性质分底数a>1,0ay的不等式？
[提示]　借助y＝ax的单调性求解．
若a不确定，分a>1或0