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2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质学案 苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质学案 苏教版必修第一册

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姓名：

6.3　对数函数
第1课时　对数函数的概念、图象与性质
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解对数函数的概念．
2．掌握对数函数的图象和性质．(重点)
3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)
4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)
1．通过学习对数的概念，培养数学抽象素养．
2．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．
3．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算素养.

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……经过多少次分裂，大约可以得到1万个细胞？10万个细胞？……你能求出分裂次数y随着细胞个数x变化的函数关系么？
知识点1　对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．
1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
[提示]　不是，其不符合对数函数的形式．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R.(　　)
(2)y＝log2x2不是对数函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√
知识点2　对数函数的图象与性质

a>1
0<a<1
图
象

性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)
在(0，＋∞)上是增函数
当0<x<1时，y<0；
当x>1时，y>0
在(0，＋∞)上是减函数
当0<x<1时，y>0；
当x>1时，y<0
2.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
[提示]　底数a与1的关系决定了对数函数的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．
2.(1)函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)

A．5　　　　　　　　　 B．
C． D．
(2)函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．
(1)A　(2)(－1，＋∞)　[(1)由图可知，a>1.
(2)由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]
知识点3　反函数
(1)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．
(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．
3.y＝2x的反函数为________．
y＝log2x　[由y＝2x得x＝log2y.以x换y得y＝log2x.
故y＝2x的反函数为y＝log2x.]

类型1　对数函数的概念
【例1】　判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝2log8x；
(4)y＝logxa(x＞0，且x≠1)．
[思路点拨]　依据对数函数的定义来判断．
[解]　(1)中真数不是自变量x，
∴不是对数函数；
(2)中对数式后减1，
∴不是对数函数；
(3)中log8x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
(4)中底数是自变量x，而不是常数a，
∴不是对数函数．

一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x.

[跟进训练]
1．(1)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
(2)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ＝________.
(1)4　(2)－1　[(1)由题意解得a＝4.
(2)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x.
∴f ＝log2＝－1.]
类型2　对数函数的定义域
【例2】　求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；
(4)f(x)＝ln(1－2x)．
[解]　(1)要使函数f(x)有意义，则x＋1>0，即x>－1，解得0<x<2，
即函数f(x)的定义域为(0,2)．
(2)要使函数式有意义需满足即解得－1<x<2，
故函数的定义域为(－1,2)．
(3)由题意得解得故函数的定义域为.
(4)由题意知解得0≤x<，∴定义域为.

求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．

[跟进训练]
2．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝logx－1(x＋2)；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝(a>0且a≠1)．
[解]　(1)由题知解得x>1且x≠2，
∴f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(2)由
得⇒⇒0≤x<1.
∴函数的定义域为[0,1)．
(3)由题知⇒
∴x>1且x≠2.
故f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(4)由题知⇒
当a>1时，－a<－1.
由①得x＋a<a.
∴x<0.
∴f(x)的定义域为{x|－a<x<0}．
当0<a<1时，－1<－a<0.
由①得x＋a>a.
∴x>0.
∴f(x)的定义域为{x|x>0}．
故所求f(x)的定义域是：
当0<a<1时，x∈(0，＋∞)；
当a>1时，x∈(－a,0)．
类型3　比较对数式的大小
【例3】　比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)2与2；
(3)log23与log54.
[解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5<log5.
法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5<log5.
(2)法一(单调性法)：由于2＝，2＝，
又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以2<2.
法二(图象法)：
如图，在同一坐标系中分别画出y＝x及y＝x的图象，由图易知：2<2.
(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54.

比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．

[跟进训练]
3．比较下列各组值的大小：
(1)0.5，0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8.
[解]　(1)因为函数y＝x是减函数，且0.5<0.6，所以0.5>0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5，
所以<，即log0.67<log0.57.
(4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8.

1．(多选题)下列函数不是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x)(a>0且a≠1) B．y＝log2x
C．y＝x D．y＝log2x＋1
AD　[只有B、C符合对数函数的特征．]
2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
D　[a＝log32<log33＝1，c＝log23>log22＝1.由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c.]
3．函数y＝ln x的单调增区间是________，反函数是________．
(0，＋∞)　y＝ex　[y＝ln x的底为e>1，故y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y＝ex.]
4．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(2,1)　[函数可化为y－1＝loga(2x－3)，
可令解得即P(2,1)．]
5．函数f(x)＝的定义域是________．
(－1,1)∪(1，＋∞)　[由⇒x>－1且x≠1，所以定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断一个函数是否为对数函数的关键是什么？
[提示]　分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式．
2．涉及对数函数定义域问题常从哪两方面考虑？
[提示]　真数和对数两个角度．