2021-2022学年高中数学-第4章-指数函数与对数函数-4.4-第2课时-对数函数及其图象、性质.docx

2021-2022学年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.4 第2课时 对数函数及其图象、性质巩固练习新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.4 第2课时 对数函数及其图象、性质巩固练习新人教A版必修第一册

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姓名：

第2课时　对数函数及其图象、性质(二)
课后训练巩固提升
A组
1.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是(　　)
A.y=x-1 B.y=3|x|
C.y=log3x D.y=log23x
解析:因为y=log23x=xlog23,所以该函数是正比例函数,既是奇函数,又是增函数.
答案:D
2.若函数y=lg21+x-a是奇函数,则实数a的值等于(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.0
解析:因为函数y=lg21+x-a是奇函数,所以lg21-x-a=-lg21+x-a=lg121+x-a,即21-x-a=121+x-a,化简得4-4a+a2(1-x2)=1-x2,所以4-4a=0,a2=1,解得a=1.
答案:A
3.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间12,23上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.13,1 B.13,1 C.23,1 D.23,1
解析:当0<a<1时,函数f(x)在区间12,23上单调递减,所以loga43-a>0,即0<43-a<1,解得13<a<43,故13<a<1;当a>1时,函数f(x)在区间12,23上单调递增,所以loga(1-a)>0,即1-a>1,解得a<0,此时无解.综上所述,实数a的取值范围是13,1.故选A.
答案:A
4.若函数f(x)=loga|x-2|(a>0,且a≠1)在区间(1,2)内单调递增,则f(x)在区间(2,+∞)内的单调性为(　　)
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
解析:当1<x<2时,函数f(x)=loga|x-2|=loga(2-x)在区间(1,2)内单调递增,所以0<a<1;函数f(x)=loga|x-2|在区间(2,+∞)内的解析式为f(x)=loga(x-2)(0<a<1),故在区间(2,+∞)内单调递减.
答案:D
5.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是(　　)
A.0<k<1 B.0≤k<1
C.k≤0或k≥1 D.k=0或k≥1
解析:令t=x2-2kx+k,由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R.可知函数t=x2-2kx+k的图象一定与x轴有交点,所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.
答案:C
6.若函数f(x)=log2(ax+1)在区间[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　. 
解析:由题意得a>0,a×0+1>0,解得a>0.
答案:(0,+∞)
7.函数y=log2(x2-1)的单调递增区间为　　　　　. 
解析:由x2-1>0可知定义域为{x|x<-1或x>1}.又y=log2t在定义域上单调递增,t=x2-1在区间(1,+∞)内单调递增,所以函数y的单调递增区间为(1,+∞).
答案:(1,+∞)
8.函数y=log12(2x+1)的值域为　　　　　. 
解析:因为2x+1>1,函数y=log12(2x+1)在区间(0,+∞)内是减函数,
所以log12(2x+1)<log121=0,即所求函数的值域为(-∞,0).
答案:(-∞,0)
9.已知x满足2≤x≤8,求函数f(x)=2(log4x-1)·log2x2的最大值和最小值.
解:由2≤x≤8,得12≤log2x≤3.
因为f(x)=2(log4x-1)·log2x2
=(log2x-2)(log2x-log22)
=(log2x)2-3log2x+2
=log2x-322-14,
所以当log2x=32时,f(x)min=-14;当log2x=3时,f(x)max=2.
10.已知f(x)=log12(x2-ax-a).
(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间及值域;
(2)若f(x)在区间-∞,-12内单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=-1时,f(x)=log12(x2+x+1).
因为x2+x+1=x+122+34≥34,
所以log12(x2+x+1)≤log1234=2-log23,
因此f(x)的值域为(-∞,2-log23].
又t=x2+x+1在区间-∞,-12上单调递减,在区间-12,+∞内单调递增,y=log12t在区间(0,+∞)内单调递减,
故f(x)的单调递增区间为-∞,-12,单调递减区间为-12,+∞.
(2)令u=x2-ax-a=x-a22-a24-a,
因为f(x)在区间-∞,-12内单调递增,
又y=log12u在定义域上为减函数,
所以u在区间-∞,-12内单调递减,
且u>0在区间-∞,-12内恒成立.
因此a2≥-12,u-12≥0,即a≥-1,14+a2-a≥0,
解得-1≤a≤12.
故实数a的取值范围是-1,12.
B组
1.方程lg(-2x-1)=lg(x2-9)的根为(　　)
A.2或-4 B.-4
C.2 D.-2或4
解析:由已知,得-2x-1=x2-9,即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.经检验x=2不符合题意,舍去.所以原方程的根为x=-4,故选B.
答案:B
2.当0<x≤13时,logax>8x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.0,33 B.33,1
C.1,3 D.(3,2)
解析:∵logax>8x,∴logax>0.
又0<x≤13,∴0<a<1.

作出y=8x与y=logax的大致图象如图所示,则只需满足loga13>813=2=logaa2,解得a>33,所以33<a<1,故选B.
答案:B
3.已知函数f(x)=lnex-e-x2,则f(x)是(　　)
A.既不是奇函数,也不是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增
B.奇函数,且在R上单调递增
C.既不是奇函数,也不是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减
D.偶函数,且在R上单调递减
解析:要使函数有意义,则ex>e-x,解得x>0,即函数f(x)的定义域是(0,+∞),故函数f(x)是非奇非偶函数.又y=ex-e-x2在区间(0,+∞)内单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,故选A.
答案:A
4.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=　　　　　. 
解析:∵函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∴(-x)ln(-x+a+(-x)2)=xln(x+a+x2),
∴ln(x+a+x2)+ln(-x+a+x2)=0,
∴ln(a+x2-x2)=lna=0,∴a=1.
答案:1
5.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为　　　　　. 
解析:当a>1时,y=ax与y=loga(x+1)在区间[0,1]上都单调递增,
所以f(x)max=f(1)=a+loga2,f(x)min=f(0)=a0+loga1=1,
所以a+loga2+1=a,即loga2=-1,故a=12(舍去);
当0<a<1时,y=ax与y=loga(x+1)在区间[0,1]上都单调递减,
所以f(x)max=f(0)=a0+loga(0+1)=1,f(x)min=f(1)=a+loga2,所以a+loga2+1=a,即a=12.
综上所述,a=12.
答案:12
6.不等式log12(4x+2x+1)>0的解集为　　　　　. 
解析:由log12(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2,所以2x<2-1,两边取以2为底的对数,得x<log2(2-1).
答案:(-∞,log2(2-1))
7.已知函数f(x)=log12ax-2x-1(a为常数).
(1)若常数a<2,且a≠0,求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在区间(2,4)内单调递减,求实数a的取值范围.
解:(1)对于ax-2x-1>0,当0<a<2时,解得x<1,或x>2a;当a<0时,解得2a<x<1.
故当0<a<2时,f(x)的定义域为　　x　　x<1或x>2a　　　　;当a<0时,f(x)的定义域为x2a<x<1.
(2)令u=ax-2x-1,x∈(2,4),因为y=log12u在定义域上为减函数,所以要使f(x)在区间(2,4)内单调递减,只需u=ax-2x-1=a+a-2x-1在区间(2,4)内单调递增且恒为正值,故有a-2<0,2a-22-1≥0,解得1≤a<2,
所以实数a的取值范围为[1,2).
8.已知函数f(x)=log12(x2-2ax+3).
(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围.
(2)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间.
(3)是否存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵函数f(x)=log12(x2-2ax+3)的定义域为R,
∴x2-2ax+3>0恒成立,∴Δ<0,即4a2-12<0,解得-3<a<3,∴a的取值范围为-3<a<3.
(2)∵f(-1)=-3,∴log12(1+2a+3)=log128,
∴4+2a=8,∴a=2.∴f(x)=log12(x2-4x+3).
∵x2-4x+3>0,即(x-3)(x-1)>0,∴x<1或x>3.
故m(x)=x2-4x+3在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(3,+∞)内单调递增.
又f(x)=log12m(x)为减函数,∴根据复合函数单调性的规律可知,函数f(x)在区间(-∞,1)内单调递增,在区间(3,+∞)内单调递减.
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(3,+∞).
(3)不存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增.理由如下:
函数f(x)=log12(x2-2ax+3).
设n(x)=x2-2ax+3,可知函数n(x)在区间(-∞,a)内单调递减,在区间(a,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间(-∞,a)内单调递增,在区间(a,+∞)内单调递减.
因为函数f(x)在区间(-∞,2)内单调递增,所以a≥2,且4-4a+3>0,解得a≥2,且a<74.
所以没有符合这种条件的a.
故不存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增.