2021-2022学年高中数学-第四章-指数函数与对数函数-4.2-第2课时-指数函数及其图象、性质.docx

2021-2022学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2 第2课时 指数函数及其图象、性质课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2 第2课时 指数函数及其图象、性质课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

年级：
姓名：

第2课时　指数函数及其图象、性质(二)
课后训练巩固提升
A组
1.函数f(x)=1-2x+1x+3的定义域为(　　)
A.(-3,0] B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]
解析:由题意可知自变量x应满足1-2x≥0,x+3>0,解得-3<x≤0,故所求定义域为(-3,0].
答案:A
2.函数y=121-x的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
解析:令u(x)=1-x,则u(x)在R上是减函数.又y=12u(x)与y=u(x)的单调性完全相反,所以y=121-x在(-∞,+∞)上是增函数.
答案:A
3.关于函数f(x)=121x的单调性的叙述正确的是(　　)
A.f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是增函数
B.f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
C.f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增
D.f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
解析:因为底数12∈(0,1),所以函数f(x)=121x的单调性与y=1x的单调性完全相反.因为y=1x在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增.
答案:C
4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:由f(1)=19得a2=19.所以a=13a=-13舍去,即f(x)=13|2x-4|.因为y=|2x-4|在区间(-∞,2]上单调递减,在区间[2,+∞)内单调递增,所以f(x)在区间(-∞,2]上单调递增,在区间[2,+∞)内单调递减.
答案:B
5.设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式一定成立的是(　　)
A.3c<3b B.3c>3b
C.3c+3a>2 D.3c+3a<2
解析:画出f(x)=|3x-1|的图象如右.

由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)可知c,b,a不在同一个单调区间上.故有c<0,a>0.
所以f(c)=1-3c,f(a)=3a-1.又因为f(c)>f(a),所以1-3c>3a-1,即3c+3a<2.
答案:D
6.若函数f(x)=2x+12x-a是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,+∞)
解析:由题意知f(x)=-f(-x),即2x+12x-a=-2-x+12-x-a.
所以(1-a)(2x+1)=0,解得a=1,
所以f(x)=2x+12x-1.
由f(x)=2x+12x-1>3,得1<2x<2,即20<2x<21.因为y=2x在R上单调递增,所以0<x<1.
答案:C
7.函数f(x)=13x2-4x-5的单调递减区间是　　　　　. 
解析:函数f(x)由f(t)=13t与t(x)=x2-4x-5复合而成,其中f(t)=13t在定义域上是减函数,t(x)=x2-4x-5在区间(-∞,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.
由复合函数的单调性可知,函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞).
答案:(2,+∞)
8.若关于x的方程2x-a+1=0有负根,则a的取值范围是　　　　　. 
解析:因为2x=a-1有负根,所以x<0.所以0<2x<1.所以0<a-1<1,即1<a<2.
答案:(1,2)
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,求不等式f(x)<-12的解集.
解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
当x=0时,f(0)=0<-12不成立;
当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1.
由2x-1<-12,即2x<2-1,得x<-1.
当x>0时,由1-2-x<-12,即12x>32,得x∈⌀.
综上可知,不等式f(x)<-12的解集为(-∞,-1).
10.已知函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0,且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)-1f(x)+1,试判断函数g(x)的奇偶性并给出证明.
解:(1)由已知得k=1,k·a-3=8,解得k=1,a=12.
故f(x)=12-x=2x.
(2)由(1)知g(x)=2x-12x+1,可判断函数g(x)为奇函数.
证明:因为函数g(x)的定义域为R,
且g(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1,
所以函数g(x)是奇函数.
B组
1.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是(　　)
A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)<f(1) D.不能确定
解析:因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.所以函数f(x)=a|x+1|在区间(-1,+∞)内单调递增,且它的图象关于直线x=-1对称,所以函数f(x)在区间(-∞,-1)内单调递减.所以f(1)=f(-3).
所以f(-4)>f(1).
答案:A
2.若函数f(x)=-x+3-3a,x<0ax,x≥0(a>0,且a≠1)在R上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.0,23 B.(0,1)
C.0,23 D.23,1
解析:当x<0时,函数f(x)=-x+3-3a单调递减;当x≥0时,可知函数f(x)=ax单调递减,故0<a<1.又满足0+3-3a≥a0,解得a≤23.
所以实数a的取值范围是0,23.
答案:A
3.函数y=12x2-x-14的值域是　　　　　. 
解析:令t=x2-x-14,则t=x-122-12,即t∈-12,+∞.
所以y=12t∈0,12-12,即y∈(0,2].
答案:(0,2]
4.若函数f(x)=3-x2+2ax在区间(-∞,1)内单调递增,则a的取值范围是　　　　　. 
解析:由函数f(x)=3-x2+2ax在区间(-∞,1)内单调递增,可得函数y=-x2+2ax在区间(-∞,1)内单调递增,故有a≥1.
答案:[1,+∞)
5.设函数f(x)=2x,x<2,x2,x≥2,若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a的取值范围是　　　　　. 
解析:画出函数f(x)的图象如图所示,易知f(x)=2x,x<2,x2,x≥2是定义域R上的增函数.

因为f(a+1)≥f(2a-1),所以a+1≥2a-1,解得a≤2.所以a的取值范围是(-∞,2].
答案:(-∞,2]
6.已知函数f(x)=3x+k·3-x为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若关于x的不等式f(9ax2-2x-1)+f(1-3ax-2)<0只有一个正整数解,求实数a的取值范围.
解:(1)因为f(x)是奇函数,
所以f(x)+f(-x)=3x+k·3-x+3-x+k·3x=(k+1)(3x+3-x)=0对一切实数x都成立.
所以k=-1.
(2)易得f(x)为R上的增函数,又f(x)是奇函数,
所以由f(9ax2-2x-1)+f(1-3ax-2)<0,可得9ax2-2x-1<3ax-2-1,即32ax2-4x<3ax-2,即2ax2-4x<ax-2,即(ax-2)(2x-1)<0.
当a≤0时,显然不符合题意;
当a>0时,由不等式只有一个正整数解,可知不等式的解集为12,2a,且1<2a≤2,解得1≤a<2.
所以a的取值范围是[1,2).
7.已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-x)(a>0,且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求实数b的取值范围.
解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=aa2-1(a-x-ax)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)当a>1时,aa2-1>0,y=ax在R上是增函数,y=a-x在R上是减函数,
所以y=ax-a-x在R上是增函数.
所以f(x)在R上是增函数.
当0<a<1时,aa2-1<0,y=ax在R上是减函数,
y=a-x在R上是增函数.
所以y=ax-a-x在R上是减函数,
所以f(x)在R上是增函数.
故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内是增函数.
(3)由(2)知f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(-1)≤f(x)≤f(1).
所以f(x)min=f(-1)=aa2-1(a-1-a)=-1.
所以要使f(x)≥b在区间[-1,1]上恒成立,只需b≤-1.
所以实数b的取值范围是(-∞,-1].