2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.1.1-数列的概念与简单表示法学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列的概念与简单表示法学案 新人教A版必修52021-2022版高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列的概念与简单表示法学案 新人教A版必修5年级：姓名：第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法学习目标1.理解数列及其有关概念.(数学抽象)2.学会用列表法、图象法、通项公式法表示数列.(数学抽象、直观想象)3.理解数列是一种特殊的函数,能从函数的观点研究数列.(数学抽象)必备知识自主学习导思1.数列的定义是什么?2.数列是怎样分类的?3.数列与函数有什么关系?4.数列的通项公式的含义是什么?1.数列及其有关概念2.数列的分类分类标准 名称 含义按项的个数 有穷数列 项数有限的数列无穷数列 项数无限的数列按项的变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列 各项相等的数列摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如表:定义域正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,n)解析式数列的通项公式值域由自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法);(2)列表法;(3)图象法数列的图象有什么特点?提示:数列的图象是一系列孤立的点.4.数列的通项公式(1)定义:如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)本质:数列的通项公式实际就是数列的函数解析式.(3)作用:写出数列的任意一项;判断一个数是否是数列的项;分析数列的性质.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列.()(2)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的.()(3)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.()提示:(1).两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.(2).有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.(3). 第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.2.已知数列an的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的()A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).3.(教材二次开发:例题改编)数列1,2,的一个通项公式为an=.【解析】因为a1=1=,a2=2=,a3=,a4=,a5=,所以an=.答案:关键能力合作学习类型一数列的概念以及分类(数学抽象)1.(2020兰州高二检测)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是()A.-1,-2,-3,-4,B.-1,-,-,-,C.-1,-2,-4,-8,D.1,2.若数列an满足an=2n,则数列an是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列3.已知下列数列:2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;1,;1,-,;1,0,-1,sin,;2,4,8,16,32,;-1,-1,-1,-1.其中,有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,递减数列是,常数列是,摆动数列是(填序号).【解析】1.选B.A,B,C中的数列都是无穷数列,但是A,C中的数列都是递减数列.2.选A.an+1-an=2n+1-2n=2n0,所以an+1an,即an是递增数列.3.为有穷数列且为递增数列;为无穷数列、递减数列;为无穷数列、摆动数列;为摆动数列,也是无穷数列;为递增数列,也是无穷数列;为有穷数列,也是常数列.答案:理解数列概念要注意的三点(1)区分集合:数列an表示数列a1,a2,a3,an,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.(2)项的理解:从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.(3)规律性:数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.【补偿训练】 1.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是() A.1,B.sin ,sin ,sin ,sin ,C.-1,-,-,-,D.1,2,3,4,30【解析】选C.数列1,是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,sin ,是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,30是递增数列,但不是无穷数列.2.下列数列(1)1,2,22,23,263;(2)0,10,20,30,1 000;(3)2,4,6,8,10,;(4)-1,1,-1,1,-1,;(5)7,7,7,7,;(6),.其中有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,递减数列是,摆动数列是,常数列是.(填序号)【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是 (3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是 (4),常数列是(5).答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(6)(4)(5)类型二归纳法求数列的通项公式(逻辑推理)角度1根据数列的前几项归纳通项公式【典例】写出下列数列的一个通项公式:(1),2,8,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,;(4),;(5),;(6)4,0,4,0,4,0,.【思路导引】首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【解析】(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:,所以,它的一个通项公式为an=.(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an=.(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n.(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通项公式又可表示为an=2+2(-1)n+1.将本例(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,”,如何写出其通项公式?【解析】此数列为摆动数列,奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=此数列两项3与5的平均数为=4,奇数项为4-1,偶数项为4+1,故通项公式还可写为an=4+(-1)n.角度2根据图形归纳通项公式【典例】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,由于这些数能表示成三角形,将其称为三角形数;与之类似,称图(2)中的1,4,9,16,这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378【思路导引】首先确定两个数列的通项公式,再验证哪个选项符合要求.【解析】选C.由题图形可得三角形数构成的数列通项公式an=,同理可得正方形数构成的数列通项公式bn=n2,而所给的选项中只有1 225满足a49=b35=352=1 225.1.依项的特征求通项公式(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想,从而求出通项公式.2.转化到基本数列观察、分析数列中各项的特点,观察出项与序号之间的关系、规律,通过对项的适当变形转化到我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.1.根据如图所示的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式an=.【解析】由a1=1=51-4,a2=6=52-4,a3=11=53-4,归纳an=5n-4.答案:5n-42.写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,;(2)1,2,3,4,;(3)1,11,111,1 111,.【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,所以它的一个通项公式是an=n2-1(nN*).(2)此数列的整数部分1,2,3,4,恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=(nN*).(3)原数列的各项可变为9,99,999,9 999,易知数列9,99,999,9 999,的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(nN*).【补偿训练】 1.图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:通过观察可以发现:在第n个图形中,火柴棒有根.【解析】第1个图形中,火柴棒有4根;第2个图形中,火柴棒有4+3根;第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+32根;第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+33根;第n个图形中,火柴棒有4+3(n-1)=3n+1根.答案:3n+12.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1) 3,5,7,9,11,13,;(2), ;(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,;(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,.【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积an=;(3)an=或an=; (4) 将数列变形为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ,所以an=n+;(5) 将数列变形为12, -23, 34, -45, 56,所以an=(-1)n+1n(n+1).类型三数列通项公式的简单应用(逻辑推理、数学抽象)【典例】已知数列an的通项公式为an=.(1)求a10;(2)判断是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由;(3)求证:0an3,所以01,所以01-1,即0an1.1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.2.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.在数列an中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列an的通项公式;(2)求a2 017;(3)2 018是否为数列an中的项?【解析】(1)设an=kn+b(k0),则有解得k=4,b=-2.所以an=4n-2.(2)a2 017=42 017-2=8 066.(3)令2 018=4n-2,解得n=505N*,所以2 018是数列an的第505项.【补偿训练】已知数列an的通项公式为an=.(1)写出数列的第4项和第6项.(2)试问是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.【解析】(1)因为an=,所以a4=,a6=.(2)令=,则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到nN*,故将n=-8舍去,所以是该数列的第5项.课堂检测素养达标1.有下列命题:数列,的一个通项公式是an=;数列的图象是一群孤立的点;数列1,-1,1,-1,与数列-1, 1,-1,1,是同一数列;数列,是递增数列.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.0【解析】选A.由通项公式知a1=,故不正确;易知正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故不正确;中的数列为递减数列,所以不正确.2.600是数列12,23,34,45,的()A.第23项B.第24项C.第25项D.第26项【解析】选B.an=n(n+1)=600=2425,所以n=24.3.在数列an中,an=51-n,则a3等于.【解析】由已知得a3=51-3=.答案:4.(教材二次开发:练习改编)根据数列的通项公式填表:n125nan195n2-2n【解析】由题表可知,a1=12-21=-1,a2=22-22=0,a5=52-25=15,由n2-2n=195,解得n=15或n=-13(舍).答案:-1015155.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:(1),(),;(2),(),;(3)2,1,(),;(4),(),.【解析】(1)根据观察:分母的最小公倍数为12,把各项都改写成以12为分母的分数,则序号1234 56()于是括号内填,而分子恰为10减序号,故括号内填,通项公式为an=.(2)=,=,=,=.只要按上面形式把原数改写,便可发现各项与序号的对应关系:分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根,分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填,通项公式为an=.(3)因为2=,1=,=,所以数列缺少部分为,括号内填,数列的通项公式为an=.(4)先将原数列变形为1,2,(),4,所以括号内应填3,数列的通项公式为an=n+.