2021-2022版高中数学-第二章-数列-2.1.1-数列的概念与简单表示法学案-新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列的概念与简单表示法学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列的概念与简单表示法学案 新人教A版必修5

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第二章 数列
2.1　数列的概念与简单表示法
第1课时　数列的概念与简单表示法
学习
目标
1.理解数列及其有关概念.(数学抽象)
2.学会用列表法、图象法、通项公式法表示数列.(数学抽象、直观想象)
3.理解数列是一种特殊的函数,能从函数的观点研究数列.(数学抽象)
必备知识·自主学习
导
思
1.数列的定义是什么?
2.数列是怎样分类的?
3.数列与函数有什么关系?
4.数列的通项公式的含义是什么?
1.数列及其有关概念

2.数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列

无穷数列
项数无限的数列
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如表:
定义
域
正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})
解析式
数列的通项公式
值域
由自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成
表示
方法
(1)通项公式(解析法);(2)列表法;(3)图象法

　数列的图象有什么特点?
提示:数列的图象是一系列孤立的点.
4.数列的通项公式
(1)定义:如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)本质:数列的通项公式实际就是数列的函数解析式.
(3)作用:①写出数列的任意一项;②判断一个数是否是数列的项;③分析数列的性质.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列. (　　)
(2)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的. (　　)
(3)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n. (　　)
提示:(1)×.两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.
(2)×.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.
(3)×. 第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.
2.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的(　　)
A.第9项 B.第10项 C.第11项 D.第12项
【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,
所以n=11或n=-11(舍去).
3.(教材二次开发:例题改编)数列1,2,,,,…的一个通项公式为an=　　　　. 
【解析】因为a1=1=,a2=2=,
a3=,a4=,a5=,所以an=.
答案:
关键能力·合作学习
类型一　数列的概念以及分类(数学抽象)

　1.(2020·兰州高二检测)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是 (　　)
A.-1,-2,-3,-4,… B.-1,-,-,-,…
C.-1,-2,-4,-8,… D.1,,,
2.若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是 (　　)
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列
3.已知下列数列:
①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;
②1,,,…,,…;
③1,-,,…,,…;
④1,0,-1,…,sin,…;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　,递增数列是　　　　,递减数列是　　　　,常数列是　　　　,摆动数列是　　　　(填序号). 
【解析】1.选B.A,B,C中的数列都是无穷数列,但是A,C中的数列都是递减数列.
2.选A.an+1-an=2n+1-2n=2n>0,所以an+1>an,即{an}是递增数列.
3.①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列、递减数列;③为无穷数列、摆动数列;④为摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.
答案:①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④

　理解数列概念要注意的三点
(1)区分集合:数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.
(2)项的理解:从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
(3)规律性:数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.
　　　【补偿训练】
　 　1.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (　　)

A.1,,,,…
B.sin ,sin ,sin ,sin ,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,2,3,4,…,30
【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,
sin ,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.
2.下列数列
(1)1,2,22,23,…,263;
(2)0,10,20,30,…,1 000;
(3)2,4,6,8,10,…;
(4)-1,1,-1,1,-1,…;
(5)7,7,7,7,…;
(6),,,,….
其中有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　,递增数列是　　　　,递减数列是　　　　,摆动数列是　　　　,常数列是　　　　.(填序号) 
【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是 (3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是 (4),常数列是(5).
答案:(1)(2)　(3)(4)(5)(6)　(1)(2)(3)　(6)　(4)　(5)
类型二　归纳法求数列的通项公式(逻辑推理)
　角度1　根据数列的前几项归纳通项公式 
【典例】写出下列数列的一个通项公式:
(1),2,,8,,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9 999,…;
(4),,,,…;
(5),,,,…;
(6)4,0,4,0,4,0,….
【思路导引】首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.
【解析】(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:,,,,,…,所以,它的一个通项公式为an=.
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an==.
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·.
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=
又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.

　将本例(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式?
【解析】此数列为摆动数列,奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=此数列两项3与5的平均数为=4,奇数项为4-1,偶数项为4+1,故通项公式还可写为an=4+(-1)n.
　角度2　根据图形归纳通项公式 
【典例】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能表示成三角形,将其称为三角形数;与之类似,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 (　　)

A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378
【思路导引】首先确定两个数列的通项公式,再验证哪个选项符合要求.
【解析】选C.由题图形可得三角形数构成的数列通项公式an=,同理可得正方形数构成的数列通项公式bn=n2,而所给的选项中只有1 225满足a49==b35=352=1 225.

1.依项的特征求通项公式
(1)分式中分子、分母的特征;
(2)相邻项的变化特征;
(3)拆项后的特征;
(4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想,从而求出通项公式.
2.转化到基本数列
观察、分析数列中各项的特点,观察出项与序号之间的关系、规律,通过对项的适当变形转化到我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.

1.根据如图所示的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式an=　　　　. 

【解析】由a1=1=5×1-4,a2=6=5×2-4,a3=11=5×3-4,…,归纳an=5n-4.
答案:5n-4
2.写出下列数列的一个通项公式:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2)1,2,3,4,…;
(3)1,11,111,1 111,….
【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1(n∈N*).
(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=(n∈N*).
(3)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9 999,…,易知数列9,99,999,9 999,…的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(n∈N*).
　　　【补偿训练】
　　1.图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:

　通过观察可以发现:在第n个图形中,火柴棒有　　　　根. 
【解析】第1个图形中,火柴棒有4根;
第2个图形中,火柴棒有4+3根;
第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+3×2根;
第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根;
…
第n个图形中,火柴棒有4+3(n-1)=3n+1根.
答案:3n+1
2.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1) 3,5,7,9,11,13,…;
(2),,,,, …;
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…;
(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,…;
(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,….
【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.
(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积
an=;
(3)an=或an=;
(4) 将数列变形为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, …,
所以an=n+;
(5) 将数列变形为1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,…,
所以an=(-1)n+1n(n+1).
类型三　数列通项公式的简单应用(逻辑推理、数学抽象)
【典例】已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)求a10;
(2)判断是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由;
(3)求证:0<an<1.
【解析】(1)根据题意可得a10==.
(2)令an=,即=,
解得n=3,
所以为数列{an}中的项,为第3项.
(3)由题意知an==1-,
因为n∈N*,所以3n+1>3,
所以0<<1,
所以0<1-<1,即0<an<1.

1.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
2.判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.

　在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2 017;
(3)2 018是否为数列{an}中的项?
【解析】(1)设an=kn+b(k≠0),则有
解得k=4,b=-2.
所以an=4n-2.
(2)a2 017=4×2 017-2=8 066.
(3)令2 018=4n-2,解得n=505∈N*,
所以2 018是数列{an}的第505项.
　　　【补偿训练】
　　　已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)写出数列的第4项和第6项.
(2)试问是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.
　【解析】(1)因为an=,
所以a4==,
a6==.
(2)令=,则n2+3n-40=0,
解得n=5或n=-8,注意到n∈N*,
故将n=-8舍去,所以是该数列的第5项.
课堂检测·素养达标
1.有下列命题:
①数列,,,,…的一个通项公式是an=;
②数列的图象是一群孤立的点;
③数列1,-1,1,-1,…与数列-1, 1,-1,1,…是同一数列;
④数列,,…,是递增数列.
其中正确命题的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
【解析】选A.由通项公式知a1=≠,故①不正确;易知②正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,所以④不正确.
2.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的 (　　)
A.第23项 B.第24项
C.第25项 D.第26项
【解析】选B.an=n(n+1)=600=24×25,所以n=24.
3.在数列{an}中,an=51-n,则a3等于　　　　. 
【解析】由已知得a3=51-3=.
答案:
4.(教材二次开发:练习改编)根据数列的通项公式填表:
n
1
2
…
5
…

…
n
an

…

…
195
…
n2-2n
【解析】由题表可知,a1=12-2×1=-1,
a2=22-2×2=0,a5=52-2×5=15,
由n2-2n=195,解得n=15或n=-13(舍).
答案:-1　0　15　15
5.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:
(1),,,(　　),,,…;
(2),(　　),,,,…;
(3)2,1,(　　),,…;
(4),,(　　),,….
【解析】(1)根据观察:分母的最小公倍数为12,
把各项都改写成以12为分母的分数,则序号
1　　2　　3　　4　　 5　　6
↓　↓　↓　　↓　　↓　↓
　　　(　　)　　
于是括号内填,而分子恰为10减序号,
故括号内填,通项公式为an=.
(2)=,=,
=,=.
只要按上面形式把原数改写,便可发现各项与序号的对应关系:分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根,分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填,通项公式为an=.
(3)因为2=,1=,=,所以数列缺少部分为,括号内填,数列的通项公式为an=.
(4)先将原数列变形为1,2,(　　),4,…,所以括号内应填3,数列的通项公式为an=n+.