江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二数学下学期第一次阶段考试试题.doc

江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二数学下学期第一次阶段考试试题

江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二数学下学期第一次阶段考试试题

年级：
姓名：

15

江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二数学下学期第一次阶段考试试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若是纯虚数(为虚数单位)，则实数的值为 ( )
A．1 B． C． D. 以上都不对
2．设集合均为的非空真子集，且，则=
A． B． C． D． ( )
3．欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”. 该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的. 根据欧拉公式，在复平面内对应的点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.“”是“”的( )条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．函数在上是增函数
B．是函数的极小值点
C．
D．
6．已知函数在上满足，则曲线在
点处的切线方程为 ( )
A． B．
C． D．
7．已知函数，若使得成立，则实
数的取值范围是 ( )
A． B． C. D.
8．对于任意两个数，定义某种运算“”如下：
①当或时，；
②当时，.则集合的子集个数是
A．个 B．个 C．个 D．个 ( )
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设集合，，若，则实数a的值可以为 ( )
A． B．0 C．3 D．
10．下列命题正确的有 ( )
A．复数满足，则的虚部为
B．若为复数，则
C．若，且，则的取值范围是
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
11．已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有 ( )
A． B．在区间[0，3]的最大值为0
C．只有一个零点 D．的极大值是正数
12．定义在上的函数满足，则下列说法正确的是
A．在处取得极小值，极小值为 B．只有一个零点
C．若在上恒成立，则 D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)的定义域为________，函数y＝f(2x＋1)的定义域为 ．(第一空2分，第二空3分)
14．已知且，则实数的值为 .
15．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下（ 为虚数单位）：甲：; 乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数 .
16．若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）计算：.
（2）若复数z满足方程：（为虚数单位)，求复数.

18．设集合，集合.
（1）若，求和；
（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.

19．已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）当时，求在上的极值；
（2）当时，若在上是单调增函数，求的取值范围．

20．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.

21．已知函数，函数在点处的切线斜率为0.
（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.

22．已知函数．
（1）若且方程有解，求的取值范围.
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

段 考
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.若是纯虚数(为虚数单位)，则实数的值为 ( )A
A.1 B. C. D. 以上都不对

2. 设集合均为的非空真子集，且，则=
A. B. C. D. ( )D

3. 欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”. 该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的. 根据欧拉公式，在复平面内对应的点在 ( )C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.“”是“”的( )条件.B
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要

5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．函数在上是增函数 D
B．是函数的极小值点
C．
D．

6. 已知函数在上满足，则曲线在
点处的切线方程为 ( )C
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若使得成立，则实
数的取值范围是 ( )C
A. B. C. D.

8. 对于任意两个数，定义某种运算“”如下：
①当或时，；
②当时，.则集合的子集个数是
A．个 B．个 C．个 D．个 ( )B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设集合，，若，则实数a的值可以为 ( ) ABD
A. B. 0 C. 3 D.

10. 下列命题正确的有 ( )AD
A. 复数满足，则的虚部为
B. 若为复数，则
C.若，且，则的取值范围是
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线

11. 已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有 ( )BC
A． B．在区间[0，3]的最大值为0
C．只有一个零点 D．的极大值是正数
12. 定义在上的函数满足，则下列说法正确的是
A. 在处取得极小值，极小值为 ( )BCD
B. 只有一个零点
C.若在上恒成立，则
D.

高二数学段考答案
选择题
1-8 ADCBDCCB
9-12 ABD AD BC BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ； 14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：.
解：
.------------------------------------5分
（2）若复数z满足方程：（为虚数单位)，求复数.
解：设 ，
则由，得： ，
即，或 故 或,所以---10分

18. 设集合，集合.
（1）若，求和；
（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）.
因为，所以，
所以，；-------------6分
（2）因为是成立的必要不充分条件，所以，
当时，，得
当时，，得，
所以实数的取值范围.--------------------------------------6分
19. 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）当时，求在上的极值；
（2）当时，若在上是单调增函数，求的取值范围．
解：（1）当时，有极大值为，当时，有极大值为.
------------------------------------------5分
（2）因为在上是单调增函数，
所以在上恒成立，
又，所以在上恒成立．
令，又，故对称轴为．
①当，即，在上单调递增，
且，所以此时恒成立．
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
因为在上恒成立，所以，
即，解得，这与矛盾．
综上，的取值范围是．-----------------------------------------12分

20. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.
解：（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，
由题意可得，当时，；
当时，；
所以；---------------------------4分
（2）由（1）可得，当，，
当且仅当时，等号成立；
当时，，则，
所以，当时，，即函数单调递增；当时， ，即函数单调递减；
所以当时，取得最大值；
综上，当时，取得最大值万元；即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元. -----------------------------12分

21. 已知函数，函数在点处的切线斜率为0.
（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
解：（1）由题可得函数的定义域为且，
由，整理得.
.
（ⅰ）当时，易知，，时.
故在上单调递增，在上单调递减.
（ⅱ）当时，令，解得或，则
①当，即时，在上恒成立，则在上递增.
②当，即时，当时，；
当时，.
所以在上单调递增，单调递减，单调递增.
③当，即时，当时，；当时，.
所以在上单调递增，单调递减，单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在单调递减.
当时，在及上单调递增；在上单调递减.
当时，在上递增.
当时，在及上单调递增；在上递减.
-----------------------------5分
（2）满足条件的、不存在，理由如下：
假设满足条件的、存在，不妨设，且，
则，
又，
由题可知，整理可得：，
令（），构造函数（）.
则，
所以在上单调递增，从而，
所以方程无解，即无解.
综上，满足条件的A、B不存在.--------------------------------------12分

22. 已知函数．
（1）若且方程有解，求的取值范围.
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
解：（1）由
得的定义域为，且
因为，令，得，令，得
所以函数在上为增函数，在为减函数，
且当时，有极小值，无极大值．要使得方程，则必须 ，则，此时，当时，，所以方程必有解，所以. -------------------------5分
（2）恒成立，即恒成立，
令，则
令
显然是增函数，且
，使即
且当时，时，

在上是增函数，在上是减函数
∴当时，有最大值
所以整数的最小值为2------------------------12分