安徽省皖西南联盟2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题-理.doc

安徽省皖西南联盟2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

安徽省皖西南联盟2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

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安徽省皖西南联盟2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
考生注意：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2. 请将各题答案填写在答题卡上.
3. 本试卷主要考试内容：人教版必修2，必修3，选修2—1.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设命题：，，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 椭圆的短轴长为（ ）
A. B. C. 3 D. 6
3. 某高中高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动，倡导学生回家帮父母做家务，体验父母的艰辛.某同学要在周一至周五任选两天做家务，则该同学连续两天做家务的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平行六面体中，与的交点记为.设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A. B.
C. D.
5. 已知双曲线：经过点，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，，是三个不同的平面，是一条直线.（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7. 已知函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 若双曲线：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）

A. 153 B. 143 C. 133 D. 123
10. 斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，且过的左焦点，线段的中点为，的右焦点为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
11. 在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知为直线：上一个定点，，为圆：上两个不同的动点.若的最大值为，则点的横坐标为（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
二，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 设向量，，，则实数________.
14. 在中，已知，，若边所在的直线方程为，且边的中线所在的直线方程为，则过点且与直线平行的直线方程为__________.（用一般式表示）
15. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，现有下列四个结论：
①该次课外知识测试及格率为；
②该次课外知识测试得满分的同学有30名；
③该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数；
④若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名.
其中所有正确结论的序号是________.

16. 已知点是抛物线上一动点，则的最小值为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线：与直线：垂直，且经过点.
（1）求的方程；
（2）若与圆：相交于，两点，求.
18. 某企业投资两个新型项目，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的散点图如图所示.

（1）求关于的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，若，两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
19. 如图，在正方体中，为的中点.

（1）证明：平面.
（2）若为底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值.
20. 如图，在中，，，，，，沿将点折至处，使得，点为的中点.

（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
21. 已知抛物线：和圆：交于，两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于，两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明直线，的斜率之积为定值，并求该定值.
22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，且.
（1）求的方程.
（2）若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点.

2020年高二第一学期期末考试
数学试题参考答案（理科）
一、选择题
1. A ：，.
2. B 因为，所以，则椭圆的短轴长.
3. D 周一至周五任选两天的所有情况为（周一、周二）、（周一、周三）、（周一、周四）、（周一、周五）、（周二、周三）、（周二、周四）、（周二、周五）、（周三、周四）、（周三、周五）、（周四、周五），共10种，其中连续两天的有4种，故所求概率为.
4. B .
5. C 依题意可得，解得，则的渐近线方程为.
6. D 若，，则或与相交，故A与B均不正确.若，，则可能与这两个平面的交线平行，故C不正确.若，，则，故D正确.
7. A 若，则，因为，所以，故选A.
8. C 的标准方程为，依题意可得，解得，则.
9. B ∵，，∴，由算法的功能可知，输出的.
10. C 易知直线的方程为，当时，，所以.设，，则，则，整理得，解得，则的周长为.
11. D 由，，可知.因为，，所以，即.设的中点为，则，即四面体的外接球半径为，外接球表面积为.
12. A 圆的标准方程为，其圆心，半径.
因为点到的距离，所以与圆相离，所以当，分别为圆的切线时，最大，此时，所以.设，则，解得.
二、填空题
13. -6 因为，所以，解得.
14. 设，则边的中点坐标为，代入，得.又，解得，则点的坐标为.因为，所以所求直线方程为，即.
15. ①③ 由图可知及格率，故①正确.该次课外知识测试满分同学的百分比，名，故②错误.中位数为80分，平均数分，故③正确.，故①错误.
16. 6 由，得，则的焦点为，准线为：.的几何意义是点到与点的距离之和，根据抛物线的定义点到的距离等于点到的距离，所以的最小值为.
三、解答题
17. 解：（1）依题意可得，
解得，，
故的方程为.
（2）因为点到的距离，
所以.
18. 解：（1），，
，
则，
故关于的线性回归方程为.
（2）若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元；
若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元.
因为，所以可预测项目的收益更好.
19.（1）证明：因为在正方体中，，
所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，，，.
因为，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.

20.（1）证明：由，，且，
可得平面，因此.
由，，得，
因此，，由勾股定理可得.
又因为点为的中点，所以，
而，故平面.
（2）解：因为，，所以平面，又，所以平面.
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，
易知是平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则，即，
令，得.
，
易知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

21.（1）解：由为坐标原点，且，得直线的方程为，
代入圆的方程，得，解得或，则.
将点的坐标代入的方程，得，则，
故的方程为.
（2）证明：由（1）可知，：.
设直线的方程为，
联立，整理得，
.
设，，则，
所以点的横坐标为，
则，
所以，故是定值，且定值为.
22.（1）解：因为，所以，
所以，又，所以，，
故的方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，，设直线的方程为，设，，由，得，
则，
且，.
设直线，的倾斜角分别为，，则，，
所以，即，
所以，
所以，
化简可得，
所以直线的方程为，故直线过定点.