陕西省西安中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题-理.doc

陕西省西安中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

陕西省西安中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

年级：
姓名：

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陕西省西安中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 抛物线的焦点坐标是     
A. B. C. D.
2. 设直线、的方向向量分别为，，若，则等于  
A. 1 B. 2 C. D. 3
3. “若或，则”的否命题为     
A. 若或，则 B. 若，则或
C. 若或，则 D. 若且，则
4. 下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是     
长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
平行且模相等的两个向量是相等向量；
若，则； 两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 过抛物线E：焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则     
A. 2 B. C. 3 D. 4
6. 函数的单调递减区间为   
A. B. C. D.
7. 已知双曲线C的一条渐近线的方程是：，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是     
A. B. C. D.
8. 对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且，则，，是P，A，B，C四点共面的     
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 椭圆的右焦点为F，若存在直线与椭圆C交于A，B两点，使得为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率     
A. B. C. D.
10. 已知函数，当时，在内的极值点的个数为     
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第11题
11. 如图，已知正方体，Q是平面ABCD内一动点，若与所成角为，则动点Q的轨迹是     
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 抛物线 D. 圆
12. 双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与C的左支交于M，N两点，若，，则C的渐近线方程为     
A. B.   C.   D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是           ．
14. 在空间直角坐标系中，，平面BCD的一个法向量是，则点A到平面BCD的距离为           ．
15. 过椭圆内一点引一条弦，使弦被M平分，则此弦所在直线方程为           ．
16. 设，则的最小值为           ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 本题满分10分
求焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 的双曲线的标准方程；
求经过点的抛物线的标准方程．
18. 本题满分12分如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且为等边三角形．
求证：；
求二面角的正弦值．
19. 本题满分12分已知函数，在点处的切线方程为，求：
实数a，b的值；            
函数的单调区间以及在区间上的极值．
20. 本题满分12分如图1，在中，，，别为棱BM，MC的中点，将沿AD折起到的位置，使，如图2，连结PB，PC
求证：平面平面ABCD；线段PC上是否存在一点E，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21. 本题满分12分在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点连线的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C
求曲线C的方程；
若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由.
22. 本题满分12分已知函数，．
求函数的单调区间
若，使不等式成立，求a的取值范围．

西安中学2020～2021学年度第一学期期末考试
高二理科数学答案

一、选择题：(5分×12=60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
D
B
C
C
D
B
B
C
C
B
二、填空题(5分×4=20分)
13.   14.    15.    16.   
三、解答题(共70分，17题10分，其余均为12分)

17. 解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为．
由题意，得解得，．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为； …………………………. 5分
解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：或
在第一种情形下，求得抛物线方程为：；
在第二种情形下，求得抛物线方程为：  …………………………. 5分
18. 1证明：四边形ABCD为正方形，所以，平面平面ABCD，平面平面ABCD，
平面
又平面，所以。…………………………. 4分           
2解：取AD中点记为，连结.由于为等边三角形，为AD中点，
又平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，
在平面ABCD内过作直线平行于，建立如图所示的空间直角坐标系，
………………………. 6分 
则，，，
，
平面PAD的一个法向量为．
…………………………. 8分
设平面PAC的一个法向量，
则有，
令，则…………………………. 10分
则有，
则二面角的正弦值…………………………. 12分
19. 解：因为在点处的切线方程为，
所以切线斜率是，且，
求得，即点，…………………………. 2分
又函数，则，
所以依题意得，解得．…………………………. 5分
由知
所以，
令，解得或，
当或；
当的单调递增区间是，，
单调递减区间是，…………………………. 8分
又，
所以当x变化时，和变化情况如下表：
x
0

2

3

0

0

4
减
极小值
增
1
…………………………. 11分
由表可知，当时，有极小值…………………………. 12分
20. Ⅰ证明：因为A，D分别为MB，MC中点，所以．
因为，所以所以．
因为，所以．
又因为，AB，AD 平面ABCD，
所以平面ABCD．
又因为平面PAD，所以平面平面   
…………………………. 4分           
Ⅱ解：因为，，，所以AP，AB，AD两两互相垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
假设线段PC上存在一点E，使二面角的余弦值为．
设，，
则，
即．
所以，…………………………. 6分
，．
平面PAD的一个法向量为0，．
设平面ADE的一个法向量，
则有，
令，则0，．…………………………. 8分
若二面角的余弦值为，
则有，…………………………. 10分
由，解得．
故线段PC上存在一点E，使二面角的余弦值为，且．  
…………………………. 12分
21. 解：设，，则，
整理得曲线C的方程为 ………………………….4分
 设，，由题意知l的斜率一定不为0，
故不妨设l：，代入椭圆方程整理得：
   ，，
，． ………………………….8分
假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，
其充要条件为．
则点E的坐标为………………………….10分
把E的坐标代入得 可得：．解得．
直线l的方程为   ………………………….12分
22. （1）
当时，在上单调递减；
当时，令，得
由，得的单调递增区间为
由，得的单调递减区间为
综上，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为的单调递减区间为
………………………….5分
（2），使不等式，则，即.
设，则问题转化为，………………………….6分
由令，则.………………………….8分
当在区间内变化时，和变化情况如下表：

单调递增
极大值
单调递减
由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为， .………………………….12分