四川省仁寿第一中学校南校区2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题.doc

四川省仁寿第一中学校南校区2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题

四川省仁寿第一中学校南校区2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题

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四川省仁寿第一中学校南校区2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）
注意事项：
1.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号和座位号填写在答题卡规定的位置上；
3.回答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
4.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡规定的位置上；
5.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（每题5分，满分60分）
1.下列函数中,在区间上为增函数的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求；
对B，在上为减函数，不符合题意；
对C，为上的减函数，不符合题意；
对D，在上为减函数，不符合题意.
故选A.
考点：函数的单调性，容易题.

2.函数y=是 （ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
【答案】B
【解析】
试题分析：因,故是偶函数,故应选B.
考点：函数的奇偶性及判定.
3.已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性判断即可.
【详解】因为,故,且.故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据指数函数的单调性判断函数值的大小问题,属于基础题.
4.我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( )
A. 45,75,15 B. 45,45,45 C. 45,60,30 D. 30,90,15
【答案】C
【解析】
因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为，故各年级分别应抽取，，，故选C.
5.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选C

6.已知是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中不正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面平行与垂直的的性质与判定逐个判断或举出反例即可.
【详解】对A,当,时不一定成立,故A错误.
对B,根据线面垂直的性质可知,当,时.故B正确.
对C,根据线面垂直的性质可知,当,时.故C正确.
对D,根据面面垂直的判定可知,当,有.故D正确.
故选：A
【点睛】本题主要考查了线面垂直与平行的判定.属于基础题.
7.在两袋中都有4张分别写有数字1，2，3，4的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为6的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用列举法将所有可能的情况列出再分析满足条件的情况数,再利用古典概型的公式求解即可.
【详解】设袋中的卡牌数字为,袋中的卡牌数字为,抽取出来的组合情况为.
则所有可能的情况有
.共16种情况.
其中满足两张卡片上数字之和为6的情况有共三种情况.
故两张卡片上数字之和为6的概率为.
故选：C
【点睛】本题考查了利用列举法求解古典概型的问题,属于基础题.
8.已知在四面体中，分别是的中点，，
则与所成的角的度数为( )
A. 0　 B. 0　　　 C. 0　　 D. 0
【答案】A
【解析】
略
9.已知函数的导函数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求,再代入即可.
【详解】.故.
故选：B
【点睛】本题主要考查了导函数的求值,属于基础题.
10.如图，是高二（20）班一次物理考试成绩的频率分布直方图，由此可以估计出这个班这次物理成绩的中位数是（ ）

A. 58 B. 60 C. 62 D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中位数左右两边的频率均为0.5求解即可.
【详解】因为在区间中的频率为,
在区间中的频率为,
在区间中的频率为.
因为,.故中位数在间,设为.
则,解得.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求解中位数方法,属于基础题.
11.若方程有且只有一个正根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题有且只有一个正根,再分别画出与的函数图像分析求解实数的取值范围即可.
【详解】由题有且只有一个正根,分别画出与的函数图像可得

易得临界条件为当与.故实数的取值范围是或.
故选：B
【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,属于基础题.
12.定义在上的函数满足，且当时，成立，若，，，则的大小关系是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意构造函数,再根据的奇偶性与单调性分别判断的大小关系即可.
【详解】构造函数,则当时,.
又,故,故,
即为奇函数.所以在上是减函数.
又,,,故.
故,即.
故选：D
【点睛】本题主要考查了构造函数以及根据函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小关系.属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在区间上随机选取一个数，则的概率是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据几何概型中线段长度的比例关系求解即可.
【详解】由题, 区间的长度为,满足的长度为.根据几何概型中长度的概率类型可知, 在区间上随机选取一个数,则的概率是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了长度型的几何概型问题,属于基础题.
14.阅读下面的程序框图，则输出的=

【答案】30
【解析】
【详解】试题分析：程序执行过程中数据的变化如下：
，输出S=30
考点：程序框图
点评：程序框图题目主要是分析清楚循环结构执行的次数
15.若直线是曲线的一条切线，则实数 ．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析:设切点为,因,故切线的斜率,则,即.所以切点代入可得,故应填答案.
考点：导数的几何意义及运用．
【易错点晴】本题以直线是曲线的一条切线为背景,考查的是导函数几何意义及导数语切线方程之间的关系的应用问题.解答本题的关键是搞清导函数值是函数在切点处的导函数的值就是切线的斜率,求解时先将切点的坐标设出来,然后再借助这些条件建立方程求出切点坐标为.再将其代入求出,从而使得问题最终获解.
16.已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为______.

【答案】
【解析】
【分析】
根据导函数与单调性的关系,分与两种情况讨论求解即可.
【详解】由图,当时,若不等式则,函数单调递增,此时；
当时,若不等式则,函数单调递减,此时.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性与导函数的关系求解不等式的问题,需要根据题意分情况讨论函数的单调区间求解.属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺汇演的主持人.
（1）请你用列举的方法表示所有可能的结果.
（2）求选出的恰为一男一女的概率.
【答案】（1）十种：，，，，，，，，，（2）
【解析】
【分析】
(1)设三名男生分别为,两名女生分别为,再按顺序列举即可.
(2)根据(1)中列出的10种情况,再分析一男一女的情况数从而得出概率即可.
【详解】(1) 设三名男生分别为,两名女生分别为,则所有可能的情况有：
,,,,,,,,,共10种.
(2)由(1), 一男一女的情况有,,,,,,共6种,故选出的恰为一男一女的概率为.
【点睛】本题主要考查了枚举法求解古典概型问题,需要根据题意设对应的编码再逐个列举.属于基础题.
18.已知公差大于0的等差数列的前项和为，且满足，.
（1）求.
（2）求Sn
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据等差数列的性质以及基本量求解首项和公差即可.
(2)根据等差数列的求和公式求解即可.
【详解】解：（1）根据等差数列的性质有,故,解得或,因为公差大于0, 故,故.
设等差数列的公差为,则,故
即
（2）因为为等差数列,故 .
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量法求解以及性质的运用,同时也考查了等差数列的前项和求解.属于基础题.
19.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求.
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理边化角,再利用求解即可.
(2)根据余弦定理化简可得的值,再用三角形面积公式求解即可.
【详解】解：（1）根据正弦定理边化角,得,因为,故,即,,
（2）由余弦定理知,即
由知

【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角以及余弦定理与面积公式的运用,属于基础题.
20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）12
【解析】
（Ⅰ）因为
又是平面PAC内两条相较直线，所以BD平面PAC，
而平面PAC，所以.
（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，
所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.
由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积
在等腰三角形ＡＯＤ中，
所以
故四棱锥的体积为.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积

21.过点直线交抛物线于，两点，抛物线的顶点是.
（1）证明：为定值；
（2）若中点横坐标为2，求的长度及的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【解析】
【分析】
(1)设直线,联立抛物线方程消元得出关于的韦达定理,再根据平面向量的坐标运算求解即可.
(2)根据(1)中的韦达定理结合弦长公式求解即可.
【详解】解：（1）显然直线斜率不为0,故设直线,联立
消元得,所以.
为定值.
（2）由（1）问知,,

此时直线的方程：.
【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达平面向量的坐标运算的问题.同时也考查了弦长公式的运用,属于中档题.
22.已知函数.
（1）若曲线在处的切线与轴平行，求实数的值.
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】
【分析】
(1)求导后根据导数的几何意义求解即可.
(2)求导后因式分解,再讨论当时导函数的正负,再讨论当时导函数的正负以及原函数的单调性即可.
【详解】解：（1）,由题意可得,
即,解得
（2）函数定义域为
①当时,可知在上,,单调递增；
在上,,单调递减.
②当时,令,
1.若,在上,,单调递增；
2.若,则.故在上,,单调递减；
在,上,,单调递增
3.若,此时.则在,上,单调递增；
在上,单调递减.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及对含参数的函数进行单调性的讨论问题.需要根据导数的结构因式分解,再根据二次函数的图像对导数进行零点大小以及正负的分析,从而得到原函数的单调区间.属于中档题.