黑龙江省大庆市2021届高三数学下学期4月第二次教学质量监测试题理.doc

黑龙江省大庆市2021届高三数学下学期4月第二次教学质量监测试题理

黑龙江省大庆市2021届高三数学下学期4月第二次教学质量监测试题理

年级：
姓名：

- 18 -

黑龙江省大庆市2021届高三数学下学期4月第二次教学质量监测试题（二模）理
2021.04
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第I卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x>2}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝
A.{3，4} B.{0，3，4} C.{0，1，2} D.{0}
2.设i是虚数单位，则复数z＝2i(3－2i)对应的点在复平面内位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.
A. B. C. D.
4.已知直线l：x＋y＋1＝0与圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝8相交于A，B两点，则弦AB的长度为
A. B.2 C.2 D.4
5.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断不正确的是
A.若m⊥α，nα，则m⊥n。
B.若m，n都与l相交且m//n，则直线m，n，l共面。
C.若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β。
D.若m，n，l两两相交，且交于同一点，则直线m，n，l共面。
6.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－3，则a6＝
A.72 B.96 C.108 D.126
7.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是

A.2 B. C. D.
8.已知向量＝(2，1)，＝(－1，x)，||≤3，(2＋)⊥，则x的值为
A.－ B.－1 C.1 D.－3
9.日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度。我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同。二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始。已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是

A.白露比立秋的晷长长两尺 B.大寒的晷长为一丈五寸
C.处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D.立春的晷长比立秋的晷长长
10.函数f(x)＝的部分图象大致是

11.设F1，F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，F1，F2分别为左、右焦点，C1与C2在第一象限的交点为M。若△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且双曲线C2的离心率e∈[2，]，则椭圆C1离心率的取值范围是
A.[，] B.[0，] C.[，] D.[，1]
12.若指数函数y＝ax(a>1)与函数y＝x4的图象恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是
A.(1，) B.(1，) C.(1，e4) D.(1，)
第II卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.“十三五”期间，中国有5575万农村贫困人口实现脱贫。为防止返贫，继续巩固脱贫成果，进一步推进乡村振兴，市扶贫办在A乡镇的2个脱贫村与B乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村来自同一乡镇的概率为 。
14.某机构一年需购买消毒液300吨，每次购买x吨，每次运费为3万元，一年的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 。
15.定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则函数f(x)的图象与g(x)＝的图象的交点个数为 。
16.已知抛物线y2＝2px(p>0)，圆(x－)2＋y2＝1与y轴相切，斜率为k的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点(A，B两点在x轴的同一侧)，若，λ∈[2，4]，则k2的取值范围为 。
三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
17.(本小题满分12分)
在①(sinB＋sinC)2＝sin2A＋3sinBsinC，②c＝acosB＋b这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题。
在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且 。
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC是锐角三角形，且b＝2，求c的取值范围。
(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)
18.(本小题满分12分)
随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨。为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券。为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的。

(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？
(2)为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈。用随机抽样的方法从该市45岁及以下市民中每次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立，记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为X，以样本频率作为概率，求随机变量x的分布列和数学期望E(X)。
附：，其中n＝a＋b＋c＋d。

19.(本小题满分12分)
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在棱BB1上运动，F为DD1的中点。

(1)若E为BB1中点，求证：AE//平面BC1F；
(2)若＝λ，求当λ为何值时，二面角B－C1F－E的平面角的余弦值为。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆E：的长轴长为4，离心率为。
(1)求椭圆E的方程；
(2)点F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，若过点F2的直线交椭圆E于A，B两点，过点F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求|AB|＋|CD|的最小值。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝alnx＋＋x(a≠0)。
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a>0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)为曲线F(x)＝f(x)－－x上两个不同的点，且0<x1<x2。若存在x3∈(x1，x2)，使曲线y＝F(x)在点P(x3，F(x3))处的切线与直线AB平行，证明：。
请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝。
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P(0，)，若直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|x＋3|＋|x－2|的最小值为M。
(1)求M；
(2)设a，b，c均为正实数，且2a＋2b＋c＝M，证明：。

大庆市高三年级第二次教学质量检测
理科数学答案及评分标准
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
B
C
D
B
D
C
B
A
C
A

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．； 14． ； 15． ； 16．．
三．解答题
17．（本小题满分12分）
解：（1）选条件①，
因为，
所以，
根据正弦定理得，， ……………2分
由余弦定理得，， ……………4分
因为是的内角， ……………5分
所以． ……………6分

选条件②，
因为，
由正弦定理得，， ……………2分
因为,,是的内角，所以，
所以，
展开得，，
因为是的内角，所以，
所以， ……………4分
因为是的内角， …………… 5分
所以． ……………6分
（2）因为，为锐角三角形，
所以，
解得． ……………8分
在中，，
所以，
即， ……………10分
由可得，，
所以，
所以． ……………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人，
没使用过政府消费券的人数为人，
完成表格如下：

使用过政府消费券
没使用过政府消费券
总计
45岁及以下
90
30
120
45岁以上
50
30
80
总计
140
60
200

……………2分

由列联表可知， ……………4分
因为，
所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关． ……………6分
（2）由题意可知，从该市45岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，
没使用政府消费券的频率为，所以，
的所有可能取值为0，1，2，3， ……………7分
，
，
，
， ……………9分
所以的分布列为：

0
1
2
3

……………10分
所以． ……………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）取中点为，连接、，
因为是正方体，点和为所在棱中点，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥， ……………2分
在正方形中，点和为中点，
所以∥， ……………3分
所以∥， ……………4分
又因为，， ……………5分
所以//平面． ……………6分

（2）
因为为正方体，
所以，
以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方体棱长为1，
则，
所以，，
， ……………7分
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即 ，
取，则，故， ……………8分
又，即 ，
取，则，故， ……………9分
设二面角的平面角为，
则， ……………10分
整理得，
可化简为，
解得，
所以当时，二面角的平面角的余弦值为． ……………12分

20．（本小题满分12分）
解：（1）因为椭圆的长轴长为4，
所以，即． ……………1分
又因为椭圆的离心率为，
，
即， ……………2分
所以，
所以椭圆的方程为． ……………4分
（2）法一：
当斜率为0时，
，，，
同理，当斜率不存在时，也有． ……………5分
当斜率存在且不为0时，
设斜率为，则方程为，
设，
联立得，
易知，
且，， ……………6分
由弦长公式得，
，……………8分
设，
因为，所以直线的斜率为，
所以， ……………9分
所以，

， ……………10分
因为，当且仅当即时取“=”，
所以， .……………11分
显然，
所以的最小值为，此时. .……………12分

法二：
当斜率为0时，
，，，
同理，当斜率不存在时，也有． ……………5分
当斜率存在且不为0时，
设斜率为，则方程为，
设，
联立得，
易知，
且，， ……………6分
由弦长公式得，
，……………8分
设，
因为，所以直线的斜率为，
所以， ……………9分
所以， ……………10分
所以，
当且仅当时取“=”，此时， ……………11分
因为，
所以的最小值为，此时． ……………12分
21．（本小题满分12分）
解：由题意得， ……………1分
当时，
因为，由得，解得；
由得，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增． ……………3分
当时，
因为，由得，解得；
由得，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增． ……………5分
所以，当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增． ……………6分
（2） 证明：由题意知，
直线的斜率，
又因为，
所以，
因为，所以. ……………7分
故.
因为，
所以，，，
整理可得，
即， （*） ……………9分
令，则，
欲证（*）成立，等价于证明成立，
即证：，
令函数，
则，
，
所以在上为单调递增函数， ……………11分
所以，
即成立，
所以． ……………12分
22．（本小题满分10分）
解：（1）由（为参数），消去参数可得直线的普通方程为，
……………2分
由，
得，
即，
整理可得曲线的直角坐标方程为． ……………4分
（2）直线经过点，
将直线的参数方程（为参数）代入椭圆中，
整理得， ……………6分
显然，
设点，对应的参数分别为，，
则有，， ……………8分
因为同号，
故． ……………10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）法一：
由绝对值三角不等式可得， ……………2分
当且仅当时，等号成立，
所以． ……………4分
法二：
因为．
①当时，； ……………1分
②当时，； ……………2分
③当时，； ……………3分
综上，的最小值． ……………4分
（2）因为，
所以，
同理可得，， ……………6分
由基本不等式可得
， ……………9分
当且仅当时，等号成立，
因此． ……………10分