广东省汕尾市2020-2021学年高二数学上学期期末学业质量监测试题.doc

广东省汕尾市2020-2021学年高二数学上学期期末学业质量监测试题

广东省汕尾市2020-2021学年高二数学上学期期末学业质量监测试题

年级：
姓名：

18

广东省汕尾市2020-2021学年高二数学上学期期末学业质量监测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则( )

2.若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
充要条件 既不充分也不必要条件
充分不必要条件 必要不充分条件
3.已知，且为第四象限角，则=（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线和直线互相平行，则实数的取值为（　　）
A．或3 B． C．1或 D．
5.已知向量则（ ）
4
6.已知等差数列的公差为2，为其前项和，若，则=（ ）

7.双曲线（）的一条渐近线方程为,且与椭圆
有公共焦点,则的方程为(　　)
A. B. C. D.
8.已知,若关于的不等式在上恒成立,则的最小值为( )
A. 1 B.2 C. 4 D. 8

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.命题：“，”，命题：“，”，则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
10.下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
11. 对某公路汽车行驶速度抽出了一个容量为n的样本进行调查，画出如下频率分布直
方图.若样本中车速在（单位：km/h）有45辆，则下列说法正确的是（ ）

A.样本中车速在（单位：km/h）的频率为0.04
B.样本中车速超过80km/h的车辆数为105
C.根据直方图估计该样本的众数为77.5
D.根据直方图估计该样本的中位数为77

12如图,在棱长为2的平行六面体中，,点
分别是的中点，对角线与平面交于点，下列说法正确的是（ ）

直线和直线所成角的余弦值等于
三棱锥的体积是平行四六面体的体积的

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某校有学生2000人，其中高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取一个100人的样本，则样本中高三学生的人数为_________.
14． 已知函数
的部分图象如图所示，则函数的解析式为：

15.若四点在球的表面上，,,,
则球的表面积为

16.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若以F2为
圆心，为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最大值
不超过，则椭圆的离心率的取值范围是

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(满分10分）
在①acosB＝bsinA，②asin2B=bsinA,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在△ABC中，b＝2,
（1）求∠B；
（2）若c＝2a，求△ABC的面积．
备注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分。

18.(满分12分）
设等差数列的前项和为，且满足=2，.首项为1的等比数列满足且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

19.(满分12分）
抛物线的焦点为，点在抛物线上，且=3.
（1）求抛物线的方程;
（2）设直线经过点且与抛物线C相交于两点．若线段的中点在直线上，
求直线的方程.

20.(满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，
，，点E是的中点.

(1)证明：平面平面；
.

21.(满分12分）
2020年1月至5月百货公司某商品的销量（万件）与利润（万元）的统计数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
销量（万件）
7
11
13
12
15
利润（万元）
14
25
30
26
35

（1） 从这5个月中任选两个月，记利润分别为万元，万元，求事件“都小于30”的
概率；
（2） 从这5个月中任选两个月，若选取的是1月和5月这两组数据，请根据这5个月中另3个
月的数据，求出关于的线性回归方程；
（3） 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过0.5万元，则认为得到
的线性回归方程是可靠的，试问（2）所得到的线性回归方程是否可靠？
参考公式：，

22． (满分12分）
折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸，可折出一个椭圆.

步骤1：设圆心是F，在圆内不是圆心处取一点，标记为E；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点E，此时圆周上与点E重合的点标记为G；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕,此时GF与折痕交于点P；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点P，所有交点P组成的图形便是一个椭圆．
现已知圆形纸片的半径为4，定点E到圆心F的距离为2，为EF中点，所有交点P组成的椭圆记为.
（1）以EF所在的直线为x 轴，以O为原点建立平面直角坐标系，求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且，试问点到直线的距离是否为
定值?如果是定值，则求该定值；如果不是定值，则说明理由．

2020—2021学年度第一学期教学质量监测
高二数学参考答案及评分标准
一、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
D
A
D
A
C
二、多选题
9
10
11
12
AC
BD
BC
ABC
三、 填空题
13.30 14. 15. 16.
四、解答题
17.(满分10分)
解：（1）若选①，在△ABC中，由正弦定理，
，
--------------------2分
0＜A＜π，sinA≠0，
，
tanB， --------------------2分
0＜B＜π，
， --------------------5分
若选②，在△ABC中，由正弦定理，
asin2B=bsinA,
2sinAsinBcosB=sinBsinA, --------------------2分
0＜A＜π，0＜B＜π，
sinA≠0，sinB≠0，
----------------------------------4分
， ----------------------------------5分
（2）由（1）得，
b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
可得，
a，c， ----------------------------------8分
----------------------------------10分
18.(满分12分)
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为
(1)

----------------------------------2分
----------------------------------3分
在数列中， 且成等差数列.
整理得
恒成立，
，解得 ----------------------------------5分
----------------------------------6分
(2) ----------------------------------7分

即---------① -----------8分
---------② -----------9分
②-①得

-----------11分
数列的前项和 -----------12分
19.(满分12分)
解：（1）抛物线的焦点为，点在抛物线上
解得 -----------2分
抛物线C的方程为： -----------4分
（2） 解法1
且直线经过点与抛物线C相交于两点
可设直线的方程为： -----------5分
联立整理得： -----------8分
-----------9分
线段AB的中点在直线上，
-----------10分
解得 -----------11分
直线的方程为： -----------12分
解法2：易知，直线的斜率存在，设为.设，
线段AB的中点在直线上
线段的中点 -----------------------5分
，， -----------------------8分
由，，可得
∴ -----------------------10分
由得焦点 -----------------------11分
∴直线的方程为： -----------------------12分
20(满分12分)
（1）证明：∵平面，平面
∴ -----------1分
∵，，，
∴，∴ -----------2分
∵，平面，平面
∴平面 -----------3分
∵平面，
∴平面平面 -----------4分
（2）

取的中点G，连结，以点C为坐标原点，分别以、、所在直线
为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系
(要求作出坐标轴,建立坐标系）-----------6分

则，，，，，
∴，，.
设为平面的法向量，

取，得，，
∴ -------------------------8分
设为平面的法向量

取，得，
∴ -------------------------10分
∴ -------------------------11分
又所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为
-------------------------12分
21(满分12分)
解：(1)从这5个月中任选2个月所有的基本事件为（14，25），（14，30），（14，26），
（14，35），（25，30），（25，26)，(25, 35)，(30 , 26)，(30 , 35)，（26，35）共10个.
-----------2分
设＂都小于30”为事件A则事件A包的基本事件为(14，25)，(14，26)，(25，26)共3个
-----------3分
∴事件“都小于30”的概率P(A)= -----------4分
(2)由已知表格得，2月、3月、4月这3个月的有关数据：
， -----------5分
，

-----------7分
-----------8分
-----------9分
关于的线性回归方程为： -----------10分
（3）依题意得当时，，
当时，， -----------11分
所以(2)中所得的线性回归方程是可靠的. -----------12分

22.解：
（1）以EF所在的直线为x 轴，EF的中点O为原点建立平面直角坐标系
(要求作出坐标轴,建立坐标系）--------1分
设为椭圆上一点，由题意可知且
椭圆以E,F为左右焦点，长轴长,焦距
， --------3分
椭圆的标准方程为 --------4分
（2）当直线的斜率不存在时，此时不妨设，．
由得．
由，两点在椭圆上
∴，，
∴点到直线的距离 --------6分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
设，，联立方程，
消去得．
由已知，， --------8分
由，则
即，
整理得：，
∴，
整理得，满足． --------10分
∴点到直线的距离为定值 --------11分
综上可知，点到直线的距离为定值． --------12分