黑龙江省哈尔滨市师大附中2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题-理.doc

黑龙江省哈尔滨市师大附中2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

黑龙江省哈尔滨市师大附中2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

年级：
姓名：

6

黑龙江省哈尔滨市师大附中2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
考试时间：120分钟 满分：150分

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若直线被圆 所截得的弦长为，则实数 的值为 （ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
4.的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
5.设双曲线 的左、右焦点分别为，离心率为 ，是上一点，且．若的面积为，则（ ）
A. B. C. D.

6.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则

面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的

两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.

8.设是椭圆 的左、右焦点，为直线上一点，

是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.

9.设有下列四个命题：
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
过空间中任意三点有且仅有一个平面.
若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
若直线平面，直线平面，则.
则下述命题中所有真命题的个数是（ ）
① ② ③ ④

A. B. C. D.

10.已知抛物线，的三个顶点都在抛物线上，为坐标原点，设

三条边的中点分别为，且的纵坐标分别为，若直线AB，
BC，AC的斜率之和为，则的值为（ ）
A． B． C. D.

11.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节

目不相邻的排法种数是（ ）
A. B. C. D.
12.已知椭圆的左、 右顶点分别为，右焦点为，圆上有一动点 （不同于两点），直线 与椭圆 交于点 ，则 的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.

二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知实数 满足条件 ， 则目标函数 的最大值为_________．
14.设，则

_________．（用数字作答）

15.某校安排5个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，

不同的安排方法共有_________种．（用数字作答）

16. 已知抛物线 的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，过点分别作的垂线，垂足分别为两点，直线交于点，若，则下述四个结论：
①；②直线的倾斜角为或 ；③是的中点；④ 为等边三角形，其中所有正确结论的编号是_________．

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
已知 ，
（1）求证：；（2）若，求的最小值．

18. （本题满分12分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）射线的极坐标方程为，若射线 与曲线的交点为，与直线 的交点为，求线段的长．
19.（本题满分12分）
分别是椭圆长轴的左、右顶点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，.
（1）求点的坐标；
（2）设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到的距离的最小值.

20.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，,，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若二面角大小为，求的长．

21. （本题满分12分）
已知为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于两点， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作直线 交抛物线 于两点，记 的面积分别为，证明： 为定值．

22.（本题满分12分）
如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上．
(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为．
（i）当时，求直线的斜率；
（ii）是否存在直线，使得? 若存在，求出直线的斜率；
若不存在，说明理由．

哈师大附中2020-2021年度高二学年上学期期末考试
数学答案（理科）
一．选择题
A A D B A A D C C B B D
二．填空题
13. 4 14. 243 15. 16.① ③④
三．解答题
17.解：（1），
—————————————————— 5分
（2）因为
故，当且仅当，即取等
故 —————————————————— 10分

18.解：（1） 由 所以 ，
所以曲线 的普通方程为 ． —— —————— 3分
由 ，可得 ，
所以直线 的直角坐标方程为 ． —— —————— 5分
   （2） 方法一：
曲线 的方程可化为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ． —— —————— 7分
由题意设 ，，
将 代入 ，可得：，
所以 或 （舍去）， —— —————— 9分
将 代入 ，可得：， —— —————— 11分
所以 ． —— —————— 12分
方法二：
因为射线 的极坐标方程为 ，
所以射线 的直角坐标方程为 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 ．
19.解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)

设点则,,由已知可得
—————————————————— 3分
则，或.
由于>0,只能，于是
∴点P的坐标是 —————————————————— 6分

(2) 直线的方程是.
设点,则到直线的距离是.
于是=,又,解得 ——————————————————9分
椭圆上的点到点M的距离有
,
∴当时,d取得最小值 ——————————————————12
20. （1）证明：，，为的中点，
四边形为平行四边形，
，即
平面平面，平面平面，
平面，平面
平面平面 —————————————————— 4分
（2），为的中点，
平面平面，且平面平面
平面
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
是的中点，
，
设异面直线与所成角为，
，
异面直线与所成角的余弦值为. —————————————————— 8分
（3）解：由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，
设，且， 从而有，
又，设平面MBQ法向量为，
由可取．
∵二面角M−BQ−C为30°，∴，∴，∴．
—————————————————— 12分
21.解：（1） 设直线 的方程为：，
与抛物线 联立，消去 得： ；
设 ，，
则 >0, ； —— —————— 1分
由 ，得

解得 ，所以抛物线 的方程为 ． —— —————— 5分
      （2） 由（）知，点 是抛物线 的焦点，
所以 ，
又原点到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 ，————— 8分
又直线 过点 ，且 ，
所以 的面积为 ； —— —————— 10分
所以 为定值． —— —————— 12分
22. 解：(1) , ,
的方程为 —————————————————— 4分
（2）（i）设，，显然直线斜率存在，
设直线的方程为，
，
，
，
代入得到，解得，
所以直线的斜率为． —————————————————— 8分
（ii）圆心到直线的距离，

不存在直线，使得. —————————————————— 12分