甘肃省武威市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题-理.doc

甘肃省武威市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

甘肃省武威市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

年级：
姓名：

12

甘肃省武威市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共60分）
1．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为3，则等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．下列说法正确的（ ）
A．使得成立
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“，”的否定为“，”
D．“若则”形式的命题的否命题为“若则”
5．已知直线和平面，则“平行内无数条直线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）

A． B． C． D．
7．椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线与双曲线有相同的离心率，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．在正方体中，为的中点，为正方形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C．0 D．
10．已知，分别为椭圆的左、右焦点，是上一点，满足，是线段上一点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点，在双曲线，且线段经过原点，点为圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．-15 B．-9 C．-7 D．-6
12．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．4
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
13．若实数，满足不等式组，则的最小值是______．
14．若函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为______．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，若，则的面积是______．
16．已知在等腰梯形中，，，，双曲线以，为焦点，且与线段，（包含端点，）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是______．
三、解答题
17．求下列各曲线的标准方程．
（1）长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆；
（2）与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线．
18．已知命题，，命题，使．若命题“”为真命题“”为假命题，求实数的取值范围．
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，底面．

（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知抛物线的焦点为，点为其上一点，且．

（1）求与的值；
（2）如图，过点作直线交抛物线于、两点，求直线、的斜率之积．
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，为中点，点在上且平面，在延长线上，，交于，且．

（1）证明：平面；
（2）设点在线段上，若二面角为60°，求的长度．
22．已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，，且与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，求的最小值．

武威一中2020年秋季学期高二年级期末考试
数学（理）试卷
一、单选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
C
B
B
D
B
B
A
C
D
二、填空题
13．1 14． 15． 16．
16．【详解】
以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲线，．
设双曲线方程为，只需点在双曲线右支图像的上方（包括在图像上）即可，
也即，两边乘以得，
由于，所以上式化为，
解得，，故．

三、解答题
17．解：（1）设椭圆的方程为，
由题意可得，，，解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）双曲线的焦点，
设所求的双曲线方程为：，
可得：，
解得，，
所求双曲线的标准方程为：．
18．解:若为真命题，则在上恒成立，即，即；
若为真命题，则，即或．
命题“”为真命题“”为假命题，即真假或假真，
所以或
故的取值范围为．
19．解：（1）在中由余弦定理得

，∴ ，即
又底面，
所以，，又
所以，平面．
（2）以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为
由，，得，
令 得，，即
设直线与平面所成角为，
则
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）抛物线的焦点为，准线为．
由抛物线定义知：点到的距离等于到准线的距离，故
，，抛物线的方程为
点在抛物线上，∴，∴
∴，
（2）由（1）知：抛物线的方程为，焦点为
若直线的斜率不存在，则其方程为：，代入，易得：
，，从而；
若直线的斜率存在，设为，则其方程可表示为：，
由，消去，得：
即，
设，，则
∴
从而
综上所述：直线、的斜率之积为．
21．解：2．（1）详见解析；（2）．
【分析】
（1）要证平面，只需证明平行于平面内一条直线即可，
取的中点，连结，，可证四边形为平行四边形，
从而可得，根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）取的中点，连结，可证平面，
以为原点，为轴，为轴建系，
设，求出平面的法向量及平面的法向量，
根据二面角为，利用夹角公式列出方程即可求出,进而可求出的长度．
【详解】
（1）证明：取的中点，连结，，则，且，

因为，交于，且，
又因为，所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）由平面，平面，
所以，又，和在平面内显然相交，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
取的中点，连结，因为，所以，
又平面平面，平面，所以平面，
在等腰中，，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，，
因为为的中点，所以，
设，设平面的一个法向量，
，，
由，得，令，得，，
所以，
设平面的一个法向量，
所以，
因为二面角为60°，所以，
即，解得，
所以．
22．解（1）抛物线的焦点为，所以，
又因为，所以，
所以，所以椭圆的标准方程为．
（2）（i）当直线的斜率存在且时，
直线的方程为，代入椭圆方程，
并化简得．
设，，则，，
．
易知的斜率为，
所以．
．
当，即时，上式取等号，故的最小值为．
（ii）当直线的斜率不存在或等于零时，易得．
综上，的最小值为．