新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学2021届高三数学上学期第二次摸底考试试题-理.doc

新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学2021届高三数学上学期第二次摸底考试试题 理

新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学2021届高三数学上学期第二次摸底考试试题 理

年级：
姓名：

- 11 -

新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学2021届高三数学上学期第二次摸底考试试题 理
注意事项：1、本试卷满分150分，考试时间120分钟，共2页；
2、本试卷分第I卷（基础知识检测）和第II卷（能力提升）两部分。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则= ( )
A. B. C. D.
2.已知复数是纯虚数，则实数的值为( )
A． B． C． D．
3.已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差为( )
A． B． C． D．
4.已知命题；命题．则下列命题中是真命题的为( )
A. B． C． D．
5.函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
6.函数的零点之和为（ ）
A. B. C. D.
7.设a＝log3e，b＝e1.5，c＝，则(　　)
A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b

8.函数f (x)＝·sin x的图象的大致形状为(　　)

9.函数f (x)＝的定义域为(　　)
A. B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
10.若b<a<0，则下列不等式：①|a|>|b|；②a＋b<ab；③<2a－b中，正确的不等式有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0)
12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=(　　)
A.0 B.m C.2m D.4m

二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数满足，则的取值范围为_________．
14.已知等比数列中，，，则=_____________.
15.某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S的最大值为________．
16.　设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x)＝则f (2 019)＝________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.

18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．
（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．

19.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．附表：

0.05
0.01

3.841
6.635

(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男

女

10
55
合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．
20.已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若与点共线，求斜率的值．
21. 已知函数.(1)设,求函数的单调区间;
(2)若为方程的两个不相等的实数根,求证.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程;
(2)已知与直线平行的直线过点,且与曲线交于两点,试求．
23.已知函数.
（1）解不等式.
（2）若不等式有解，求实数m的取值范围.
理科数学第二次摸底答案
1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A 9.C 10.C 11.D 12.B
13.答案： 14.答案： 15.答案：1 568 16.答案：
17.答案：(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).
两式相减得(2n-1)an=2.
所以an=(n≥2).
又由题设可得a1=2,
从而{an}的通项公式为an=.
(2)记的前n项和为Sn.
由(1)知.
则Sn=+…+.
18. 答案：（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．

理由如下：取的中点，连结，由题意，且，
且，故且.所以，四边形为平行四边形.
所以，，又平面，平面，所以，平面.
（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，所以，且平面平面，平面平面，
所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设，则由题意知，
，
设平面的法向量为，
则由得，令，则，
所以取，显然可取平面的法向量，
由题意：，所以.
由于平面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，，从而，
所以直线与平面所成的角为.
19.答案：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：

非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100

将列联表中的数据代入公式计算，得.
因为，所以没有的把握认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.
由题意，从而的分布列为

0
1
2
3

，
.
20.答案：(1)由题意可知：，则，
椭圆的离心率，则，
∴，
∴椭圆的标准方程为；
(2)设，
设直线的斜率，直线的方程为，
联立，消去整理得
，
由代入上式得，整理得，
，，则，
则，同理可得：，
由，则，，
由与点共线可得与共线，
则，
整理得，
则直线的斜率，
∴的值为2．
解析：

21.答案： (1)由题意,得,定义域为R,则,
当时,由得函数单调递增,
当时,由,得,所以函数在上单调递增,
由,得,所以函数在上单调递减,
综上可知,
当时,函数的单调递增区间为,无单调递增区间,
当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2) 因为为方程即的两个不相等的实数根,所以,
不妨设,则,且,
则,
所以,
设,则,,
要证,即证,即证,
即证,即证,
设,则,
所以在上单调递增,
所以当时,,即当时,,
所以.
22.答案：(1)把直线的参数方程化为普通方程为,
∵,∴直线的极坐标方程为,
由,可得,
∴曲线的直角坐标方程为.
(2)直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，
又直线过点，
∴直线的参数方程为为参数)，
将其代入曲线的直角坐标方程可得，
设点对应的参数分别为．
由一元二次方程的根与系数的关系知．
∴．
解析：
23.答案：(1)由题可得

等价于或或，
解得或或无解.
综上，不等式的解集是.
(2)，
当且仅当时等号成立.
不等式有解，
，即，
或，解得或.
实数m的取值范围是.