山西省忻州市第一中学2020-2021学年高二数学4月月考试题-文.doc

山西省忻州市第一中学2020-2021学年高二数学4月月考试题 文

山西省忻州市第一中学2020-2021学年高二数学4月月考试题 文

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14

山西省忻州市第一中学2020-2021学年高二数学4月月考试题 文
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知，若，则实数不可能为 （ ）
A． B． C．1 D．0
3.过点且与直线垂直的直线方程是 （ ）
A． B．
C． D．
4. 已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
5.双曲线上一点到右焦点的距离为8，则点到左焦点的距离为 （ ）
A．12或6 B．2或4 C. 6或4 D．12或4
6.曲线在点处的切线方程为，则的值为 （ ）
A． B． C. D．
7.执行如图所示程序框图，若输入，则输出的结果是 （ ）

A．169 B．215 C.179 D．225
8.下表给出变量的5组数据，为选出4组数据使得线性相关程度最大则应去掉（ ）

第1组
第2组
第3组
第4组
第5组

1
2
3
4
5

2.0
2.5
3.1
4.1
3.5
A．第1组数据 B．第3组数据 C.第4组数据 D．第5组数据
9. 已知实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
10. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）

A． B． C. D．
11.青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形.为便于叙述，将其绘成图2，若是正方形的边的中点，在图2中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为 （ ）

A． B． C. D．
12.已知直线过抛物线的焦点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，则实数的值为 （ ）
A．-1 B．-2 C. D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量满足，则向量与向量的数量积为 ．
14.已知满足不等式组，则的最大值为 ．
15.已知钝角满足，则的值为 ．
16.数列满足，则的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知中，角所对的边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，垂足为，且，求的值.
18.（本小题满分12分）
已知四边形中，，为线段上靠近的三等分点.现沿将四边形进行翻折，使得平面平面，得到四棱锥，并使.
（1）求证：；
（2）若，求点到平面的距离.

19.（本小题满分12分）
由于一线城市普遍存在着交通道路拥挤的情况，越来越多的上班族选择电动车作为日常出行的重要工具，而续航里程数则是作为上班族选择电动车的重要标准之一.现将某品牌旗下的一新款电动车的续航里程数作了抽检（共计1000台），所得结果统计如下图所示.

（1）试估计该款电动车续航里程不低于34公里的概率；
（2）在该款电动车推出一段时间后，为了调查“购买者的性别”与“使用的满意程度”是否相关，客服人员随机抽取了200名用户进行反馈调查，所得情况如下表所示：

满意
不满意
男性用户
60
40
女性用户
50

则根据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与“使用的满意程度”有关？
（3）为了提高用户对电动车续航里程的满意度，工作人员将检测的续航里程在之间的电动车的电瓶进行更换，并使得该部分电动车的续航里程均匀分布于另外五组，分别求出电瓶更换前与更换后被检测的电动车的平均续航里程，并计算更换后比更换前的平均续航里程多了多少.
附参考公式：.

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
20.（本小题满分12分）
已知函数在区间上的最小值为-2，最大值为1.
（1）求实数的值；
（2）若函数有且仅有三个零点，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且与为方程的两根.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，与关于轴对称，是与轴的交点，若，求的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若的最大值为-2，求的值；
（2）若存在实数且，使得，求证：.

试卷答案
一、选择题
1.A 依题意，，故.
2. A ∵，∴，由得，故四个选项中，只有不可能为实数的值.
3. A
4. C A选项中，都与垂直，此时，可知A选项错误；B选项中，可以在平面内，可知B选项错误；D选项中，可以在平面内，可知D选项错误.
5. D 设双曲线的左右焦点分别为，由题知，所以，解得或4，故点到左焦点的距离为4或12.
6. A 由题知，，
∴，
解得，所以.
7. B 循环前，；第一次循环，，继续循环；第二次循环，，继续循环；第三次循环，，跳出循环，输出215.
8. D 画出散点图如图所示，则应去掉第5组数据.

9.C 表示圆上任意一点到点的距离，可得最短距离为5-2=3，最大距离为5+2=7，可得的取范围为.
10.D 连相交于点，连，因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设，可得，，因为，为的中点，所以，.

11.B 设正方形 的边长为4，因为是的中点，所以，由题可得，所以整个图形的面积，
阴影部分的面积，由几何概型的概率计算公式得所求事件概率.
12.A 设抛物线的准线与轴的交点为，过点分别作准线的垂线，垂足分别为.因为，所以，又因为，所以，所以，即，因为点关于轴的对称点为，所以点与点重合，所以.

13. 4 因为，，所以.
14.9 作出可行域如图中区域（包括边界）.

平移直线，当其经过点时，目标函数取得最大值，
由得，即，所以.
15. -1 因为，所以，所以，即，解得或，因为角为钝角，所以.
16. 17 由，得，
有，有；又由，有；再由，有，得，当时，数列为等差数列，由和，可得，此时，，故的最大值为17.
17.解：（1）依题意，，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴.
（2）∵，由余弦定理知，
∴，∴或（舍去），
∴.
18.解：（1）证明：连接，∵，∴.
∵，∴，∵，∴，
∴，∴.
又∵平面平面，∴平面，故，
又∵，，∴平面，故.
（2）∵，∴，∴，
在中，，故.
设到平面的距离为，∵，
∴，∴.
故点到平面的距离为.
19.解：（1）由频率分布直方图可知该款电动车续航里程不低于34公里的频率为，故该款电动车续航里程不低于34公里的概率的估计值为0.8.
（2）依题意，得到列联表如下：

满意
不满意
总计
男性用户
60
40
100
女性用户
50
50
100
总计
110
90
200
则的观测值，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与“使用的满意程度”有关；
（3）依题意，电瓶更换前被检测电动车的平均续航里程为

（公里）
电瓶更换后被检测电动车的平均续航里程为

（公里）
故更换后比更换前的平均续航里程多了0.3公里.
20.解：（1）由
①当时，令，可得或时，此时函数的增区间为，减区间为，
由，，，
有，可得
②当时，令，可得，此时函数的减区间为，增区间为，
由，，，
有，可得
由上知或
（2）①当时，，
若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为，
②当时，，
若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为.
21.解：（1）因为方程的根为，3，且，所以，又，解得，故椭圆方程为；
（2）由（1）可知右焦点，设直线的方程为，则，令，得.
联立，整理得，
设，则，
∵，∴，则.
又因为，
∴

，
即，整理得，
解得或（舍去）
故.
22.解：（1），若，则，所以在上单调递增，无最值，不合题意；若，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故的最大值，解得，符合题意，综上，；
（2）证明：若，则由（1）知，所以函数在上单调递增，在上单调递减.若存在实数，使得，则介于之间，不妨设，因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，，由，，可得，故，又在上递增，且，
所以，所以，
同理，所以，解得，不等式得证.